浙教版八年级下期末冲刺复习资料
第五章 特殊平行四边形 试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形
2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）2·1·c·n·j·y
A．1﹣ B．1﹣ C． D．
3．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1=8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．50 B．80 C．96 D．100
4．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若样本数据3，6，a，4，2的平均数是4，则其方差为2；
②“相等的角是对顶角”的逆命题是真命题；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④若抛物线y=3（x﹣1）2+k上有点（，y1），（2，y2），（﹣，y3），则y3＞y2＞y1． 21*cnjy*com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（5） B．（2）（3）（5）
C．（1）（4）（5） D．（1）（2）（3）
7．如图，在?ABCD中，点E是AD边上一点，（点E和点A、D不重合），要使四边形EBCD为等腰梯形，还需要添加一个条件，下列条件中不一定符合要求的是（ ）
A．∠A=∠BEA B．AB=EB
C．∠EBC=∠A D．AE=ED
8．如图，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8，BC=6，把斜边AC平均分成n段，以每段为对角线作边与AB、BC平行的小矩形，则这些小矩形的面积和是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（ ）【出处：21教育名师】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是等腰梯形
B．等腰梯形的两底角相等
C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
D．等腰梯形有两条对称轴
二．填空题（共13小题）
11．若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为 厘米．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN= ．www.21-cn-jy.com
13．如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有 对．
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C?D?A?B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有 个．
15．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为 ．21cnjy.com
16．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为 ．
17．如图，矩形ABCD中，BC=6，∠BAC=30°，E点为CD的中点．点P为对角线AC上的一动点．则①AC= ；②PD+PE的最小值等于 ．21·cn·jy·com
18．如图，矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上由B向C移动时，点R不动，那么EF的长度 （用“变大”、“变小”和“不变”填空）．21·世纪*教育网
19．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则= ．
20．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连接AE，则AE的长为 ．www-2-1-cnjy-com
21．如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在边BC上，∠BAE=25°．把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边DC上，则旋转角α的度数为 ．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 ．
23．己知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，OE：ED=1：3，AE=，AB：AD= ．21世纪教育网版权所有
三．解答题（共7小题）
24．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y=x+b（b＞0）与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y=x+b的对称点O′，21教育名师原创作品
（1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′落在⊙O上时，求b的值．
25．如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．【版权所有：21教育】
（1）求∠DA′E的大小；
（2）求△A′BE的面积．
26．已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．
（1）试猜想AE与BD有何关系？说明理由；
（2）请给△ABC添加一个条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．
考点：
旋转的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．21世纪教育网版权所有
分析：
（1）根据旋转的性质推知四边形ABDE是平行四边形，则平行四边形的对边平行且相等，即AE∥BD，且AE=BD；2-1-c-n-j-y
（2）AC=BC．根据旋转是性质可以推知平行四边形ABDE的对角线AD=BE，则该平行四边形是矩形．21*cnjy*com
解答：
27．如图，正方形ABCD的边长为，E是边AD上的一个动点（不与A重合），BE交对角线于F，连接DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）设AF=x，△ABF面积为y，求y与x的函数关系式，并画出图象．
28．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．21教育网
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
29．如图，以△ABC三边为边在BC的同一侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）将△CBA绕着点C旋转，可以与哪一个三角形重合，以及旋转的度数（直接写答案）；
（2）四边形AFED一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED一定是菱形．（ 直接写答案，不必说明理由）
30．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．
浙教版八年级下期末冲刺复习资料 第五章
特殊平行四边形 试卷（解析版）
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形
2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A．1﹣ B．1﹣ C． D．
考点：
旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；正方形的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．
解答：
解：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．
根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD=∠OAB′=30°．
又AD=1，∴OD=．
∴公共部分的面积=2×××1=1×=．故选D．
点评：
本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积．
3．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1=8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．50 B．80 C．96 D．100
考点：
梯形中位线定理．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
首先利用梯形的中位线定理求得图①中的结论；
再根据图①的结论，进一步发现：在中位线两边离中位线距离相等的线段和为中位线的2倍；
根据上述结论，推而广之．
解答：
解：①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1=8；
②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，根据梯形的中位线定理，得
A1B1+A2B2=2×8=16，可知，在中位线两边离中位线距离相等的线段和为16；
③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（A1B1+A10B10）+（A2B2+A9B9）+（A3B3+A8B8）+（A4B4+A7B7）+（A5B5+A6B6）=16+16+16+16+16=80．www.21-cn-jy.com
故选B．
点评：
本题是利用梯形中位线定理，找出规律，再解答．
4．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若样本数据3，6，a，4，2的平均数是4，则其方差为2；
②“相等的角是对顶角”的逆命题是真命题；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④若抛物线y=3（x﹣1）2+k上有点（，y1），（2，y2），（﹣，y3），则y3＞y2＞y1．【来源：21·世纪·教育·网】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：
命题与定理；菱形的判定；算术平均数；方差．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
欲知是否为真命题，需分析各题的题设是否能推出结论，从而得出答案．
解答：
解：①、由平均数是2，所以a+3+6+4+2=4×5，解得a=5，所以方差s2=[（5﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2+（2﹣4）2]=2，所以①正确；
②、相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，所以②正确，
③、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以③不正确；
④、由解析式可知a=3＞0，当x=1时，函数有最小值，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，因为1＜＜2，所以y1＜y2，而根据抛物线的对称性，点（2，y2）关于对称轴对称的点的坐标为（0，y2），而﹣＜0，所以y2＜y3，即y3＞y2＞y1，④正确；
所以正确的命题有3个．故选C．
点评：
本题考查命题的真假命题的判断，逆命题的概念，平均数，方差，菱形的判定；二次函数的图象和性质等知识，特别是它的对称性．
易错易混点：学生易忽略其中某个知识而错选．
5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：
正方形的性质．21世纪教育网版权所有
分析：
根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．
解答：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD
∵CE=DF
∴DE=AF
∴△ADE≌△BAF
∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA
∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，
S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°
∴∠AFB+∠EAF=90°
∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．
假设AO=OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；
故错误的只有一个．
故选：A．
点评：
本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．
6．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（5） B．（2）（3）（5）
C．（1）（4）（5） D．（1）（2）（3）
7．如图，在?ABCD中，点E是AD边上一点，（点E和点A、D不重合），要使四边形EBCD为等腰梯形，还需要添加一个条件，下列条件中不一定符合要求的是（ ）
A．∠A=∠BEA B．AB=EB
C．∠EBC=∠A D．AE=ED
考点：
等腰梯形的判定；平行四边形的性质．21世纪教育网版权所有
分析：
根据平行四边形的性质推出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，得出四边形EBCD是梯形，只要根据选项推出EB=CD即可．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴DE≠BC，
∴四边形EBCD是梯形，
A、∵∠A=∠BEA，
∴AB=BE=CD，
∴梯形EBCD是等腰梯形，正确，不符合题意；
B、∵AB=BE=CD，
∴梯形EBCD是等腰梯形，正确，不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠A，
∴∠A=∠BEA，
∴AB=BE=CD，
∴梯形EBCD是等腰梯形，正确，不符合题意；
D、根据AE=ED推不出符合等腰梯形的条件，错误，符合题意．
故选D．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，梯形的判定，等腰梯形的判定等知识点，本题主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
8．如图，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8，BC=6，把斜边AC平均分成n段，以每段为对角线作边与AB、BC平行的小矩形，则这些小矩形的面积和是（ ）
A． B． C． D．
考点：
矩形的性质；平移的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
应用题．
分析：
根据所有小矩形的长的和等于AB，宽的和等于BC，求出小矩形的长与宽，然后利用矩形的面积公式列式计算即可得解．
解答：
解：∵∠B=90°，AB=8，BC=6，且斜边AC平均分成n段，
∴小矩形的长为=，宽为=，
∴一个小矩形的面积为：?=，
∴这些小矩形的面积和是n?=．
故选B．
点评：
本题考查了矩形的性质，平移变换的性质，根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小求出每一个小矩形的长与宽是解题的关键．2-1-c-n-j-y
9．如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是等腰梯形
B．等腰梯形的两底角相等
C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
D．等腰梯形有两条对称轴
考点：
等腰梯形的判定；等腰梯形的性质．21世纪教育网版权所有
分析：
根据等腰梯形的定义判断即可；根据等腰梯形的性质（等腰梯形在同一底上的两角相等）判断即可；根据等腰梯形的判定（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形）判断即可；根据等腰梯形只有一条对称轴，即可判断D．
解答：
解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；
B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；
C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；
D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；
故选C．
点评：
本题考查了对等腰梯形的性质和判定的理解和运用，要求学生熟练地掌握等腰梯形的性质和判定，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
二．填空题（共13小题）
11．若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为 厘米．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN= ．
考点：
梯形；直角三角形斜边上的中线．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形及平行四边形．利用直角三角形的性质以及平行四边形的性质解答．
解答：
解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，
∴CD=BE=5，AE=AB﹣BE=11﹣5=6
∵M为AB的中点
∴MB=AM=AB=×11=5.5，ME=MB﹣BE=5.5﹣5=0.5
∵N为DC的中点
∴DN=DC=×5=2.5
在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，
所以FM=DN=2.5
故FE=FM+ME=2.5+0.5=3=AE
故F为AE的中点．
又∵DE∥BC
∴∠B=∠AED
∵∠A+∠B=90°
∴∠A+∠AED=90°
故∠ADE=90°
即△ADE是直角三角形
∴DF=MN=AE=×6=3．
点评：
本题考查了梯形及平行四边形的性质，难易程度适中．
13．如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有 对．
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C?D?A?B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有 个．
考点：
梯形；等腰三角形的判定．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题；动点型．
分析：
连接DM，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：PM=CM或CP=CM或CM=PM，然后根据勾股定理进行分析计算．
解答：
解：连接DM
根据已知，得AD∥BM，AD=BM=6，则四边形ABDM是平行四边形．又∠ABC=90°，则四边形ABDM是矩形．所以∠DMC=90°，根据勾股定理，得CD=10．
①作CM的垂直平分线交CD于P，则三角形PMC是等腰三角形，此时CP=5；
②当CP=CM=8时，三角形PMC是等腰三角形；
③当点P在AD上，DP=2时，CM=PM；
④当点P在AB上，BP=2时，CM=PM；
故有四个．
点评：
此题主要考查学生对梯形的性质及等腰梯形的判定的理解及运用．
15．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为 ．
考点：
坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2﹣x．利用勾股定理可得A′F=，OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐标为（）．
解答：
解：∵OB=，
∴BC=1，OC=2
设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E
∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF=∠FA′E
∵∠AOE=∠FA′O
∴∠A′OE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′=BC=1，设A′F=x
∴OF=2﹣x
∴x2+1=（2﹣x）2，
解得x=
∴A′F=，OF=
∵A′E=A′F×OA′÷OF=
∴OE=
∴点A’的坐标为（）．
故答案为：（）．
点评：
解决本题的关键是利用三角形的全等得到点A′所在的三角形的一些相关的线段的长度，进而利用面积的不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标．
16．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为 ．
考点：
菱形的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
计算题．
分析：
依题意，根据菱形的性质首先求出边长，然后推出对角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形，最后可解答．
解答：
解：∵菱形的周长为8，
∴菱形的边长是：8×=2，
∵两个邻角的比是1：2，
∴较大的角是120°，较小的角是60°，
∴这个菱形的对角线AC所对的角是60°，
由菱形的性质得到，AC与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，
∴AC=2，
BD=2××tan60°=2．
故答案为：2和2．
点评：
本题考查菱形性质的运用，属于基础题目，根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据等边三角形的性质求解．
17．如图，矩形ABCD中，BC=6，∠BAC=30°，E点为CD的中点．点P为对角线AC上的一动点．则①AC= ；②PD+PE的最小值等于 ．2·1·c·n·j·y
考点：
矩形的性质；含30度角的直角三角形；轴对称-最短路线问题．21世纪教育网版权所有
分析：
①由矩形的性质可知三角形ABC是直角三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AC的长；
②过E作关于AC的对称点E′，则△EE'C为等边三角形，△DE'C为直角三角形，BC=6，则CD=6，PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
解答：
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵BC=6，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=12，
故答案为12；
②过E作关于AC的对称点E′，则△EE'C为等边三角形，△DE'C为直角三角形，
∵AC=12，BC=6，
∴AB=DC==6，
∴PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
故答案为9．
点评：
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理的运用和最短路线问题：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．如图，矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上由B向C移动时，点R不动，那么EF的长度 （用“变大”、“变小”和“不变”填空）．【版权所有：21教育】
考点：
三角形中位线定理；矩形的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
动点型．
分析：
由题意可得出EF是△APR的中位线，则EF=AR，因为点R不动，所以EF的长度不变．
解答：
解：连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF=AR，
∵点A、R不动，
∴AR的长度一定，
∴EF的长度不变，
故答案为不变．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理以及矩形的性质，是基础知识要熟练掌握．
19．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则= ．
考点：
梯形中位线定理．21世纪教育网版权所有
分析：
作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，从而不难求解．21*cnjy*com
解答：
解：作BE∥AC，
∵AB∥CE，
∴CE=AB，
∵梯形中位线为6.5，
∴AB+CD=13，
∴DE=CE+CD=AB+CD=13，
∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，
得△BDE为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°，
设S△EBD=S
则S2：S=DO2：DB2
S1：S=OB2：BD2
∴=
∵S=12×5×=30
∴=．
故本题答案为：．
点评：
此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．
20．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连接AE，则AE的长为 ．21cnjy.com
考点：
旋转的性质；梯形．21世纪教育网版权所有
分析：
根据题意，作EF⊥AD于F，DG⊥BC于G，证明△CDG全等于△EDF，即可求出AE的值．
解答：
解：如图，作EF⊥AD于F，DG⊥BC于G，
根据旋转的性质可知，DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF，
∴△CDG≌△EDF，
DF=DG=1，EF=GC=2，
∴AE==2．
点评：
此题主要考查了图形的旋转变换，把图形的变换放在全等三角形中，利用辅助线作出全等三角形是解题的关键．
21．如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在边BC上，∠BAE=25°．把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边DC上，则旋转角α的度数为 ．
考点：
旋转的性质；菱形的性质．21世纪教育网版权所有
分析：
连接AC，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC是等边三角形．分两种情况：①将△ABE绕点A逆时针旋转60°，点E可落在边DC上，此时△ABE与△ABE1重合；②将线段AE绕点A逆时针旋转70°，点E可落在边DC上，点E与点E2重合，此△AEC≌△AE2C．
解答：
解：连接AC．
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠ACD=60°．
本题有两种情况：
①如图，将△ABE绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点E与点E1重合，此时△ABE≌△ABE1，AE=AE1，旋转角α=∠BAC=60°；
②∵∠BAC=60°，∠BAE=25°，
∴∠EAC=35°．
如图，将线段AE绕点A逆时针旋转70°，使点E到点E2的位置，
此时△AEC≌△AE2C，AE=AE2，旋转角α=∠EAE2=70°．
综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60度或70度．
点评：
本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定，旋转的定义及性质．本题容易漏掉第二种情况．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 ．
考点：
轴对称-最短路线问题；勾股定理；菱形的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
计算题．
分析：
AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
解答：
解：AC交BD于O，
作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN=CF，
在△ANP和△CFP中
，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4，
由勾股定理得：AB==5，
故答案为：5．
点评：
本题考查了轴对称﹣最短问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出P的位置和求出AB=NF=EP+FP，题目比较典型，综合性比较强，主要培养学生的计算能力．
23．己知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，OE：ED=1：3，AE=，AB：AD= ．
考点：
矩形的性质；等边三角形的判定与性质．21世纪教育网版权所有
分析：
作出图形，分①点E在BO上时，根据OE：ED求出点E为BO的中点，然后根据矩形的对角线互相平分且相等求出△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠ABO=60°，然后利用60°角的余切值解答；②点E在OD上时，设OE为x，根据比例表示出ED的长，再根据矩形的对角线互相平分且相等表示出BE的长，然后根据相似三角形对应边成比例列出求出x2，再利用勾股定理求出AD、AB的长，即可得解．
解答：
解：①如图1，点E在BO上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵OE：ED=1：3，
∴BE=OB﹣OE=OD﹣OE=（ED﹣OE）﹣OE=3OE﹣OE﹣OE=OE，
∴BE=OE，
∴AE∥OB且平分OB，
∴AO=AB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴AB：AD=tan∠ABO=cot60°=；
②如图2，点E在OD上时，设OE为x，
∵OE：ED=1：3，
∴ED=3x，BE=OE+OB=x+（x+3x）=5x，
由直角三角形的性质，△ADE∽BAE，
∴=，
即=，
解得x2=，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，AD===，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，AB===，
所以，AB：AD=：=．
综上所述，AB：AD=或．
故答案为：或．
点评：
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，相似三角形的对应边成比例，注意要分情况讨论求解．
三．解答题（共7小题）
24．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y=x+b（b＞0）与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y=x+b的对称点O′，
（1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′落在⊙O上时，求b的值．
考点：
一次函数综合题；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定．21世纪教育网版权所有
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）根据轴对称得出直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线，推出AO=AO′，BO=BO′，求出AO=AO′=BO=BO′，即可推出答案；
（2）设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（﹣b，0），P（0，b），得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP=OM=1，根据勾股定理求出即可．
解答：
（1）证明：连接OO′，
∵点O关于直线y=x+b的对称，
∴直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线，
∴AO=AO′，BO=BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴AO=AO′=BO=BO′，
∴四边形OAO′B是菱形．
（2）解：如图，菱形OAO'B的对角线交点为点M，
当点O′落在圆上时，
∵OM=OO′=1，
∵设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（﹣b，0），P（0，b），
∴△ONP为等腰直角三角形，
∴∠ONP=45°，
∵四边形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP=45°=∠OPN，
∴OM=PM=MN=1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP=，
即b=．
点评：
本题考查了一次函数，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：图形和已知条件的结合，题目比较典型，难度也适中，是一道比较好的题目．www-2-1-cnjy-com
25．如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．
（1）求∠DA′E的大小；
（2）求△A′BE的面积．
考点：
翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
探究型．
分析：
（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E的度数；
（2）设AE=x，则ED=1﹣x，A′E=x，在Rt△A′DE中，利用sin∠DA′E=可求出x的值，在根据Rt△A′BE中，A′B=AB，利用三角形的面积公式即可求解．
解答：
解：（1）∵△A′BE是△ABE翻折而成，
∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，
∴在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1得，∠BA′C=30°，
又∵∠BA′E=90°，
∴∠DA′E=60°；
（2）解法1：设AE=x，则ED=1﹣x，A′E=x，在Rt△A′DE中，sin∠DA′E=，
即=，得x=4﹣2，
在Rt△A′BE中，A′E=4﹣2，A′B=AB=2，
∴S△A′BE=×2×（4﹣2）=4﹣2；
解法2：在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1，得A′C=，
∴A′D=2﹣，
设AE=x，则ED=1﹣x，A′E=x，
在Rt△A′DE中，A′D2+DE2=A′E2，
即（2﹣）2+（1﹣x）2=x2，得x=4﹣2，
在Rt△A′BE中，A′E=4﹣2，A′B=AB=2，
∴S△A′BE=×2×（4﹣2）=4﹣2．
点评：
本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
26．已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．
（1）试猜想AE与BD有何关系？说明理由；
（2）请给△ABC添加一个条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．
考点：
旋转的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．21世纪教育网版权所有
分析：
（1）根据旋转的性质推知四边形ABDE是平行四边形，则平行四边形的对边平行且相等，即AE∥BD，且AE=BD；
（2）AC=BC．根据旋转是性质可以推知平行四边形ABDE的对角线AD=BE，则该平行四边形是矩形．
解答：
解：（1）AE∥BD，且AE=BD．理由如下：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，∠ABC=∠DEC，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD；
（2）AC=BC．理由如下：
∵AC=BC，
∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD，
∴AD=BE，
又由（1）知，四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE为矩形．
点评：
本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定．此题属于易错题，解题时往往忽略根据“平行四边形ABDE的对角线AD=BE”才能推知四边形ABDE是平行四边形，而是误认为直接根据“四边形ABDE的对角线AD=BE”来证得四边形ABDE为矩形．
27．如图，正方形ABCD的边长为，E是边AD上的一个动点（不与A重合），BE交对角线于F，连接DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）设AF=x，△ABF面积为y，求y与x的函数关系式，并画出图象．
考点：
正方形的性质；正比例函数的图象；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°，根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；【出处：21教育名师】
（2）过点F作FM⊥AB于点M，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出FM的长度，再利用三角形的面积公式列式整理即可得到y与x的函数关系式．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
在△ABF和△ADF中，
∵，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF=DF；
（2）解：如图，过点F作FM⊥AB，
∵∠BAC=45°（正方形的对角线平分一组对角），
∴FM=AF=x，
∴y=AB?FM=×2×x=x，
∵E是边AD上的一个动点，
∴AF的最大值为AC=×AB=××2=2，
∴自变量的取值范围是0＜x≤2，
故y与x的函数关系式为y=x（0＜x≤2），图象如图．
点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及作正比例函数图象，比较简单，（2）中作辅助线构造等腰直角三角形从而求出AB边上的高是解题的关键，要注意自变量的取值范围．21·世纪*教育网
28．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．21世纪教育网版权所有
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）本题主要利用重合的性质来证明．
（2）首先要连接MB、MD，然后证明△FBM≌△MDH，从而求出两角相等，且有一角为90°．
（3）根据（2）的证明过程，中△FBM≌△MDH仍然成立即可证明．
解答：
（1）证明：∵四边形BCGF为正方形
∴BF=BM=MN，∠FBM=90°
∵四边形CDHN为正方形
∴DM=DH=MN，∠HDM=90°
∵BF=BM=MN，DM=DH=MN
∴BF=BM=DM=DH
∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM
∴△FBM≌△HDM
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90度，
∴FM⊥HM．
（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；
MB∥CD，且MB=CE=CD=DH（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．
∴∠FMB+∠HMD=180°﹣∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB=∠E，
同理：∠DME=∠A．
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．
由已知可得：BM=CE=AB=BF，
∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，
∴∠FMH=180°﹣（∠FMB+∠HMD）﹣（∠AMB+∠DME），
=180°﹣（180°﹣∠FBM）﹣∠CBM，
=∠FBM﹣∠CBM，
=∠FBC=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．
（3）解：△FMH还是等腰直角三角形．
点评：
本题综合考查了等腰三角形的判定，偏难，学生要综合运用学过的几何知识来证明．
29．如图，以△ABC三边为边在BC的同一侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）将△CBA绕着点C旋转，可以与哪一个三角形重合，以及旋转的度数（直接写答案）；
（2）四边形AFED一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED一定是菱形．（ 直接写答案，不必说明理由）
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；旋转的性质．21世纪教育网版权所有 21*cnjy*com
专题：
证明题．
分析：
（1）根据等边三角形BEC和ACF，推出AC=CF，BC=CE，∠ECB=∠FCA=60°，求出∠ACB=∠FCE，根据SAS证△ABC和△FEC全等即可；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由（1）推出AD=FE，同理求出△ABC≌DBE，推出ED=AF，根据平行四边形的判定推出即可；
（3）根据AB=AC和AB=EF，AC=AF，推出AD=DE=EF=AF，根据菱形的判定即可推出四边形AFED是菱形．
解答：
（1）解：△CEF，顺时针60°，
理由是：∵△BEC、△ACF是等边三角形，
∴AC=CF，BC=CE，∠ECB=∠FCA=60°，
∵∠ECB﹣∠ACE=∠ACF﹣∠ACE，
∴∠ACB=∠FCE，
在△ABC和△FEC中
，
∴△ABC≌△FEC．
∵∠ACF=60°，
∴将△CBA绕着点C旋转，可以与三角形CEF重合，以及旋转的度数是60°
．
（2）解：四边形AFED是平行四边形，理由是：
∵△ABD、△BCE、△ACF为等边三角形
∴CB=CE，CA=CF，∠BCE=∠ACF=60°，
∴∠BCE﹣∠ACE=∠ACF﹣∠ACE，
即∠BCA=∠ECF，
在△ABC和△FEC中
，
∴△ABC≌△FEC，
∴AB=EF，
又∵AB=AD，
∴AD=FE，
同理可证△ABC≌△DBE，ED=FA，
∴四边形AFED是平行四边形．
（3）解：AB=AC，
理由是∵AB=AC，AB=EF，AC=AF，
∴AD=DE=EF=AF，
∴四边形AFED是菱形．
点评：
本题考查了菱形的判定，旋转的旋转，全等三角形的旋转和判定，等边三角形的性质，平行四边形的判定等知识点的应用，主要是证△ABC≌△FEC和△ABC≌△DBE，题型较好，是一道综合性比较强的题目．21教育网
30．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．
考点：
菱形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定．21世纪教育网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）根据△ABD与△BCE是等边三角形，利用边角边定理容易得到全等条件证明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形对应边相等的性质得到DE=AC，又因为△ACF也是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等的性质，AC=AF，所以DE=AF，同理可证AD=EF，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可证明；21·cn·jy·com
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形ADEF是菱形，也就是平行四边形ADEF的邻边AD=AF，再根据等边三角形的三条边都相等，可得AB=AC，但当AB=BC时，△ABC与△EBC重合，四边形ADEF不存在，所以AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．
解答：
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°，
∴∠DBE=∠ABC，
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴AC=DE，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AF=AC，
∴DE=AF，
同理可得：EF=AD，
∴四边形ADEF平行四边形；
（2）答：△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．理由如下：
若四边形DAFE是菱形，
则AD=AF，
∵△ABD，△ACF都是等边三角形，
∴AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC，
但当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了，四边形ADEF不存在．
故当AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．
点评：
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，是小综合题，但难度不大，（2）中需要注意AB=AC≠BC的条件，否则四边形ADEF不存在，这也是同学们容易忽视而导致出错的地方．21教育名师原创作品
