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5.1 矩形 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点，，则的长为
A． B． C． D．
解：连接，如图所示：
在矩形中，，，，
对角线的垂直平分线分别交、于点，，
，
设，
则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故选：．
2．要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
解：、任选两个角，测量它们的角度，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、测量四条边的长度是否相等，能判定是否为菱形，不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、测量两条对角线的长度是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项不符合题意；
、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项符合题意；
故选：．
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，点是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为点、，则的值为
A． B． C． D．
解：如图：连接，
四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，
解得，
故选：．
4．如图，在矩形中，，，为的中点，连结并延长，交的延长线于点，点为上一点，当时，则的长度为
A． B． C．4 D．
解：，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
设，，，
在直角中，
，
解得：，
的长为．
故选：．
5．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线，就可以判断，其推理依据是
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：．
6．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是
A． B． C． D．
解：，，
四边形是平行四边形，
当或时，可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
，
，
四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：．
7．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是
A． B． C． D．
解：添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
对角线上的两点、满足，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
故选：．
8．如图，在中，，，，为边上一动点不与、重合），于，于，为中点，则的取值范围是
A． B． C． D．
解：如图，连接，
在中，，，，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，
为中点，
，
当时，，
的最小值为4.8，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．如图平行四边形中，对角线、相交于点，且，．则 ．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
故答案为：．
10．如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为 2 ．
解：平分，
，
四边形是矩形，，，
，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
11．如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是 ．
解：矩形木框变形为平行四边形木框
，，，，
点为的中点，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
，
故答案为：．
12．如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件：当 是的中点 时，四边形为矩形．
解：添加条件为：是的中点，理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
同理可证：，
，
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：是的中点．
三．解答题（共3小题）
13．如图，在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是矩形．
证明：，
，
点是中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，点是中点，
，
，
平行四边形是矩形．
14．如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（1）证明：四边形为矩形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形，
，即是等腰三角形，
，
．
15．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
（1）求证：平行且等于；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）若，，，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
即平行且等于；
（2）证明：由（1）知，，；
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
是直角三角形，，
的面积，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，．
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5.1 矩形 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点，，则的长为
A． B． C． D．
2．要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，点是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为点、，则的值为
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，为的中点，连结并延长，交的延长线于点，点为上一点，当时，则的长度为
A． B． C．4 D．
5．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线，就可以判断，其推理依据是
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，为边上一动点不与、重合），于，于，为中点，则的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
9．如图平行四边形中，对角线、相交于点，且，．则 ．
10．如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为 ．
11．如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是 ．
12．如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件：当 时，四边形为矩形．
三．解答题（共3小题）
13．如图，在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是矩形．
14．如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
15．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．
（1）求证：平行且等于；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）若，，，求的长．
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