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平行四边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十四号乘组迎来神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，完成“太空会师”，2022年12月4日，神舟十四号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．中国火箭 B．中国探火
C．航天神舟 D．中国行星探测
解：选项、、都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
2．（3分）如图，点是直线外一点，在上取两点、，分别以、为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形是平行四边形．其依据是
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
解：由题意可知，，，
四边形是平行四边形，
故选：．
3．（3分）用反证法证明命题“若，，则”时，第一步应假设
A．不平行于 B．平行于 C．不平行于 D．平行于
解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，第一步应假设与不平行，
故选：．
4．（3分）一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
解：一个正多边形每个内角都等于，
，
需要正三角形，
故选：．
5．（3分）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，，请你计算凸十边形对角线的总条数
A．54 B．44 C．35 D．27
解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线
一个十边形共有条对角线．
故选：．
6．（3分）如图，已知，那么下列式子中不正确的是
A． B．
C． D．
解：、，
△和△同底、等高，
，故不符合题意；
、，
△和△同底、等高，
，故不符合题意；
、，
，
，故不符合题意；
、△和不同底、不等高，
，故符合题意；
故选：．
7．（3分）一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为
A． B． C．35 D．
解：设平行四边形的对角线交于点，且，，，
，，
，
，
，
平行四边形是菱形．
平行四边形的面积为，
故选：．
8．（3分）中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是
A． B． C． D．
解：如图，连接与相交于，
在中，，，
要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；
、若，则，即，故本选项不符合题意；
、能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；
、若，则无法判断，故本选项符合题意；
、由，从而推出，然后得出，，，结合选项可证明四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：．
9．（3分）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
解：是的中位线，
．
，是的中点，
，
．
故选：．
10．（3分）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为
A． B． C． D．
解：、、、的外角和等于，五边形的外角和为，
的外角为，
，
故选：．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数是 ．
解：设正多边形的边数为，根据题意得：
，
解得：，
这个正多边形的每个外角的度数是：，
故答案为：．
12．（4分）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 5.5 ．
解：在矩形中，、，
，
在与中，
，
，
，
故答案为：5.5．
13．（4分）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 10 条．
解：设多边形有条边，
则，
解得．
故这个多边形是十三边形．
故经过这一点的对角线的条数是（条．
故答案为：10．
14．（4分）如图，、分别是中，边的中点，是上一点且，若四边形的面积为12，则的面积是 24 ．
解：设，
，
，
，
是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
由题意得：，
解得：，
，
故答案为：24．
15．（4分）如图，，，，是的平分线，若，则四边形的周长是 ．
解：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是的平分线，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形的周长，
故答案为：．
16．（4分）如图，平行四边形的对角线、相交于点，，点是线段上一点，连接、，若，，，则线段长为 ．
解：，
，
，，
，，
，，
，
又，
，
平行四边形的对角线、相交于点，，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）一个多边形，它的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数及内角和度数．
解：设这个多边形的边数为．
由题意得，．
．
这个多边形的边数为8．
这个多边形的内角和为．
18．（6分）如图，已知，，在上，并且，为垂足，，是上任意两点，点在上．设的面积为，的面积为，的面积为，小颖认为，请帮小颖说明理由．
解：直线，
，，的底边上的高相等，
，，这3个三角形同底，等高，
，，这些三角形的面积相等．
即．
19．（8分）如图，在中，，是对角线上的点，且，求证：．
证明：如图，在中，，，
，
，
，
，
，
．
20．（8分）请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为，另一个奇数为，、为整数），
则，
无论、取何值，都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
这两个整数中至少一个是偶数．
21．（8分）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为 ．
（2）△的面积为 ．
（3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ．
解：（1），
．
故答案为：．
（2）△的面积为：
故答案为：2.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：．
故答案为：．
22．（10分）如图，在四边形中，是边上的点，连接、，已知．
（1）若，求的度数．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
（1）解：，，
，，
；
（2）证明：连接，
，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
23．（10分）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ①
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ②
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中① ；② ．
（2）拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话？
解：（1）从四边形的一个顶点出发的对角线的条数是，对角线的总条数，
从五边形的一个顶点出发的对角线的条数是，对角线的总条数是，
从六边形的一个顶点出发的对角线的条数是，对角线的总条数是，
从七边形的一个顶点出发的对角线的条数是，对角线的总条数是，
从八边形的一个顶点出发的对角线的条数是，对角线的总条数是，
边形从一个顶点出发的对角线的条数是，对角线的总条数的总条数是．
故答案为：，；
（2）把76当成多边形的76个顶点，每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通电话的次数是（次．
24．（10分）如图，将沿着直线向右平移，得到，点，，的对应点分别是点，，，且点是边的中点．
（1）求证：与互相平分；
（2）连接，当，时，求四边形的面积．
（1）证明：如图1，连接、，
由平移的性质得：，，
点是边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
（2）解：由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，
如图2，过作于点，
设，则，
在和中，，，
，
解得：，
，
，
，
．
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第4章 平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十四号乘组迎来神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，完成“太空会师”，2022年12月4日，神舟十四号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．中国火箭 B．中国探火
C．航天神舟 D．中国行星探测
2．（3分）如图，点是直线外一点，在上取两点、，分别以、为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形是平行四边形．其依据是
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3．（3分）用反证法证明命题“若，，则”时，第一步应假设
A．不平行于 B．平行于 C．不平行于 D．平行于
4．（3分）一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
5．（3分）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，，请你计算凸十边形对角线的总条数
A．54 B．44 C．35 D．27
6．（3分）如图，已知，那么下列式子中不正确的是
A． B．
C． D．
7．（3分）一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为
A． B． C．35 D．
8．（3分）中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．（3分）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数是 ．
12．（4分）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 ．
13．（4分）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
14．（4分）如图，、分别是中，边的中点，是上一点且，若四边形的面积为12，则的面积是 ．
15．（4分）如图，，，，是的平分线，若，则四边形的周长是 ．
16．（4分）如图，平行四边形的对角线、相交于点，，点是线段上一点，连接、，若，，，则线段长为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）一个多边形，它的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数及内角和度数．
18．（6分）如图，已知，，在上，并且，为垂足，，是上任意两点，点在上．设的面积为，的面积为，的面积为，小颖认为，请帮小颖说明理由．
19．（8分）如图，在中，，是对角线上的点，且，求证：．
20．（8分）请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
21．（8分）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为 ．
（2）△的面积为 ．
（3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ．
22．（10分）如图，在四边形中，是边上的点，连接、，已知．
（1）若，求的度数．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
23．（10分）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ①
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ②
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中① ；② ．
（2）拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话？
24．（10分）如图，将沿着直线向右平移，得到，点，，的对应点分别是点，，，且点是边的中点．
（1）求证：与互相平分；
（2）连接，当，时，求四边形的面积．
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