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5.3 正方形 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．矩形、正方形都具有的性质是
A．对角线相等 B．邻边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是
A． B．，，
C．， D．，
3．如图，已知，小红作了如下操作：分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，依次连接，，，，则四边形的形状是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．四边形是正方形，为．上一点，连接，过作于，且，则正方形的周长为
A． B． C．24 D．6
5．如图，将两个全等的正方形与重叠放置．若，，则图中阴影部分的面积是
A．48 B．54 C． D．
6．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是
A． B． C． D．
7．如图，边长为6的正方形内部有一点，，，点为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的点有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在中，是上一动点，过点作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点，若点运动到的中点，且 时，则四边形是正方形．
． ． ． ．
二．填空题（共4小题）
9．在中，已知，为对角线，现有以下四个条件：①；②；③；④．从中选取两个条件，可以判定为正方形的是 ．（写出一组即可）
10．如图，正方形中，点在上，连接，点在上，连接，，，，则的长为 ．
11．如图，在边长为5的正方形中，点，分别是，上的两点，，，则的长为 ．
12．现有一张边长等于的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点处，沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 ．
三．解答题（共3小题）
13．已知矩形，平分交的延长线于点，过点作，垂足在边的延长线上，求证：四边形是正方形．
14．如图，在正方形中，是边上的一点，是边延长线上的一点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
15．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的面积；
（3）求证：．
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5.3 正方形 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．矩形、正方形都具有的性质是
A．对角线相等 B．邻边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
解：、矩形、正方形的对角线均相等且互相平分，故选项符合题意；
、正方形的邻边相等，矩形的邻边不一定相等，故选项不符合题意；
、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故选项不符合题意；
、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角，故选项不符合题意．
故选：．
2．如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是
A． B．，，
C．， D．，
解：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故选项符合题意，
故选：．
3．如图，已知，小红作了如下操作：分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，依次连接，，，，则四边形的形状是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
解：四边形为正方形，
理由如下：由题意得，，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
故选：．
4．四边形是正方形，为．上一点，连接，过作于，且，则正方形的周长为
A． B． C．24 D．6
解：，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
正方形的周长为．
故选：．
5．如图，将两个全等的正方形与重叠放置．若，，则图中阴影部分的面积是
A．48 B．54 C． D．
解：设与交于，连接，
四边形和正方形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积正方形的面积的面积的面积，
故选：．
6．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是
A． B． C． D．
解：图（1）中正方形的对角线的长为，
，
如图（2），连接，交于，
，四边形为菱形，
，，
，
，
，
故选：．
7．如图，边长为6的正方形内部有一点，，，点为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的点有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
解：如图所示，符合条件的点有5个，
故选：．
8．如图，在中，是上一动点，过点作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点，若点运动到的中点，且 时，则四边形是正方形．
． ． ． ．
解：过点，作，，
，为，的角平分线，
．
，
，
，
，
．
同理，
，
点运动到的中点，
，
四边形为一矩形，
若，则，
四边形为正方形．
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．在中，已知，为对角线，现有以下四个条件：①；②；③；④．从中选取两个条件，可以判定为正方形的是 ①③（答案不唯一） ．（写出一组即可）
解：根据正方形的判断方法可知：满足条件①③或①④或②③或②④时，是正方形．
故答案为：①③（答案不唯一）．
10．如图，正方形中，点在上，连接，点在上，连接，，，，则的长为 ．
解：正方形，，，
，
设，
，，
在中，，
如图所示，连接，过点作于，
，，是公共边，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，
，
解得，（舍去），，
的长为为，
故答案为：．
11．如图，在边长为5的正方形中，点，分别是，上的两点，，，则的长为 ．
解：过作交于，交于，
则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，
，
，
，
．
故答案为：．
12．现有一张边长等于的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点处，沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 正方形 （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 ．
解：如图，作平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于点，
为直角边长为的等腰直角三角形，
，
阴影正方形的边长．
故答案为：正方形，．
三．解答题（共3小题）
13．已知矩形，平分交的延长线于点，过点作，垂足在边的延长线上，求证：四边形是正方形．
解：四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
矩形是正方形．
14．如图，在正方形中，是边上的一点，是边延长线上的一点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（1）证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
．
15．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的面积；
（3）求证：．
（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，且，
，
，
，
；
（3）在上截取，连接，
，
，
，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
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