浙教版九年级上册 第一章 二次函数 复习课课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
二次函数定义
已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？
例题讲解
明确起点：明辨a，b，c…
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知识点 二次函数的定义
一般地，形如　　　　　　　　　　　（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
注意条件：a，b，c限制条件
已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？
例题讲解
明确起点：明辨a，b，c…
(1)根据一次函数的定义，得m2－m＝0，
解得m＝0或m＝1，
又m－1≠0，即m≠1.
∴当m＝0时，这个函数是一次函数．
(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0，
解得m1≠0，m2≠1.
∴当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数．
方法总结
对于此类题目，应关注二次函数与一次函数的系数特点，比如，对于形如y＝ax2＋bx＋c的函数解析式来说
当a≠0时，该函数是二次函数；
当a＝0且b≠0时，该函数是一次函数.
积累经验：学会回到定义去解题…
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象
例题讲解


知识链接

本题中可根据a的符号确定反比例函数图象所在象限、二次函数图象开口方向来解决问题．
例题讲解

只有D选项图形符合

方法总结
对于这类题目，一般要分类讨论，即讨论a＞0与a ＜0两种情况，然后对各选项运用排除法进行选择，如果有多项都符合，还需要判定两个图象的交点情况.
二次函数y＝a（x－m）2＋k（a≠0）的图象
例题讲解
设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.
先根据题目条件确定函数是一次函数还是二次函数，再
根据函数图象解决问题．
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知识点 一次函数的图象和二次函数的图象
例题讲解
当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)，所画函数图象如图：
设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；
例题讲解
设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
①图象都过点(1，0)和点(－1，4)；
②图象总交x轴于点(1，0)；
③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)]的图象都经过
点(1，0)和(－1，4)等等．(答案不唯一)
例题讲解
将函数y2＝(x－1)2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数y3的最小值等于－2.
设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.
（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.
方法总结
函数图象的平移问题，可转化为点的平移，在平移前取函数图象的某些点，确定出平移后对应点的坐标，用待定系数法可求出函数表达式或利用这种方法检验答案是否正确.
二次函数的解析式 王小林
例题讲解
已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.
（用三种解法回答）
明确起点：从二次函数的图像出发
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知识点 二次函数的解析式
确定二次函数解析式常用待定系数法，根据条件，可有下列
设立解析式的方法，便于解决问题：
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
两点式：y=a(x-x1)(x-x2)
注意：（a≠0）
(h,k)为顶点...
x1,x2为图像与x轴交点坐标...
例题讲解
已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.
（用三种解法回答）
明确起点：二次函数图像...
解法一（一般式法）：
设所求二次函数的表达式是：
y＝ax2＋bx＋c.
∵二次函数的图象过点(0，3)，可求得c＝3.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(0，3)
(－1，0)
(3，0)
例题讲解
已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.
（用三种解法回答）
明确起点：二次函数图像...
解法二（顶点式法）：
二次函数的图象过点(－1，0)，(3，0)，可得对称轴为直线x＝1，
设所求二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋k，
∴二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3.
x=1
(－1，0)
(3，0)
例题讲解
已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.
（用三种解法回答）
解法三(两点式法）：
由图可得二次函数的图象与x轴交点为：
(3，0)，(0，3)，
由两点式设二次函数的表达式为：
y＝a(x＋1)(x－3).
将(0，3)代入，则有a(0＋1)(0－3)＝3，
∴a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
明确起点：二次函数图像...
(－1，0)
(3，0)
两点式：y=a(x－x1)(x－x2)，
x1=－1，x2=3
方法总结
积累经验：学会数形结合去解题…
1、二次函数图象上已知任意三点，
可设一般式y＝ax2＋bx＋c来求解；
2、已知函数图象上的对称点，得到对称轴，
可设顶点式y＝a（x－m）2＋ k来求解；
3、已知抛物线与x轴的交点坐标，
可设两点式：y＝a(x－x1)(x－x2) 来求解.
本题三种解法均可，但是两点式更为便捷.
二次函数的性质-柳凯
例题讲解
如果抛物线y＝ax2 ＋ bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线.
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答.
确定二次函数解析式常用待定系数法，根据条件，可选取顶点式
便于解决问题：
顶点式：y＝a(x－h)2＋k 适用于：已知顶点坐标
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知识点 二次函数的解析式
例题讲解
(1)选择（1，1）为二次函数顶点，令二次项系数为1，
则依据顶点式得：y＝（x－1） ＋1；
写成一般式：y＝x －2x＋2；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k
如果抛物线y＝ax2 ＋ bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线.
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；
例题讲解
如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线.
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答.
积累经验：学会联想顶点式…
(2)∵定点抛物线：y＝－x ＋2bx＋c＋1＝－（x－b） ＋b ＋c＋1；
∴顶点坐标为（b，b ＋c＋1），且－1＋2b＋c＋1＝1，即： c＝1－2b；
∵顶点纵坐标：b ＋c＋1＝b －2b＋2＝（b－1） ＋1，
∴当b＝1时，顶点纵坐标最小，此时c＝－1；
∴抛物线的解析式为：y＝－x ＋2x.
方法总结
对于此类题目，应关注二次函数的解析式的形式，根据题目中的条件选取最合适的二次函数解析式的形式来解决问题，达到解题的目的。
二次函数最值在实际问题中的应用-高鹏
例题讲解
如图所示是抛物线形状的拱桥.已知水位在AB位置时，水面宽 m水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽 m .若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到拱桥顶？
建立二次函数模型
通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：
建立平面直角坐标系,通常以图形的对称轴作为y轴
建立二次函数模型，借助二次函数最值解决实际问题
用配方法或顶点坐标公式求二次函数最值
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知识点 二次函数的最值在实际问题中的应用
例题讲解
如图所示是抛物线形状的拱桥.已知水位在AB位置时，水面宽 m水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽 m .若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到拱桥顶？
如图，以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M在y轴上，A、B两点的坐标分别为（ ，0 ），（ ，0 ）；C、D两点的坐标分别为（ ，3），（ ，3 ）.
例题讲解
设抛物线的函数表达式为 y=ax2+k.
把点B、D的坐标分别代入 y=ax2+k，得 ，解得
∴抛物线的函数表达式为 ,顶点坐标为（0，6）.
设CD与y轴交于点N，则 N（0，3）. ON=3 m.
∵ OM=6 m， MN=6-3=3(m). 3÷0.25=12(h).
故过警戒线后12h将淹到拱桥顶。
顶点式：y＝a(x－h)2＋k
方法总结
解决此类问题的关键是要建立直角坐标系，以AB的中点为原点，找出A，B，C，D四点的坐标来确定抛物线的函数表达式.对于此类需要建立坐标系的问题，一般把y轴设定为图形的对称轴.
积累经验：学会建立数学模型解决实际问题···
例题讲解
某批发商以40元/kg的价格购入了某种水果500kg.据市场预测，该种水果的售价y（元/kg）与保存时间x（天）的函数关系式为y＝60＋2x，但保存这批水果平均每天将损耗10kg，且最多能保存8天.另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用.
（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为　　　　元/kg，获得的总利润为　　　　元；
（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数表达式；
（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润.
注意条件：x为非负整数
通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：
利润＝售价×销售量－成本
建立二次函数模型，借助二次函数解决实际问题
用配方法或顶点坐标公式并结合实际意义，求出
问题的最大值。
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知识点 建立二次函数模型解决实际问题
例题讲解
(1)根据题中水果售价(y)与保存时间(x)的函数关系式可知，
当x=1时，y=60+2x=62(元).
利润为：62×(500-10)-40×500-40=10340 (元).
(2)由题意，得w=(60+20x)(500-10x)-40x-500×40= -20x2+360x+10 000.
(3)w= -20x2+360x+10 000= -20(x-9)2 +11 620.
∵0≤x≤8,x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大.
∴当x=8时，w取最大值，w最大=11 600.
积累经验：用配方法求二次函数最大值…
提示：利润＝售价×销售量－成本
方法总结
此类问题可根据“利润＝售价×销售量－成本”列出函数表达式，利用配方法或顶点坐标公式结合实际情况，即可求出利润的最大值.
积累经验：学会建立数学模型解决实际问题···
二次函数与一元二次方程不等式之间的联系
（2015·咸宁）如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象，下列结论：①二次三项式ax ＋bx＋c的最大值是4； ②4a＋2b＋c＜0； ③一元二次方程ax ＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
训练眼力：从图像你能得到哪些信息？
新 知 链 接
知识点 二次函数的图象
二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象
（1）a＜0开口向下，函数有最大值；a＞0开口向上，函数只有最小值
（2）二次函数图象与系数之间的关系（对称轴，特殊点）
（3）二次函数与方程和不等式（组）的关系
（2015·咸宁）如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象，下列结论：①二次三项式ax ＋bx＋c的最大值是4；
∵开口向下a＜0
又∵顶点坐标（－1，4）
∴二次函数y＝ax ＋bx＋c最大值为4
即二次三项式ax ＋bx＋c的最大值是4，
故①正确
如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象，
②4a＋2b＋c＜0；
由图像知：当x=2时，y＜0
∴ 4a＋2b＋c＜0，故②正确
2
如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象，
③一元二次方程ax ＋bx＋c＝1的两根之和为－1；
y ＝1
x ＝ －1
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax ＋bx＋c＝1的两根
满足
∴两根之和为－2，故③错误
如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象，
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
y ＝3
由图像知：使y≤3成立的x的
取值范围是x≤－3或x ≥0
故④错误。所以这题选择B
【方法总结】这种类型的题目主要考查形式为选择题，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常把已知点坐标代入解析式中找出a，b，c的关系，再结合对称轴方程x＝ ，确定a、b之间的等量关系，判断与x轴交点情况则利用判别式b －4ac.