第4章 平行四边形 练习题 （含解析）2021-2022学年浙江省各地浙教版数学八年级下册期末试题选编

第4章 平行四边形
一、单选题
1．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）正五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．C． D．
6．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）如图，已知的一组邻边AB，BC，用尺规作图作，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，，若，则的长度是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．12
10．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
二、填空题
11．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是_____边形．
12．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）一个正多边形的内角和等于1440°，则此多边形是________边形．
13．（2022春·浙江衢州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__．
14．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，，点P为AB上任意一点，连接PC，以PB，PC为邻边作，连接PQ，则PQ的最小值为______．
15．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A（－3，）关于原点中心对称的点的坐标是______．
16．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为____________时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．
17．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，作出它的对角线的交点O，我们可以做如下操作：
用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置. 如果设细木条与一组对边AB，CD的交点分别为点E，F，则下列结论：①OE=OF；②AE=CF；③BE=DF；④△AOE≌△COF，其中一定成立的是_________________________（填写序号即可）.
18．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是______m．
19．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）图，在中，，，点H、G分别是边，上的动点（点G不与B，C重合），连结，．若点E为的中点，点F为的中点，连结．则的最小值为___________．
20．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都____60°（填“＞”“＜”或“＝”）．
三、解答题
21．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数.
22．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
23．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD．
(1)求∠BAC的度数．
(2)若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长．
24．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）图1，图2，图3都是由边长为a的小菱形构成的网格，每个网格图中都有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的小菱形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．
(1)使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形（图1）；
(2)使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形（图2）；
(3)使得4个阴影小菱形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形（图3）．
25．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
26．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，，E是直线CD上的一点，CE＝CD，连接AD，AE，BC，AE，BC交于点F，且点F是BC的中点，连接DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若∠CEF＝∠CFE，求证：DF⊥AE．
27．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）如图，是对角线的交点，于点，延长至点，使，连结．
(1)求证：．
(2)当为矩形，，时，求，的长．
28．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图，连交于点，若，，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据多边形内角和公式求出正方形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．
【详解】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，
正六边形的每个内角的度数是=120°，
∴∠1=120°-90°=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和等知识点，能分别求出正方形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．
2．B
【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3．C
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
4．D
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
5．C
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；进行判断即可．
【详解】解：由题意知A、B、D均不是中心对称图形
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的定义．
6．C
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
【详解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
7．C
【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：图①，由作图可知，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确；
图②，
由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长到点D，使，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；
图③，作同位角相等，得出，再截取，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；
图④，作同位角相等，得出，再截取，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；
综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图的意义是解题的关键．
8．A
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
9．D
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形斜边上的中线即可求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=8，
∵DE=4DF，DF+EF=DE，
∴EF=3DF=6，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴AC=2EF=12，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
11．十
【分析】设多边形的边数为n，根据题意列方程求出n的值即可．
【详解】设多边形的边数为n，根据题意列方程得
(n-2)·180 =4×360
解得n=10
∴这个多边形是十边形．
故答案为：十
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理和外角和定理，n边形(n≥3)的内角和等于(n-2)·180 ，n边形的外角和等于360 ．熟练掌握这两个定理是解题的关键．
12．10/十
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n2）×180°=1440，求出方程的解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则（n2）×180°=1440°，
解得：n=10，
即这个多边形是10边形，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：边数为n（n≥3）的多边形的内角和=（n2）×180°．
13．40°
【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°,
∵DC=DB,
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.
故答案是：40°．
【点睛】考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
14．
【分析】设PQ与AC交于点O，作OD⊥AB于D．首先求出OD，当P与D重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OD．
【详解】解：设PQ与AC交于点O，作OD⊥AB于D．如图所示：
∵四边形PCQB是平行四边形，
∴PQ=2OP,OB＝OC＝BC＝2，
∵OD⊥AB，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，∠BOD＝30°，
∴BD＝OB＝1，，
当P与D重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．(3，－)
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：点A（－3，）关于原点中心对称的点的坐标是(3，－)，
故答案为：(3，－)．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
16．
【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：，
，
如图，作关于的对称点，连接，，取的中点，
C为线段的中点，
，
为与重叠部分，
，
与重叠部分的面积为面积的，
过点，
对称，
，
与重叠部分的面积为面积的，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
对称，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
17．①②③④．
【分析】①④由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF（ASA），则可证①、④结论成立；②由△AOE≌△COF可得结论成立；③根据平行四边形的性质和②可得结论成立．
【详解】解：如图，直细木条所在直线与AB,CE分别交于点E,F.
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，OA=OC，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
故①和④结论成立；
②由①知：△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
故②结论成立；
③∵四边形ABFE为平行四边形；
∴AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
故③结论成立．
则一定成立的是：①②③④；
故答案为①②③④．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是解此题的关键．
18．32
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB＝2MN＝32（m），
故答案为：32．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
19．
【分析】过点A作于点N，在中，点E为的中点，点F为的中点，得到当G于点N重合时，AG最小，即可得出结果．
【详解】解：如图所示，过点A作于点N，
在中，
在中
点E为的中点，点F为的中点，
∵点G是边上的动点（点G不与B，C重合），
∴当G于点N重合时，AG最小，
∴AG最小值为EF最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，勾股定理，含45度角的直角三角形的性质，求得AG的最小值是解题的关键．
20．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【详解】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
21．10
【分析】根据边形的内角和公式列方程就可以求出多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据n边形的内角和公式，得，
解得，
∴这个多边形的边数是10．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
(3)的值为或或或
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（2）首先设与的交点为，根据平行四边形的性质，得出，，再根据折叠的性质，得出，，，根据等量代换，得出，，再根据，可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等角对等边，得出，再根据三角形的内角和为，得出，然后再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据直角三角形的勾股定理，得出，再根据线段的关系，得出，再利用等量代换，得出，进而算出，然后再利用，即可得出结果；
（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵沿翻折至，
∴，
∴．
（2）解：如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
解得：，
∴．
（3）解：如图，当时，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，
同理可得：．
如图，当，点在的上方时，
过点作，交于，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵沿翻折至，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
如图，当，点在的下方时，
同理可得：．
综上可得：的值为或或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况．
23．(1)60°
(2)20
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，可求得∠BCD，根据翻折的性质可得∠BCA=∠ACE，再由已知条件可得，∠BCD=5∠ECD=100°，即可求得∠ECD=20°，据此即可求得；
（2）首先根据平行四边形的性质和翻折的性质，可得AE=CD，∠E=∠D，即可证得△EFA≌△DFC（AAS），可得AF=CF=4，AD=BC=6，再根据三角形的内角和定理，可得∠CFD =∠D，可得CD=CF=4，据此即可求得．
（1）
解：∵在 ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠B=180°-80°=100°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵∠ACE=2∠ECD ，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=5∠ECD=100°，
∴∠ECD=20°，
∴∠BCA=2∠ECD=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=180°-80°-40°=60°；
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=80°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠E=∠D，
在△EFA与△DFC中
∴△EFA≌△DFC（AAS），
∴AF=CF=4，
∴AD=BC=4+2=6，
又∵∠ECD=20°，∠D=80°，
∴∠CFD=180°-∠D-∠ECD=180°-80°-20°=80°，
∴∠CFD =∠D，
∴CD=CF=4，
∴ ABCD的周长=AD+BC+CD+AB=6+6+4+4=20．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可；
（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可；
（3）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可；
（1）
解：图形如图所示：
（2）
图形如图所示：
（3）
图形如图所示：
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由可证得：，得，再证，由平行四边形的判定定理，即可得证；
（2）由可得：，再证，则，然后证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)DF=4、CE=1
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得，结合得到是的中位线，进而推出即可求解；
（2）由平行四边形的性质求出，结合得到，由勾股定理求出OE即可求解．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴是的中位线．
∴．
∵，
∴，
即；
(2)
解：∵是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
在中，．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线，勾股定理，理解相关知识是解答关键．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得，，再证明，从而可得结论；
（2）证明是的中位线，从而可得答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为 的边、的中点，
，
在与中，
≌，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
，
即，
，
，
为的中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的定义与性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．