浙教版八年级下期末冲刺复习资料
第二章 一元二次方程 试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．已知x=2是方程x2﹣2a=0的一个解，则2a﹣1的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
5．已知x=1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
6．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B． C．a+b D．a﹣b
7．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）21cnjy.com
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2﹣3x+1=0 B．x2+1=0
C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0
9．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）www.21-cn-jy.com
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
10．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200
C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200
二．填空题（共10小题）
11．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
12．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．
13．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ．
14．方程x2﹣3x+2=0的根是 ．
15．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ．
16．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是 ．
17．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 ．2·1·c·n·j·y
18．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为 ．
19．为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为 万元．【来源：21·世纪·教育·网】
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为 ．
三．解答题（共10小题）
21．先化简，再求值：（x﹣1）÷（﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．
22．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
23．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．
24．“4?20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．21世纪教育网版权所有
（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
26．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
27．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．21·cn·jy·com
28．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
29．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．
30．人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：
“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”21教育网
请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
已知关于x的方程﹣=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m．
（1）求m和k的值；
（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根．
浙教版八年级下期末冲刺复习资料 第二章 一元二次方程 试卷（解析版）
一．选择题（共10小题）
1．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
考点：
一元二次方程的解．21世纪教育网版权所有
分析：
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：
解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
故选A．
点评：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
3．已知x=2是方程x2﹣2a=0的一个解，则2a﹣1的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：
一元二次方程的解．21世纪教育网版权所有
分析：
一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=2代入方程式即可解．21教育网
解答：
解：把x=2代入方程x2﹣2a=0得×4﹣2a=0，解得a=3，把a=3代入2a﹣1=6﹣1=5．
故本题选C．
点评：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
4．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
5．已知x=1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
考点：
一元二次方程的解．21世纪教育网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得k的值．
解答：
解：把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1； 21*cnjy*com
故选C．
点评：
该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．
6．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B． C．a+b D．a﹣b
考点：
一元二次方程的解．21世纪教育网版权所有
分析：
本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．
解答：
解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），
∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，
又∵a≠0，
∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，
故a﹣b=﹣1．
故本题选D．
点评：
本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．
7．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2﹣3x+1=0 B．x2+1=0
C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0
考点：
根的判别式．21世纪教育网版权所有
专题：
计算题．
分析：
计算出各项中方程根的判别式的值，找出大于0的选项即可．
解答：
解：A、这里a=1，b=﹣3，c=1，
∵△=b2﹣4ac=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
本选项符合题意；
B、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
本选项不合题意；
C、这里a=1，b=﹣2，c=1，
∵△=b2﹣4ac=0，
∴方程有两个相等的实数根，
本选项不合题意；
D、这里a=1，b=2，c=3，
∵△=b2﹣4ac=﹣5＜0，
∴方程没有实数根，
本选项不合题意；
故选A
点评：
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
9．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．21世纪教育网版权所有
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【出处：21教育名师】
解答：
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
10．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200
C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．21世纪教育网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
2013年的房价8200=2011年的房价7600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答：
解：2012年同期的房价为7600×（1+x），
2013年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，
即所列的方程为7600（1+x）2=8200，
故选C．
点评：
考查列一元二次方程；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
12．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．
考点：
一元二次方程的解．21世纪教育网版权所有
分析：
先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．
解答：
解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：
1+3m+n=0，
3m+n=﹣1，
则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；
故答案为：﹣2．
点评：
此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．21世纪教育网版权所有
13．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ．
考点：
一元二次方程的应用．21世纪教育网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．www-2-1-cnjy-com
解答：
解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
125（1﹣x）2=80，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣1.8（不合题意，舍去）；
故答案为：20%
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．【来源：21·世纪·教育·网】
14．方程x2﹣3x+2=0的根是 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．21世纪教育网版权所有
专题：
因式分解．
分析：
由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
解答：
解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得x1=1，x2=2．
点评：
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
15．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ．
16．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．21世纪教育网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据方程的解x1x2=﹣3，x1+x2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．www.21-cn-jy.com
解答：
解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=﹣1．
点评：
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
17．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 ．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．21世纪教育网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
解答：
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．【版权所有：21教育】
18．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为 ．
考点：
根与系数的关系．21世纪教育网版权所有
分析：
利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2=﹣7，x1?x2=﹣8；然后将所求的代数式转化为含有x1+x2、x1?x2形式，并将其代入求值即可．21教育名师原创作品
解答：
解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，
∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1?x2=﹣8，
∴==﹣．
故答案是：﹣．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
19．为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为 万元．
考点：
一元二次方程的应用．21世纪教育网版权所有
专题：
增长率问题；压轴题．
分析：
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2012年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的教育经费数额，即可列出方程求解．
解答：
解：根据题意2012年为2500（1+x），2013年为2500（1+x）（1+x）．
则2500（1+x）（1+x）=3600，
解得x=0.2或x=﹣2.2（不合题意舍去）．
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2012年该市要投入的教育经费为：2500（1+20%）=3000万元．
故答案为：3000．
点评：
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为 ．
考点：
根的判别式．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，
解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2-1-c-n-j-y
三．解答题（共10小题）
21．先化简，再求值：（x﹣1）÷（﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．
考点：
分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．21世纪教育网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=（x﹣1）÷
=（x﹣1）÷
=（x﹣1）×
=﹣x﹣1．
由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=﹣1或x=﹣2．
当x=﹣1时，原式无意义，所以x=﹣1舍去；
当x=﹣2时，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1．
点评：
本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
考点：
解一元二次方程-配方法．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解答：
解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，
∴a≠0．
∴由原方程，得
x2+x=﹣，
等式的两边都加上，得
x2+x+=﹣+，
配方，得
（x+）2=﹣，
当b2﹣4ac＞0时，
开方，得：x+=±，
解得x1=，x2=，
当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．
点评：
本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
23．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．
考点：
根的判别式；解一元二次方程-公式法．21世纪教育网版权所有
分析：
（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，然后在次范围内找出最大的整数；
（2）①把a的值代入方程得到x2﹣8x+9=0，然后利用求根公式法求解；
②由于x2﹣8x+9=0则x2﹣8x=﹣9，然后把x2﹣8x=﹣9整体代入所求的代数式中得到原式=2x2﹣=2x2﹣16x+，再变形得到2（x2﹣8x）+，再利用整体思想计算即可．
解答：
解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，
解得a≤且a≠6，
所以a的最大整数值为7；
（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，
△=64﹣4×9=28，
∴x=，
∴x1=4+，x2=4﹣；
②∵x2﹣8x+9=0，
∴x2﹣8x=﹣9，
所以原式=2x2﹣，
=2x2﹣16x+，
=2（x2﹣8x）+，
=2×（﹣9）+，
=﹣．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想．
24．“4?20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．
（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．
考点：
一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，根据两种类型的车辆共运送16800顶帐篷为等量关系建立方程求出其解即可；
（2）根据（1）的结论表示出大小货车每次运输的数量，根据条件可以表示出大货车现在每天运输次数为（1+m）次，小货车现在每天的运输次数为（1+m）次，根据一天恰好运送了帐篷14400顶建立方程求出其解就可以了
解答：
解：（1）设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，
根据题意得：2[2（x+200）+8x]=16800，
解得：x=800．
∴大货车原计划每次运：800+200=1000顶
答：小货车每次运送800顶，大货车每次运送1000顶；
（2）由题意，得2×（1000﹣200m）（1+m）+8（800﹣300）（1+m）=14400，
解得：m1=2，m2=21（舍去）．
答：m的值为2．
点评：
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据各部分工作量之和=工作总量建立方程是关键．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点：
根与系数的关系；根的判别式．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．
解答：
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0，
∴k≤．
∴当k≤时，原方程有两个实数根．
（2）假设存在实数k使得≥0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴．
由≥0，
得≥0．
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立．
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得≥0成立．
点评：
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
26．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
考点：
一元二次方程的应用．21世纪教育网版权所有
分析：
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
解答：
解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=64
x=7或x=﹣9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×7=448（人）．
答：第三轮将又有448人被传染．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
27．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2·1·c·n·j·y
考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．21世纪教育网版权所有
专题：
压轴题；阅读型；新定义．
分析：
（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
（2）由条件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．
解答：
解：（1）不是，
解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb2+n，
当b=﹣6，c=﹣27时，
﹣27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=﹣，
∴c=﹣b2．
∵是偶系二次方程，
当b=3时，c=﹣×32．
∴可设c=﹣b2．
对于任意一个整数b，c=﹣b2时，
△=b2﹣4ac，
=4b2．
x=，
∴x1=﹣b，x2=b．
∴|x1|+|x2|=2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．
点评：
本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本体时根据条件特征建立模型是关键．21*cnjy*com
28．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
考点：
一元二次方程的应用．21世纪教育网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．
解答：
解：（1）ab﹣4x2；（2分）
（2）依题意有：ab﹣4x2=4x2，（4分）
将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，（6分）
解得x1=，x2=﹣（舍去）．（7分）
即正方形的边长为
点评：
本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．
依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．
29．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．
考点：
根的判别式；根与系数的关系．21世纪教育网版权所有
分析：
（1）确定判别式的范围即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．
解答：
（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，
解得：=±2，
即k=1或k=﹣．
点评：
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容．
30．人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：
“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”21·cn·jy·com
请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
已知关于x的方程﹣=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m．
（1）求m和k的值；
（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根．
考点：
解分式方程；根与系数的关系．21世纪教育网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；21cnjy.com
（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．
解答：
解：（1）分式方程去分母得：m﹣1﹣x=0，
由题意将x=1代入得：m﹣1﹣1=0，即m=2，
将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=﹣5；
（2）设方程另一根为a，根据根与系数的关系：则有2a=6，即a=3．
点评：
此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21·世纪*教育网
