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第5章 特殊平行四边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为
A． B． C． D．
解：如图，
由题意得：，
根据矩形的性质推出，
，，
，
．
故选：．
2．（3分）如图，在矩形中，是上的动点，，分别是，的中点，则的长随着点的运动
A．变小 B．变大 C．不变 D．先变小再变大
解：，分别是，的中点，
，
是定长，
无论运动到哪个位置的长不变，
故选：．
3．（3分）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
A． B． C． D．
解：结合选项可知，添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形，
故选：．
4．（3分）在四边形中，两对角线交于点，若，则这个四边形
A．可能不是平行四边形 B．一定是菱形
C．一定是正方形 D．一定是矩形
解：这个四边形是矩形，理由如下：
对角线、交于点，，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形．
故选：．
5．（3分）如图，在中，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为
A． B． C．3 D．4
解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；
故选：．
6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是
A． B． C． D．
解：菱形的两条对角线的长分别为和，
面积为，
故选：．
7．（3分）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是
A． B．
C． D．
解：．平行四边形的一个角为，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选项符合题意；
四边形是平行四边形，
．因为，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
对边相等，故不一定是菱形；
．平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
．由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
故选：．
8．（3分）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为
A．6 B．8 C． D．
解：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
9．（3分）如图，在锐角中，，于点．若，，则的长为
A． B．2 C． D．2.4
解：方法一：过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
设，
则，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
解得（舍去）或，
；
方法二：过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，
，
故选：．
10．（3分）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是
A． B． C． D．1
解：过作于，如图所示：
则，
四边形是正方形，
正方形的面积，，，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，菱形的面积，
菱形与正方形的面积之比，
故选：．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图平行四边形中，对角线、相交于点，且，．则 ．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
故答案为：．
12．（4分）如图，是的高，，若，，则的面积是 135 ．
解：以为边作正方形，在上截取，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即，
．
在和中，
，
，
，
设，
则，
，．
在中，，，
，
，
解得：，
，
，
的面积．
故答案为：135．
13．（4分）如图，在中，，分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点．连接、．若，则 ．
解：连接，如图．
分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
．
故答案为：．
14．（4分）如图，矩形的对角线，相交于点，，．若，则四边形的周长是 8 ．
解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长；
故答案为：8．
15．（4分）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
解：如图，连接．
由已知可得：，
四边形是矩形，
，
在中，当时最短，即最小，
，点，
，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
即当点运动到使于点时，最小，最小值为，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
矩形的面积，
即当取最小值时，则四边形的面积为，
故答案为：．
16．（4分）如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点也停止），这段时间内，当运动时间为 或或 时，、、、四点组成矩形．
解：根据已知可知：当点到达点时，点将由运动，
四边形是矩形，
，，
，
若，则四边形是矩形，
由题意得，
当时，，，
，
当时，，，
，
当时，，，
；
当时，，，
，此时与重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：或或．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且．求证：．
证明：四边形是菱形，
，，
在与中，
，
，
，
．
18．（6分）已知：矩形的对角线、相交于点，点、、、分别在、、、上，且．求证：四边形是矩形．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形．
19．（8分）如图，在矩形中，延长至点，使，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求点，之间的距离．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
点，之间的距离为．
20．（8分）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，
平分，，
，，
，
，
，，
，
，
矩形的面积是：，
即矩形的面积是20．
21．（8分）如图，在中，，交于点，点，在，且．
（1）求证：；
（2）若，点，分别为，的中点，连接，，，求四边形的周长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
四边形是菱形，
，
由（1）可知四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
又，
，
，
四边形的周长为．
22．（10分）如图，，平分且交于点，平分，且交于点，连接．
（1）是等腰三角形吗？为什么？
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
（1）解：是等腰三角形，理由：
，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，，
，，
是等腰三角形；
（2）证明：由（1），，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积为．
23．（10分）如图所示中，，，的平分线交于点，于点，于点．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）若，，求的长．
（1）证明：过点作于点，
，于点，于点，
四边形是矩形，
又，的平分线交于点，
，
矩形是正方形；
（2）解：，，，
，
四边形为正方形，
，
，
则，
故．
24．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：①与有怎样的位置关系？请说明理由．
②的值为 2 ．
解：（1）如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）①，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
；
②由①知，，
，
，
故答案为：2．
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第5章 特殊平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为
A． B． C． D．
2．（3分）如图，在矩形中，是上的动点，，分别是，的中点，则的长随着点的运动
A．变小 B．变大 C．不变 D．先变小再变大
3．（3分）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
A． B． C． D．
4．（3分）在四边形中，两对角线交于点，若，则这个四边形
A．可能不是平行四边形 B．一定是菱形
C．一定是正方形 D．一定是矩形
5．（3分）如图，在中，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为
A． B． C．3 D．4
6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是
A． B． C． D．
7．（3分）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为
A．6 B．8 C． D．
9．（3分）如图，在锐角中，，于点．若，，则的长为
A． B．2 C． D．2.4
10．（3分）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是
A． B． C． D．1
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图平行四边形中，对角线、相交于点，且，．则 ．
12．（4分）如图，是的高，，若，，则的面积是 ．
13．（4分）如图，在中，，分别以、为圆心取的长为半径作弧，两弧交于点．连接、．若，则 ．
14．（4分）如图，矩形的对角线，相交于点，，．若，则四边形的周长是 ．
15．（4分）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ．
16．（4分）如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点也停止），这段时间内，当运动时间为 时，、、、四点组成矩形．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且．求证：．
18．（6分）已知：矩形的对角线、相交于点，点、、、分别在、、、上，且．求证：四边形是矩形．
19．（8分）如图，在矩形中，延长至点，使，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求点，之间的距离．
20．（8分）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
21．（8分）如图，在中，，交于点，点，在，且．
（1）求证：；
（2）若，点，分别为，的中点，连接，，，求四边形的周长．
22．（10分）如图，，平分且交于点，平分，且交于点，连接．
（1）是等腰三角形吗？为什么？
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
23．（10分）如图所示中，，，的平分线交于点，于点，于点．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）若，，求的长．
24．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：①与有怎样的位置关系？请说明理由．
②的值为 ．
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