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专题6-1 反比例函数
模块一：知识清单
1.反比例函数的概念
反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．k是比例系数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
2.反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．7 B．5 C． D．6
【答案】D
【分析】直接将点代入反比例函数解析式计算k的值即可．
【详解】解：将点代入反比例函数得：，解得，故选D．
【点睛】本题考查反比例函数系数的求解，方法为函数图像上的点可代入解析式得到方程，正确的计算是解题的关键．
2．（2022·北京石景山区·九年级）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系 B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系 D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
3．（2023·上海宝山·统考二模）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（ ）
x …… 1 2 …
y … 4 …
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积相同进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，这三个点的横纵坐标的乘积相同，即这三个点在同一个反比例函数图象上，点与这三个点不在同一个反比例函数图象上，故选A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的特点，熟知在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积相同是解题的关键．
4．（2022春·全国·九年级专题练习）若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．其他函数
【答案】B
【分析】根据“矩形的面积底面周长母线长”，列出函数表达式再判断它们的关系则可得到答案．
【详解】解：，，，
圆柱的高h与圆柱的底面半径r之间的函数关系是反比例函数，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和圆柱侧面积的求法，熟记圆柱侧面积公式是解题关键．
5．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）若反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】解：设反比例函数的表达式为，把点代入，得，∴，
则反比例函数的解析式为，故选：D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围．
【详解】反比例函数的图象经过点，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
7．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知和点在同一反比例函数图像上，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设反比例函数解析式为，根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵和点在同一反比例函数图像上，
∴解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．（2023·云南文山·统考一模）已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接将点代入反比例函数中，即可求解．
【详解】解：将点代入反比例函数，
得：，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，准确计算是解题的关键．
9．（2023·河北保定·统考一模）如图，平面直角坐标系中有M，N、P，Q四个点，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（ ）
A．点N B．点M C．点P D．点Q
【答案】A
【分析】分别设出点M、N、P、Q四点所在的反比例函数的解析式，分别求出各点对应的k值，找出与其他三个不同的k值即可．
【详解】解：设点M、N、P、Q四点所在的反比例函数分别为、、、，
∴、、、分别代入反比例函数，可得：
、、、,
从上面的求值情况可明显看出：点M、P、Q在反比例函数的图象上，点N不在这个反比例函数图象上，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握所在反比例函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
10．（2023·北京·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形的周长为，边长为，∴，不符合题意；
②∵一个三角形的面积为5，其底边上的高为，底边长为，∴，即，符合题意；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度为，骑行时间为，
∴，即，符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是②③，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023年北京市平谷区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则______．
【答案】1
【分析】由点在反比例函数图象上，代入后求出的值，再结合点在反比例函数图象上，由此得到关于的一元一次方程，即可求出结果．
【详解】反比例函数的图象过点，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出的值，得到关于点坐标的方程即可求出结果，本题较为基础．
12．（2023·上海崇明·统考二模）已知，那么________．
【答案】
【分析】将代入解析式，进行求解即可．
【详解】解：∵，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．
13．（2023·上海嘉定·统考二模）如果反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的解析式为____．
【答案】
【分析】把点代入反比例函数中，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数的解析式．熟练掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．
14．（2022春·浙江·八年级专题练习）反比例函数的比例系数是______．
【答案】
【分析】对于反比例函数中，k就是比例系数．
【详解】解：反比例函数的比例系数是﹣3.故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数，掌握定义是解题的关键．
15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据矩形写出B，D两点坐标，然后利用双曲线经过点B，D时对应的k值，从而得到k的取值范围．
【详解】解：∵矩形的顶点，，∴,,
当双曲线经过点B时，k的值最小，此时，
当双曲线经过点D时，k的值最大，此时，
∴k的取值范围为．∴k可以取2故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
16．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知点在双曲线上，则的最小值为____．
【答案】5
【分析】将点代入双曲线得到，由得出，从而求出的最小值．
【详解】将点代入双曲线，得：∴
∵∴
∴
∴的最小值为5故答案为：5．
【点睛】本题考查反比例函数的坐标与完全平方式，解题的关键是掌握由得出．
17．（2023·河北唐山·统考一模）如图，已知点，（），点P为线段上的一个动点，反比例函数（k为常数，）的图象经过点P．（1）当点P与点M重合时，________；
（2）若点P与点N重合时，，此时点到直线的距离为________．
【答案】 2 11
【分析】（1）把代入计算即可；
（2）求出N点坐标，可得轴，即可求出点Q到直线的距离．
【详解】（1）当点P与点M重合时，P点坐标为，代入得：解得；
（2）当点P与点N重合时，，∴N点坐标为，
∵，∴轴∴点到直线MN的距离为：，故答案为：2，11．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，将点的坐标代入解析式是解本题的关键．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）若函数是反比例函数，则_____．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，解得：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做反比例函数．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（20122·四川成都·九年级统考期中）已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1）求y与x的函数关系式；（2）当y=5时，求x的值．
【答案】（1）；（2）y=5时，x=﹣2或x=﹣．
【详解】（1）根据题意，可设y1=k1（x+1）， ；代入数据可得答案；
（2）将y=5代入由（1）可得解析式中，解可得答案．
试题解析：解：（1）设y1=k1（x+1），；
则有： ．
∵当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7，∴有 ．
解得：k1=﹣2，k2=﹣3．
y与x的函数关系式为：；
（2）把y=5代入可得：，去分母得：﹣2（x+1）2﹣3=5（x+1），整理得：2x2+9x+10=0，即（x+2）（2x+5）=0，解得：x=﹣2或x=﹣．
经检验：x=﹣2或x=﹣是原方程的解，则y=5时，x=﹣2或x=﹣．
点睛：本题考查待定系数法的运用，关键是根据题意设出关系式，再代入数据求出未知系数即可．
20．（2022春·九年级单元测试）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)判断，，是否在反比例函数的图象上．
【答案】(1)(2)点A不在该反比例函数图象上，点B，C在该反比例函数图象上
【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点，逐个进行判断即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点．
设，
把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，∴不在该反比例函数图象上；
∵，∴在该反比例函数图象上；
∵，∴在该反比例函数图象上．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，判断点是否在反比例函数图象上，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出点P的坐标．
21．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）已知反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数表达式；(2)若点在该函数图像上，求m的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将点代入求解即可；
（2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴将代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵点在这个函数图像上，
∴把代入得，
解得：，∴的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征．
22．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点．
(1)在，，，中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标．
【答案】(1)，； (2)或；
【分析】（1）根据负等积点定义直接求值判断即可得到答案；
（2）设点，根据负等积点定义代入列式求值即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，，故不是点M的负等积点，
，故是点M的负等积点，
，故不是点M的负等积点，
，故是点M的负等积点，故答案为：，；
（2）解：设，
∵点N是点M的负等积点，∴，解得：，
∴点N的坐标为：或；
【点睛】本题考查新定义下运算及反比例函数图像上点，解题的关键是读懂新定义，根据新定义列方程求解．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知y是x的反比例函数，且当时，，求：
(1)y关于x的函数解析式；(2)当时，y的值；(3)当时，y的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可；
（3）分别求出当时和当时y的值，再根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵当时，，∴
∴y关于x的函数解析式为；
（2）解：当时，；
（3）解：当时， ，当时， ，
∵ ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴ 当时，．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，求反比例函数函数值的取值范围，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
24．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数），函数的图象为曲线L．
(1)则的坐标是__________．(2)若曲线L过时，求出k的值，并说明此时曲线L是否过．
(3)若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是__________．
【答案】(1)(2)，此时曲线L过点(3)
【分析】（1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，即可求解；
（2）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，即可求得、的坐标，据此即可解答；
（3）分别求得过点和时，过点和时的k值，即可求解．
【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，，故答案为：；
（2）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，，，，
把代入解析式，求得，，
当时，，此时曲线L过点；
（3）解：当函数过点和时，，
当函数过点和时，，
∴若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是解决本题的关键．
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专题6-1 反比例函数
模块一：知识清单
1.反比例函数的概念
反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．k是比例系数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
2.反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．7 B．5 C． D．6
2．（2022·北京石景山区·九年级）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系 B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系 D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
3．（2023·上海宝山·统考二模）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（ ）
x …… 1 2 …
y … 4 …
A． B． C． D．
4．（2022春·全国·九年级专题练习）若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．其他函数
5．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）若反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知和点在同一反比例函数图像上，则的值为( )
A． B． C． D．
8．（2023·云南文山·统考一模）已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北保定·统考一模）如图，平面直角坐标系中有M，N、P，Q四个点，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（ ）
A．点N B．点M C．点P D．点Q
10．（2023·北京·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023年北京市平谷区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则______．
12．（2023·上海崇明·统考二模）已知，那么________．
13．（2023·上海嘉定·统考二模）如果反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的解析式为____．
14．（2022春·浙江·八年级专题练习）反比例函数的比例系数是______．
15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是______．（写出一个即可）
16．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知点在双曲线上，则的最小值为____．
17．（2023·河北唐山·统考一模）如图，已知点，（），点P为线段上的一个动点，反比例函数（k为常数，）的图象经过点P．（1）当点P与点M重合时，________；
（2）若点P与点N重合时，，此时点到直线的距离为________．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）若函数是反比例函数，则_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（20122·四川成都·九年级统考期中）已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1）求y与x的函数关系式；（2）当y=5时，求x的值．
20．（2022春·九年级单元测试）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求这个反比例函数的解析式；(2)判断，，是否在反比例函数的图象上．
21．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）已知反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数表达式；(2)若点在该函数图像上，求m的值．
22．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点．
(1)在，，，中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知y是x的反比例函数，且当时，，求：
(1)y关于x的函数解析式；(2)当时，y的值；(3)当时，y的取值范围．
24．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数），函数的图象为曲线L．
(1)则的坐标是__________．(2)若曲线L过时，求出k的值，并说明此时曲线L是否过．
(3)若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是__________．
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