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专题6-2 反比例函数的图象和性质
模块一：知识清单
1、反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3）反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2、反比例函数中|k|的几何意义
反比例函数图象中有关图形的面积
3、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，
∴，∴，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，根据反比例函数的增减性结合反比例函数的性质找出关于k的不等式是关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点、、纵坐标的数值，即可解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点、在第一象限，且，，
点在第三象限，，，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键．
3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】C
【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数随的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．
【详解】解：由当时有最大值，得
时，．，反比例函数解析式为，
当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，
当时，最小值，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当时有最大值得出函数图象位于第二象限是解题关键．
4．（2022·九年级单元测试）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，y随x的增大而增大
C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴图象分布在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，故A，B选项正确，不符合题意；
当时，，∴图象经过点，故C选项正确，不符合题意；
当点在第二象限，第四象限内时，
∵，∴，故D选项错误，符合题意；故选：D
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
5．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）已知反比例函数 的图像上两点，，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像上点的特征得到图像位于一、三象限，所以，即可求出的取值范围为．
【详解】解：时，，反比例函数图像位于一、三象限，
，．故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据题意判断出函数图像位于的象限是解答本题的关键．
6．（2023·河北承德·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数上，且轴，垂足为．若的面积为S，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．S与成一次函数关系
C．随着点位置的变换，与的面积也随之变化 D．S与成反比例关系
【答案】B
【分析】根据求出n的值，得出点P和B的坐标，再根据点A的坐标求出的面积即可判定A；求出S与m的关系式，即可判定B和D；根据的面积为即可判断C．
【详解】解：A．∵点在反比例函数上，
∴把代入得：，∴，，
∴的面积，故A错误；
BD．∵点在反比例函数上，∴，
∵，∴，∴，，
∴的面积，
∴S与成一次函数关系，故B正确，D错误；
C．随着点位置的变换，的面积也随之变化，但的面积始终等于，故C错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算．
7．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数和的大致图像是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：一次函数．
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，∴，∴一次函数位于第一、二、四象限；故图①错误，图②正确；
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴；∴，
∴一次函数位于第一、三、四象限；故图③正确，图④错误，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线与双曲线与直线从左到右依次交于四点，若（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，不妨设，，由双曲线的对称关系可知，，则，从而，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，作出图像，如图所示：
，设，，
由双曲线的对称关系可知，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，根据题意，作出图像，由图像与性质求出线段长度是解决问题的关键．
9．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得，
结合，问题得解．
【详解】连接、，如图，
根据题意有：，，
∵C是y轴上任意一点，轴，∴，
∵，∴，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义．
10．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】延长交y轴于点D，连接，由反比例的几何意义得到，，代入计算解题即可．
【详解】如图，延长交y轴于点D，连接，
∵四边形为平行四边形，∴轴，即轴
由反比例的几何意义得，，，
∵平行四边形的面积是3，∴的面积为，
∴，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k_____0（填“>”或“<”）．
【答案】
【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解．
【详解】∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
12．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为________．
【答案】
【分析】先判断出函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，判断出，，的大小关系，然后即可选取答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵，∴，，
∴；故答案为：；
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可．
【详解】由题可知，在两个象限，
∵，∴反比例函数的图象位于二、四象限，
∴，即，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
14．（2022春·全国·九年级专题练习）反比例函数的自变量的取值范围是_____；当时，y的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，确定自变量的取值范围，利用反比例函数的增减性，却其其取值范围．
【详解】解：在反比例函数中，根据分式有意义的条件，自变量x的取值范围是．
当时，；当时，，
∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，y的取值范围是．故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
15．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，点为中点，的延长线交轴于点，轴，过点作，垂足为点，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______ ．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质得出点是的中点，进而得出，再根据全等三角形的判定可得，即，进而得出阴影部分的面积等于即可．
【详解】解：是的中点，，
又，，，，，
在和中，，，，
，，
阴影部分的面积为，即，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数的几何意义、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
17．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，，且轴
于点A，反比例函数的图象经过点C，交于点D，若，则点D的坐标为_____________．
【答案】
【分析】过点作于点，于，则．由，，，可得，设，则，求出t的值即可．
【详解】过点作于点，于，则
，，
，，
设，则，点、D在图象上
解得：点，故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，关键是熟练运用反比例函数的性质解决问题．
17．（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为______．
【答案】/
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出或，或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，∴点C的坐标为：，∴，
如图所示：，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
18．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，线段端点、端点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点，均在该组波浪线上，分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，则四边形的面积为_____．
【答案】
【分析】根据点，求出线段所在函数解析式，以及曲线所在双曲线的解析式，再根据题意，可以得到点和的坐标，从而可以计算出四边形的面积
【详解】解：∵线段端点、端点，
设线段所在直线函数解析式为，
∴，解得：，∴线段所在直线函数解析式为，
∵曲线是双曲线的一部分，点的坐标为，
∴，∴双曲线，
∵点在该双曲线上，点的横坐标是，
∴，即点的坐标为，
∵点，均在该组波浪线上，
又∵，，∴，，
∵分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，
∴，，，∴四边形是梯形，
∴四边形的面积是：．故答案为：．
【点睛】本题考查图形的变化规律，反比例函数的应用，一次函数的应用，梯形的面积．解题的关键是求出、的值．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·山西晋中·校考模拟预测）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图像交于点和点．
(1)求一次函数的表达式；(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）可求，从而可求，进而可求解；
（2）由可求解．
【详解】（1）解：在反比例函数图象上，
，，，
当时，，，
、在一次函数图象上，
，解得，．
（2）解：当时，，，，
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，待定系数法求函数解析式，面积问题等，掌握待定系数法和面积的求法是解题的关键．
20．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点B，．(1)求k的值；(2)求A、C两点的坐标；
(3)根据图像直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)(2)，(3)或
【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；（2）由函数的解析式组成方程组，解之即可求得A、C的坐标；
（3）根据图像即可求得．
【详解】（1）解：设A点坐标为，且，
则，∴，
又∵，即，∴；
（2）解：由（1）得：两个函数的解析式分别为，，
∵A、C是双曲线与直线的交点，
∴，解得，，∴，；
（3）解：使成立的x的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中是定值这一知识点是解答此题的关键．
21．（2023·安徽合肥·统考二模）反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点，A坐标为(1)求出B点坐标；(2)若是反比例函数图像上的点，是一次函数图像上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)先确定函数的解析式，联立解方程组求解即可．(2)结合函数图像解答即可．
【详解】（1）∵反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点，A坐标为
∴解得∴，
∴，解得，故．
（2）结合函数图像，得当点M在点N下方时，．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握解题方法是解题的关键．
22．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．(1)求，的值；(2)请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围；(3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积．
【答案】(1)，；
(2)一次函数的取值范围为，反比例函数的取值范围为；(3)8
【分析】（1）将点代入解析式即可求出；
（2）分别求出解析式，再利用随的增大而变化的情况得到的范围；
（3）利用翻折得到，再使用割补法求出三角形的面积．
【详解】（1）将代入，得，
该反比例函数解析式为，
将代入，得；
（2）将，代入得：
，解得，，
当时，一次函数中，随的增大而减小，
时，最大；时，最小，
故的取值范围为，
当时，反比例函数中，随的增大而增大，
时，最小；时，最大，
故反比例函数的取值范围为；
（3）一次函数与轴交于点C，得，故，
点沿轴翻折至点，作于，作于，如下图：
由图形可知：，
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，计算点的坐标，范围，任意3点构成三角形的面积，根据条件逐步计算是解题的关键．
23．（2023·山东济南·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)点是轴正半轴上的动点，连接、；
①求的最小值；②点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)，的坐标为
(2)①；②的坐标为或
【分析】求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为；
作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案；
设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明≌，可得，即可解得；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得．
【详解】（1）解：，，，
将代入得：，解得，
反比例函数的表达式为，
在中，令得，的坐标为；
（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图：
，关于轴对称，，
当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
由（1）知，，，
，的最小值是；
设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
的等腰直角三角形，，，
，≌，，，
，解得，；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，，
，解得或舍去，；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
24．（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．
(1)求k的值；(2)将直线（x为自变量）向上平移4个单位得到直线，直线分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．
【答案】(1)； (2)点P的坐标为或或或．
【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到，再将点A代入正比例函数中，即可求出的值；（2）根据平移的性质可知，直线的解析式为，进而得到，，根四种情况进行讨论：①四边形为菱形；②四边形为菱形；③四边形为菱形；④四边形为菱形，结合勾股定理，正方形的判定和性质，菱形的性质进行分析，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：点A在双曲线的图象上，且点A横坐标，
，，
点A在正比例函数的图象上，，；
（2）解：由（1）可知，直线的解析式为，
将直线向上平移4个单位得到直线，
直线的解析式为，
直线分别交x轴、y轴于B、C，当时，，当时，，
，，，，
①如图，当四边形为菱形时，过点作轴于点，
，，，
，，，
在中，，
，；
②如图，当四边形为菱形时，过点作轴于点，
，，，，
在中，，，；
③如图，当四边形为菱形时，
，菱形是正方形，此时与点C重合，
，，；
④如图，当四边形为菱形时，对角线、相交于点N，
，，
，，，
综上可知，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
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专题6-2 反比例函数的图象和性质
模块一：知识清单
1、反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3）反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2、反比例函数中|k|的几何意义
反比例函数图象中有关图形的面积
3、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
2．（2023·广东广州·统考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
4．（2022·九年级单元测试）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，y随x的增大而增大
C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则
5．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）已知反比例函数 的图像上两点，，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北承德·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数上，且轴，垂足为．若的面积为S，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．S与成一次函数关系
C．随着点位置的变换，与的面积也随之变化 D．S与成反比例关系
7．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数和的大致图像是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线与双曲线与直线从左到右依次交于四点，若（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．3
10．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k_____0（填“>”或“<”）．
12．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为________．
13．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______．
14．（2022春·全国·九年级专题练习）反比例函数的自变量的取值范围是_____；当时，y的取值范围是_____．
15．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，点为中点，的延长线交轴于点，轴，过点作，垂足为点，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______ ．
17．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，，且轴
于点A，反比例函数的图象经过点C，交于点D，若，则点D的坐标为_____________．
17．（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为______．
18．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，线段端点、端点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点，均在该组波浪线上，分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，则四边形的面积为_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·山西晋中·校考模拟预测）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图像交于点和点．
(1)求一次函数的表达式；(2)连接，，求的面积．
20．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点B，．(1)求k的值；(2)求A、C两点的坐标；
(3)根据图像直接写出时x的取值范围．
21．（2023·安徽合肥·统考二模）反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点，A坐标为(1)求出B点坐标；(2)若是反比例函数图像上的点，是一次函数图像上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．
22．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．(1)求，的值；(2)请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围；(3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积．
23．（2023·山东济南·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)点是轴正半轴上的动点，连接、；
①求的最小值；②点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．
24．（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．
(1)求k的值；(2)将直线（x为自变量）向上平移4个单位得到直线，直线分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．
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