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4.6 反证法 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．用反证法证明：在中，、、中不能有两个角是钝角时，假设，、、中有两个角是钝角，令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是
A．已知 B．三角形内角和等于
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
解：假设、、中有两个角是钝角，
令，，
则，
这与三角形内角和等于相矛盾，
故选：．
2．用反证法证明：“若，则”，应先假设
A． B． C． D．
解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设，
故选：．
3．用反证法证明“若，则，至少有一个不小于0．”时，第一步应假设
A．，都小于0 B．，不都小于0 C．，都不小于0 D．，都大于0
解：“若，则，至少有一个不小于0”第一步应假设：，都小于0．
故选：．
4．用反证法证明“若，则”时，应首先假设
A． B． C． D．
解：“若，则”的结论是，
用反证法时应先假设，
故选：．
5．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设
A． B． C． D．
解：反证法证明命题：“在中，，则”，
先假设．
故选：．
6．如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设
A． B． C． D．
解：假设结论不成立，即：成立．
故选：．
7．用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是
A．假设三角形中至少有两个钝角
B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角
D．假设三角形中没有钝角
解：用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角，
故选：．
8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在中，，
2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，
4、因此假设不成立．，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．用反证法证明命题“是无理数”时，应假设 是有理数 ．
解：用反证法证明命题“是无理数”时，应假设“是有理数”．
故答案为：是有理数．
10．已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1，其中，第一步应假设 这五个正数都小于1 ．
解：已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1，应先假设这五个正数都小于1，
故答案为：这五个正数都小于1．
11．要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于 ．
解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于．
故答案为：每一个内角都大于．
12．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 （3）（4）（1）（2） ．
证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
三．解答题（共3小题）
13．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．
已知：直线，，在同一平面内，，，
求证： ．
证明：
解：由命题的结论得：，
故答案为：，
证明：假设，相交于点，
则过点有两条直线，都平行于，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设是错误的，
所以．
14．用反证法证明下列问题：
如图，在中，点、分别在、上，、相交于点．求证：和不可能互相平分．
证明：连接，
假设和互相平分，
四边形是平行四边形，
，
在中，点、分别在、上，
不可能平行于，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即和不可能互相平分．
15．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，．
求证：．
（1）完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）
证明：假设 ．
如图2，过点作直线，使．
，
又，且直线经过点，
过点存在两条直线、与直线平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是 ．（填序号）
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
解：（1）证明：假设．
如图2，过点作直线，使．
（同位角相等，两直线平行），
又，且直线经过点，
过点存在两条直线、与直线平行，
这与平行公理“过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，故假设不成立，
．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
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4.6 反证法 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．用反证法证明：在中，、、中不能有两个角是钝角时，假设，、、中有两个角是钝角，令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是
A．已知 B．三角形内角和等于
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
2．用反证法证明：“若，则”，应先假设
A． B． C． D．
3．用反证法证明“若，则，至少有一个不小于0．”时，第一步应假设
A．，都小于0 B．，不都小于0 C．，都不小于0 D．，都大于0
4．用反证法证明“若，则”时，应首先假设
A． B． C． D．
5．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设
A． B． C． D．
6．如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设
A． B． C． D．
7．用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是
A．假设三角形中至少有两个钝角
B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角
D．假设三角形中没有钝角
8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
二．填空题（共4小题）
9．用反证法证明命题“是无理数”时，应假设 ．
10．已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1，其中，第一步应假设 ．
11．要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，首先应假设这个三角形中 ．
12．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
三．解答题（共3小题）
13．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．
已知：直线，，在同一平面内，，，
求证： ．
证明：
14．用反证法证明下列问题：
如图，在中，点、分别在、上，、相交于点．求证：和不可能互相平分．
15．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，．
求证：．
（1）完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）
证明：假设 ．
如图2，过点作直线，使．
，
又，且直线经过点，
过点存在两条直线、与直线平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是 ．（填序号）
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
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