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解一元二次方程专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
解一元二次方程
（1）3x2+5x+1＝0 （2）x2﹣5x+2＝0 （3）2x2+2x+1=0.
(4) 3x2-7x+3=0 （5）x2－2x－＝0 （6）3y2－11y+9＝0
连续递推，豁然开朗
．
（3） (4) (2x＋1)(2x－1)＝2x
，
思维拓展，更上一层
（1） 解关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋3k＝0.
解关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（3）阅读下面的材料：解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为
y2－7y＋12＝0.∵a＝1，b＝－7，c＝12，∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.
∴y＝＝.解得y1＝3，y2＝4.
当y＝3时，x2＝3，x＝±.当y＝4时，x2＝4，x＝±2.
∴原方程有四个根：x1＝，x2＝－，x3＝2，x4＝－2.
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题．
1.解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0
2.解方程:x4－5x2+4＝0.
3.解方程:(x2+x)2－4(x2+x)－12＝0.
解一元二次方程专项训练（1）===参考答案
夯实基础，稳扎稳打
a＝3，b＝5，c＝1，△＝25﹣12＝13，x＝，
（2）a＝1，b＝﹣5，c＝2，△＝25﹣8＝17，x＝；
（3）a=2,b=2,c=1,Δ=b2-4ac=(2)2-4×2×1=0,x==-,x1=x2=-.
(4) a=3，b＝﹣7，c＝3，Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×3=13>0,x==,x1=,x2=.
（5）a＝1,b＝－2,c＝－，△＝(－2)2－4×1× eq \b \bc\((－) ＝4+1＝5,
x＝ eq \f(－（－2）±,2×1) ＝ eq \f(2±,2) , x1＝ eq \f(2+,2) ,x2＝ eq \f(2－,2)
a＝3,b＝－11,c＝9,△＝(－11)2－4×3×9＝13，y＝ eq \f(11±,6)
连续递推，豁然开朗
， ，．
，，
则或，，．
（3） ，，，，
，
（4）解：原方程可化为4x2－2x－1＝0，a＝4，b＝－2，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝8－4×4×(－1)＝24>0，∴x＝＝＝，
（5） ．，
，或．，
，
或， 即，；
思维拓展，更上一层
（2）解：△=[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k），=k2﹣2k+1，=（k﹣1）2，
（1）解：Δ＝b2－4ac＝[－(k＋3)]2－4·3k＝(k－3)2≥0,
X= , x1=k,x2=3
∵无论k取什么实数值，（k﹣1）2≥0，∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0，解得：x1=2k，x2=k+1，
3.(1)解：(1)设y＝x2＋x，则原方程整理为y2－5y＋4＝0，
∴(y－1)(y－4)＝0.解得y1＝1，y2＝4.
当y＝x2＋x＝1，即x2＋x－1＝0时，解得x＝.
当y＝x2＋x＝4，即x2＋x－4＝0时，解得x＝.
综上所述，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝.
（2）设x2＝y,则x4＝y2,代入原方程化为一元二次方程y2－5y+4＝0①,
解得y1＝1,y2＝4.当y＝1时,x2＝1,解得x1＝1,x2＝－1；
当y＝4时,x2＝4,解得x3＝2,x4＝－2.
所以原方程的根为x1＝1,x2＝－1,x3＝2,x4＝－2.
(3)设x2+x＝y,则原方程可化为y2－4y－12＝0,解得y1＝6,y2＝－2.
解方程x2+x＝6,得x1＝－3,x2＝2
由x2+x＝－2,得x2+x+2＝0,∴△＝12－4×1×2＝－7<0,此时方程无实根∴原方程的解为x1＝－3,x2＝2
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解一元二次方程专项训练（2）
夯实基础，稳扎稳打
（5） （6）
连续递推，豁然开朗
（1）
(6) x2－6x－9 991＝0.
7.解关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，其中p为实数.
（8）解关于x的一元二次方程x2+k2+k=（2k+1）x．
思维拓展，更上一层
1、阅读材料，解答问题：
材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0
,我们可以视(x2-1)为一个整体.
然后设y=x2-1,原方程可化为y2-5y+4=0
①.解得y1=1,y2=4.
当y1=1时，x2-1=1,即x2=2，∴x=.
当y2=4时，x2-1=4,即x2=5，∴.x=
∴原方程的解为x1=.x2=x3= x4=
(1)解方程(x2+1)2-2(x2+1)-3=0
(2)解方程:2-2-15=0.
(3)解方程x4-x2-6=0.
2．阅读下面的例题：例：解方程x2﹣2|x|﹣3=0
解：（1）当x≥0时，原方程可化为x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1（舍去），x2=3
（2）当x＜0时，原方程可化为x2+2x﹣3=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣3．
综上所述，原方程的根是x1=3，x2=﹣3．依照题目给出的例题解法，
（1）解方程x2+2|x﹣2|﹣4=0
（2）解方程:x2－2|x－2|－4＝0.
解一元二次方程专项训练（2）-----参考答案
夯实基础，稳扎稳打
，，，，
，，．
(2)，-4，，.，
，，．
（3），，，，，
，．
（4），，，，原方程无实数根；
（5），，，， ，，．
（6） 2，，， ，；
连续递推，豁然开朗
，或，，；
，．
，，；
，，，，，；
，，
，，，，．
(6) x2－6x＝9 991. x2－6x＋9＝10 000.(x－3)2＝10 000.
x－3＝±100.x1＝103，x2＝－97.
7.解：原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4(4－p2)＝4p2＋9＞0,
∴不论p为何实数,方程总有两个不相等的实数根.x＝.
（8）解：△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，x=，即x1=k，x2=k+1，
思维拓展，更上一层
(13)(1)解:设x2+1=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,解得y1=3,y2=-1.
当y=3时,x2+1=3,解得x=±.
当y=-1时,x2+1=-1,x2=-2,此方程无实数解.所以原方程的解为x1=,x2=-.
(2) 解:2-2-15=0,设=a,则原方程可变形为a2-2a-15=0,
解得a1=-3,a2=5.
当a=-3时,=-3,解得x=,经检验,x=是分式方程的解;
当a=5时,=5,解得x=,经检验,x=是分式方程的解.
所以原方程的解是x1=,x2=.
(3)设x2=y,原方程可化为y2-y-6=0①.解得y1=3,y2=-2.
当y1=3时，即x2=3,∴x=.
当y2=-2时，x2=-2无解.
∴原方程的解为x=.
14.(1)解：(1)当x－2≥0,即x≥2时,原方程可化为x2+2(x－2)－4＝0,
x2+2x－8＝0解得x1＝-4,x2＝2∵x≥2,∴x＝2.
当x－2<0,即x<2时,原方程可化为x2+2(2－x)－4＝0,
解得x1＝0,x2＝2
∵x<2,∴x＝0.综上所述,原方程的解是x1＝2,x2＝0
(2)解：(1)当x－2≥0,即x≥2时,原方程可化为x2－2(x－2)－4＝0,
解得x1＝0,x2＝2∵x≥2,∴x＝2.
当x－2<0,即x<2时,原方程可化为x2－2(2－x)－4＝0,
解得x1＝2,x2＝－4
∵x<2,∴x＝－4.综上所述,原方程的解是x1＝2,x2＝－4
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根的判别式解答题专项训练
夯实基础，稳扎稳打
已知关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0，
问当k取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
2.已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
3.若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根．
（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．
4.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根.
(1)求a的取值范围；(2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解.
连续递推豁然开朗
5.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，说明理由．
6.对于任意实数k，判断关于x的方程x2－(k＋5)x＋k2＋2k＋25＝0的根的情况
思维拓展更上一层
7.已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，其中p为实数.
(1)求证：不论p为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当p为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)
8、已知12＜m＜40，且关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m的值．
根的判别式解答题专项训练
1.解：∵a=2，b=﹣（4k+1），c=2k2﹣1，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（4k+1）]2﹣4×2×（2k2﹣1）=8k+9，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即8k+9＞0，解得k＞．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即8k+9=0，解得k=．
（3）∵方程没有实数根，∴△＜0，即8k+9＜0，解得k＜．
2.证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
=4k2+4k+1﹣16k+8，=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
3.解：（1）△=42﹣4（3﹣a）=4+4a．
∵该方程有实数根，∴4+4a≥0．解得a≥﹣1．
（2）当a为符合条件的最小整数时，a=﹣1．
此时方程化为x2+4x+4=0，方程的根为x1=x2=﹣2．
4.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根,
∴Δ＝(－3)2－4(a－1)＝－4a＋13≥0,解得a≤,
(2)∵a的取值范围是a≤,∴整数a的最大值是3.
把a＝3代入方程x2－3x＋a－1＝0,得x2－3x＋2＝0,解得x1＝1,x2＝2.
5.解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．
6.解： x2－(k＋5)x＋k2＋2k＋25＝0,
Δ＝b2－4ac＝[－(k＋5)]2－4××(k2＋2k＋25)＝－k2＋6k－25＝－(k－3)2－16.
不论k为何值,总有－(k－3)2≤0,即Δ＝－(k－3)2－16＜0,所以方程没有实数根.
7.解：(1)证明：原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4(4－p2)＝4p2＋9＞0,
∴不论p为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.
由求根公式得方程的根为x＝.
∵方程有整数解,
∴找到p的值,使为整数即可,
∴p可取0,2,－2,,－等,此时方程有整数解(答案不唯一,写出三个即可).
8.解：由原方程有整数解可知，Δ=4（m+1）2-4m2=4（2m+1）必然是一个完全平方数．
又12＜m＜40可知，25＜2m+1＜81，又2m+1为奇数，故2m+1=49，m=24．
此时原方程的两个实数根为：x=
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二次方程有整数根
夯实基础，稳扎稳打
1．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根，
（1）求字母k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
3．已知关于的方程kx2+(3k+1)x+3=0．
（1）求证：无论取任何实数时，此方程总有实数根；
（2）若关于的一元二次方程两个根均为整数，且为正整数，求的值．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
连续递推，豁然开朗
5、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．
6．关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+(m+1)=0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
7．已知关于的一元二次方程x2-2(m-3)x+m2-8m+8=0
⑴说明该方程根的情况．
⑵若4（为整数），且方程有两个整数根，求的值．
8、已知k为整数，且关于x的方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的正整数根，求k的值．
思维拓展，更上一层
9、当整数m取何值时，关于x的方程（m-1）x2-（2m+1）x+1=0有整数根．
10、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．
11、已知：关于x的一元二次方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：不论实数m取何值，方程必有两个实数根．
（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m的取值范围．
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值．
12、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-（m+2）x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长．
1.解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜，
（2）由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=-1±，
∵方程的解为整数，∴5-2k为完全平方数，则k的值为2，
2.解（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2
∴无论m取何值，（m+1）2恒大于等于0∴原方程总有两个实数根
（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0∴x1=1, x2=m+2
∵方程两个根均为正整数,且m为负整数∴m=-1.
3.（1）证明：①当k＝0时，方程为x+3＝0，解得x＝﹣3，∴此时方程有实数根；
②当k≠0时，∵a＝k，b＝3k+1，c＝3，∴b2-4ac＝（3k+1）2﹣12k＝（3k﹣1）2，
∵（3k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴此时方程有实数根；
∴综上，无论k取任何实数时，此方程总有实数根；
（2）解：∵a＝k，b＝3k+1，c＝3，
∴x=，∴x1＝﹣3，x2＝-．
∵关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3＝0的两个根均为整数，且k为正整数∴k＝1．
4.解：（1）∵一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=[2（m-1）]2﹣4（m2-4）=-4m+20∴m；
(2)∵m为正整数，∴m=1或2，
当m=1时，方程为：x2﹣3=0，解得：x=（不是整数，不符合题意，舍去)，
当m=2时，方程为：x2+2x=0，解得：x1=-2,x2=0都是整数，符合题意，综上所述：m=2.
5.解答：当m=0时，x=-1，
当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=，
∵xm为整数，∴m=±1，
综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．
6.解：（1）△＝4m2－4（m2－1）
==4>0∴方程总有两个不相等的实数根
（2）x=∴x1==, x2=1
∵方程的两个根都是正整数，且方程有两个不相等的实数根
∴x1是正整数，且∴m=2或者m=3
7（1）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，
∴△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8）＝8m＋4，
当8m＋4＞0时，m＞ - -，此时方程有两个不相等的实数根，
当8m＋4＝0时，m＝- -，此时方程有两个相等的实数根，
当8m＋4＜0时，m＜- -，此时方程没有实数根；
（2）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，△＝8m＋4，
∴x==m-3
∵方程有两个整数根，∴2m＋1为完全平方数
∵4＜m＜24，∴9＜2m＋1＜49，∴2m＋1＝16或25或36，
∴m＝7.5或12或17.5，又∵m为整数，∴m＝12．
8..解：原方程化为：[（k+1）x-6][（k-1）x-3]=0．∴x1=，x2=．
因方程的根为正整数，因而推知k=2，此时x1=2，x2=3．
9.解：当m=1时，-3x+1=0，x=（舍）．
当m≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m2+4m+1-4m+4=4m2+5，
设4m2+5=n2（n为正整数），
4m2-n2=-5，则（2m+n）（2m-n）=-5，则m=-1．
10.解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，
有整数根x=1，满足题意．
当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，
[mx-（2m+2）]（x-1）=0，
mx-（2m+2）=0或x-1=0，
∴x1==2+，x2=1．
又∵该方程的根为正整数且m为整数，∴为大于-2的整数，∴m=1或2或-2．
则m的值为0或1或2或-2．
11.解答：（1）解法一：由题意，得，
∴Δ=m2-6m+9=（m-3）2≥0，∴不论实数m取何值，方程必有两个实数根．
解法二：
原方程因式分解得（x-1）[mx-（2m-3）]=0，∵m≠0，∴原方程必有两个实根．
（2）由（1）可知，方程两根为x1=1，x2=，
∴2＜＜3，化简得2＜2-＜3，由2＜2-可知，m＜0；由2-＜3可知，m＜-3；
∴综上所述，m＜-3．
（3）∵m为整数，x2=2-为正整数，
∴m=-3，-1，3．
12解：由题意得，Δ=m2-12m+4，∴x=．
∵该方程的根均为整数，∴m2-12m+4必为平方数，
令m2-12m+4=n2（n为正整数），整理得（m-6）2-n2=32，
∴（m-6+n）（m-6-n）=32，∴m-6+n与m-6-n同奇同偶．
因此或，解得或，
当时，方程x2-（m+2）x+4m=0为x2-17x+60=0，
解得x=5或x=12，
∴即当m=15，直角三角形三边长分别为5，12，13．
当时，方程x2-（m+2）x+4m=0为x2-14x+48=0，
解得x=6或x=8，
∴即当m=12，直角三角形三边长分别为6，8，10．
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