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专题6-4 反比例函数 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·重庆九年级月考）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝5x+6 D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义判断即可；
【详解】中，的次数是2，不符合题意，故A错误；是正比例函数，故B不符合题意；y＝5x+6是一次函数，故C不符合题意；是反比例函数，故D正确；故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。准确分析判断是解题的关键．
2．（2022·北京石景山区·九年级）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
3．（2022·南通市启秀中学八年级月考）小明在画函数（x＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是（ ）
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 6 3 2 1 …
A．（1，6） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，1）
【答案】D
【分析】在函数（x＞0）的图象上点的坐标一定满足关系式，点的坐标不满足关系式，这个点就不在这个还是的图象上，因此验证哪个点的纵横坐标的满足即可．
【详解】解：∵x＝4，y＝1，不满足，∴（4，1）不在反比例函数的图象上，故选：D．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，要代入验证即可，也就是xy=k．
4．（2022·四川乐山市·八年级期末）下列函数中，图象经过一、二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可解答．
【详解】A选项，图象过第一、三、四象限，不符合题意；B选项，图象过第一、二、四象限，符合题意；C选项，图象位于第一、三象限，不符合题意；D选项，图象位于第二、四象限，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，梳理掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．
5．（2022·成都市九年级月考）如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出反比例函数的解析式，然后设，则，得到点E的坐标，把点E代入反比例函数的解析式，求出，即可求出答案．
【详解】解：如图：
∵，，∴，将点坐标代入，，
∴反比例函数解析式为，设正方形的边长，则．
∵四边形是正方形，∴．∴点坐标为．
∵点在反比例函数的图象上，∴．整理，得．解得，．
∵，∴．∴正方形的边长为，∴正方形的面积为．故选．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，解一元二次方程，正方形的性质，解题的关键是正确求出反比例函数的解析式．
6．（2022·山东无棣县·九年级期末）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．函数图象分别位于第二、四象限
C．随的增大而增大 D．若，则
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵k=-2×4=-8，∴此函数图象过点（-2，4），故本选项不符合题意；
B、∵k=-8＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项不符命题意；
C、∵k=-8＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项符合题意；
D、当，则，故本选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
7．（2022·湖南长沙市·九年级开学考试）在同一直角坐标系中，函数和函数（k是常数且 ）的图象只可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】分k大于0和小于0两种情况分别讨论两个函数的图象所经过的象限，判断正确选项即可．
【详解】解：当时，一次函数过一二三象限，反比例函数过一三象限；
当时，一次函数过一二四象限，反比例函数过二四象限；综上所述，只有B符合，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，熟悉相关性质是解题的关键．
8．（2022·山西晋中市·九年级期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元 D．8月份该厂利润达到200万元
【答案】D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，解得：x=2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，则，解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，故y=200时，200=30x-70，解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
9．（2022·山东临沂市·九年级期末）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限，且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限，且点B在第二象限这种情况不可能，
综上，的取值范围是，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
10．（2022·重庆九年级期中）如图，菱形OABC的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC面积为6，点B坐标为（3，3），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．8
【答案】B
【分析】连接OB，AC，交点为Q，作AD⊥y轴于D，AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，根据菱形的性质得出OB平分∠AOC，OA＝OC，AC⊥BD，Q是AC、OB的中点，进而求得Q的坐标，△AOC的面积，即可得出m＋n＝3，由点B在直线y＝x上，即可得出∠AOD＝∠COE，通过证得△AOD≌△COE得到A（m，n），则C（n，m），根据S△OAC＝S梯形ACEF+S△AOF﹣S△COE＝S梯形ACEF，求得n m＝，与m＋n＝3组成方程组，解方程组求得m、n的值，即可求得k的值．
【详解】证明：如图连接OB，AC，交点为Q，作AD⊥y轴于D，AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，
∵B坐标为（3，3），∴点B在直线y＝x上，∵四边形OABC是菱形，
∴OB平分∠AOC，OA＝OC，AC⊥BD，Q是AC、OB的中点，∴∠AOD＝∠COE，
在△AOD和△COE中， ，∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD＝CE，OD＝OE，∴设A（m，n），则C（n，m），
∵Q是AC、OB的中点，∴ ，∴m+n＝3，
∵菱形OABC面积为6，∴S△AOC＝3，∵S△OAC＝S梯形ACEF+S△AOF﹣S△COE＝S梯形ACEF，
∴（m+n）（n﹣m）＝3，∴3（n﹣m）＝6，∴n﹣m＝，∴ ，解得 ，
∵点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝mn＝4，故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的面积，求得A或C的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏淮安区·八年级期末）已知反比例函数（k是常数， 1）的图象分布在二、四象限，那么k的取值范围是___________．
【答案】k＜1
【分析】根据反比例函数所在象限，可以判断比例系数小于0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵反比例函数（是常数，）的图像在二、四象限，
∴＜0，解得，答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是熟知反比例函数图象的性质．
12．（2022·贵州红花岗区·九年级）已知点在双曲线上，点在直线上，则的值为______．
【答案】-3
【分析】将点代入反比例函数中得到，将点代入中得到，最后对通分再整体代入求值即可．
【详解】解：∵点在双曲线上，∴，∵点在直线上，
∴，即∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数上点的坐标特点，点在函数上，将点的坐标代入解析式即可得到等式，然后再代入求值．
13．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是 。
【答案】或
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．
14．（2022·江苏徐州市·八年级期末）如图，点A在函数y＝的图像上，过A作AB∥x轴，AB与y＝的图像交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为 ___．
【答案】3
【分析】延长交轴于，过点作轴于，作轴于，则平行四边形的面积等于矩形的面积，即为．
【详解】解：延长交轴于，过点作轴于，作轴于，
则四边形ABNM、四边形AMOE、四边形BNOE均为矩形，
∵ABx轴，AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形的面积等于矩形的面积，
点在函数的图象上，点在函数的图象上，
，，，四边形的面积为3，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
15．（2022·浙江八年级月考）如图，等腰直角三角形的一条直角边在轴上，点是边上的一个动点，过点的反比例函数的图象交斜边于点，（1）当为中点时，_________（2）若为的三等分点，当的面积为时，的值为________．
【答案】 2或
【分析】（1）设，根据线段中点的性质找出点、的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征可找出点的坐标，由此即可得出结论；（2）设，，根据三等分点的定义找出点的坐标（两种情况），由此即可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式得出点的坐标，再根据三角形的面积公式找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：（1）设，为中点，，，
，，．故答案为：．
（2）设，．为的三等分点分两种情况：
①，，，直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式，得：，解得：，或（舍去）．
，解得：；
②，，，，直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式，得：，解得：，或（舍去）．
，解得：．
综上可知：的值为2或．故答案为：2或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点的坐标；（2）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不小，在解决第二问时，需要联立直线与反比例函数的解析式找出交点坐标，再结合三角形的面积公式找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
16. （2022·南京市·八年级月考）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交双曲线于点C，连接AC，则△ABC的面积为______．
【答案】5
【分析】过点作轴于点，设与轴的交点为，根据与都是中心对称图形，设，则，，进而证明，根据求解即可．
解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为，
直线与双曲线交于A，B两点，且与都是中心对称图形，
设，则 点C在上，轴，
则，
又
故答案为：5
【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数与正比例函数图象是中心对称图形是解题的关键．
17．（2022·成都天府新区·中考二模）如图，直线y＝x与双曲线y＝平交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y＝交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝_________．
【分析】如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC，设，则，，由反比例函数的对称性可知，OB=OA，然后证明△KOT≌△OAM得到，，则点K的坐标为，然后求出直线BC的解析式为，得到J点坐标为，设C点坐标为，然后推出得到，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC，
设，则，，
∴由反比例函数的对称性可知，OB=OA，
∵∠ABC=45°，OK⊥AB，∴OK=OB=OA，
∵∠OTK=∠AOK=∠AMO=90°，∴∠KOT+∠AOM=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠KOT=∠OAM，∴△KOT≌△OAM（AAS），
∴，，∴点K的坐标为，
设直线BC的解析式为，∴，解得，
∴直线BC的解析式为，∴J点坐标为，
设C点坐标为，∵，∴，
∴，解得，∴，故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，全等三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（2022·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
【答案】
【详解】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．
联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，
∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（-，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（-+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y=上，∴（-+2） （+2）=k，解得：k=．故答案为．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江余姚市·八年级期末）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）．（1）求函数表达式；（2）当x=-4时，求函数y的值；（3）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）把x=-4代入函数解析式求得相应的y值即可；
（3）根据反比例函数图象的性质作答．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3），
∴k=2×（-3）=-6，∴反比例函数为y=-；
（2）当x=-4时，y=-=-=；
（3）∵k=-6＜0，∴反比例函数图象在二、四象限，
把x=1代入y=-，得y=-6，∴当x≤1且x≠0时，y＞0或y≤-6．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当和时，y和x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？
【答案】（1）当时，，当时，；（2）；（3）在通电8~20内（包括端点）接水可喝到不低于40℃的开水
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当时，得出答案；
（3）当时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【详解】解：（1）当时，设y和x之间的函数关系式为：（），
将，分别代入中，则，解得，
∴当时，一次函数解析式为；
当时，设y和x之间的函数关系式为：（），
将代入，解得．∴当时，反比例函数的解析式为．
（2）将代入，得，即．
（3）对于，当时，，
所以，要想喝到不低于40℃的开水，x需满足．（即在通电8~20内（包括端点）接水可喝到不低于40℃的开水．）
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
22．（2022安徽九年级月考）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与y轴交于点C，轴，垂足为D，已知．（1）求此双曲线的函数表达式；（2）求点A，B的坐标；（3）直接写出不等式的解集
【答案】（1）；（2），；（3）或．
【分析】（1）利用反比例函数k的几何意义即可求出k=-3．（2）联立两个函数表达式求解即可．
（3）根据图像和第二小题即可找出所求解集．
【详解】（1）∵∴或3．
∵反比例函数只分布在第二、四象限，∴，∴．
所以，这个双曲线的函数表达式为．
（2）由题意得：，解得：或．所以，A，B坐标分别为，
（3）由图象知，不等式的解集为或．
【点睛】本题考查反比例函数表达式的求解、一次函数和反比例函数的交点等问题，熟练掌握反比例函数的知识是本题解题关键．
22．（2022·佛山市八年级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．（1）求这两个函数的表达式；（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y1=x+1，反比例函数的解析式为y2=；（2）C点的坐标（-1+，1+）．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据题意点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C的坐标．
【详解】解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y2=得，k2=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y2=，将y=-1代入y2=得，-1=，交点x=-2，∴B（-2，-1），
将A、B的坐标代入y1=k1x+b得，解得，∴一次函数的解析式为y1=x+1；
（2）∵y1=x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1），
∵点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，S△CAB=S△AOB，
∴点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，
将直线y=x+1向上平移1个单位后得到y=x+2，
解得或（舍） ，∴C点的坐标为（-1+，1+）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（2022·沙坪坝区·重庆八中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）如表是与的几对对应值：
0 1 2 3 4
5 3
其中 ， ；（2）函数图象与轴的交点坐标是 ；（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质： ；（5）观察函数图象，将直线向上平移个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则的值是 ．
【答案】（1）1，2；（2）；（3）见解析；（4）函数有最大值5；（5）3或4
【分析】（1）将x=-5代入y=x+6，将x=2代入即可求值；（2）考查表格数据，当x=0时，y=3，即可求得函数图象与y轴的交点坐标；（3）连点成线，画出函数图象；（4）观察函数图象，写出一条函数性质；函数有最大值5；（5）根据图象即可求得．
【详解】（1）当时，，当时，，，，故答案为：1，2；
（2）当时，，函数图象与轴的交点坐标是，故答案为；
（3）如图：
（4）观察函数图象，可知：函数有最大值5，故答案为：函数有最大值5；
（5）将直线向上平移个单位，得到，若平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则直线经过点，，，
此时直线经过函数图象是和两点，
由，整理得，，
当△时，平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，
△，解得或（舍去），
综上，符合题意的的值为3或4，故答案为3或4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数图象与几何变换，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论．
24．（2022·安徽淮北·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线与轴交于点，与轴交于点．①过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，试判断的形状，并说明理由；②设是轴上一点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）；；（2）①等腰直角三角形，见解析；②点坐标为或．
【分析】（1）根据点在反比例函数的图象上，可求出反比例函数的表达式为，从而得到点坐标为，即可求出一次函数的表达式；
（2）①先求出点坐标以及根据轴，可得到点的坐标为，从而能利用勾股定理求出的三边长，再由勾股定理逆定理，即可判断的形状；
②分两种情况：当点在轴负半轴上时；当点在轴正半轴上时讨论，即可求解．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，，反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，，，点坐标为，
点，点在一次函数的图象上
，解得一次函数的表达式为；
（2）对于，当时，，点坐标为，
当时，，，∴点坐标为
①是等腰直角三角形，理由：轴，点的纵坐标为，
点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，
点的坐标为，，由勾股定理得：
，，
，，是等腰直角三角形；
②如图，
由①知，，，在 中，由勾股定理得：，
当点在轴负半轴上时，，，∠CDO=∠DCO，
，，点的坐标为；
当点在轴正半轴上时，根据对称性知点的坐标为．
综上，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，勾股定理和勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识，并会利用数形结合思想是解题的关键．
25．（2022·重庆八年级期末）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点坐标为（）. （1）求双曲线解析式及点坐标；（2）将直线向下平移一个单位得直线，是轴上的一个动点，是上的一个动点，求的最小值；（3）若点为轴上的一个动点，为平面内一个动点，当以、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点坐标．
【答案】（1），B（-2，-1）；（2）AP+PQ 的最小值为；（3）．
【分析】（1）把的坐标代入求解的值，再求解反比例解析式为 再联立两个函数解析式，解方程组可得的坐标；
（2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时 再先求解 再利用等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当为边时，当为矩形的对角线时，再利用矩形的性质及勾股定理与中点坐标公式建立方程，解方程可得答案.
【详解】解：（1）把点坐标为（）代入得：
则 . 双曲线为
解得：或
（2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时
将直线向下平移一个单位得直线，
的解析式为： 且是第一，第三象限的角平分线组成的，
所以最小值为；
（3）如图，当为边时，设 四边形为矩形，
则由平移的性质可得： 同理可得：
则 由平移的性质可得：
如图，当为矩形的对角线时，设
由矩形的性质：对角线相等且互相平分，再结合中点坐标可得，
解得：
综上：.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，轴对称的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理的应用，中点坐标公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分类讨论是解题的关键.
26．（2022·江苏丹阳·八年级期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b 2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[几何验证]如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2．
[结论应用]若a＞0，则当a＝ 时，代数式a+有最小值为 ．
[问题解决]（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ．
【答案】[类比论证]≥；[几何验证]见解析；[结论应用]2 ，4；[问题解决]（1）当x=6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低为6.2元；（2）24．
【分析】类比论证利用完全平方公式可求解；
几何验证由直角三角形的中线性质可得，通过勾股定理求出，即可求解；
结论应用利用材料的结论，可求解；
问题解决（1）设设备每生产一个零件的运营成本为元，由题意可得，即可求解；
（2）先求出点，点坐标，设点，由可求，，由四边形面积，即可求解．
【详解】解：类比论证，，，故答案为：；
几何验证设CD=x，∵CD⊥AB，∴AC2=AD2+CD2=a2+x2，BC2=BD2+CD2=b2+x2
∵，∴AB2=AC2+BC2，∴(a+b)2= a2+x2+ b2+x2，∴x2=ab，∴x=
∵CE为ΔABC的中线，∴CE=AB=(a+b)，
∵CD⊥AB，∴CE≥CD（点D和点E重合时CE=CD），∴(a+b) ≥，即
结论应用，，，
当时，有最小值为4，，故答案为：2，4；
问题解决（1）设设备每生产一个零件的运营成本为元，
由题意可得：，，
，
当时，即时，有最小值为1.2，
的最小值为6.2元，
答：当为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元；
（2）直线与坐标轴分别交于点、，
点，点，设点，，点，，，
四边形面积，
，，当时，即当时，有最小值为6，
四边形面积的最小值为24，故答案为：24．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．
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专题6-4 反比例函数 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·重庆九年级月考）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝5x+6 D．
2．（2022·北京石景山区·九年级）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
3．（2022·南通市启秀中学八年级月考）小明在画函数（x＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是（ ）
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 6 3 2 1 …
A．（1，6） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，1）
4．（2022·四川乐山市·八年级期末）下列函数中，图象经过一、二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·成都市九年级月考）如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为( )
A． B． C． D．
6．（2022·山东无棣县·九年级期末）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．函数图象分别位于第二、四象限
C．随的增大而增大 D．若，则
7．（2022·湖南长沙市·九年级开学考试）在同一直角坐标系中，函数和函数（k是常数且 ）的图象只可能是（ ）
A．B．C． D．
8．（2022·山西晋中市·九年级期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元 D．8月份该厂利润达到200万元
9．（2022·山东临沂市·九年级期末）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．（2022·重庆九年级期中）如图，菱形OABC的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC面积为6，点B坐标为（3，3），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏淮安区·八年级期末）已知反比例函数（k是常数， 1）的图象分布在二、四象限，那么k的取值范围是___________．
12．（2022·贵州红花岗区·九年级）已知点在双曲线上，点在直线上，则的值为______．
13．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是 。
14．（2022·江苏徐州市·八年级期末）如图，点A在函数y＝的图像上，过A作AB∥x轴，AB与y＝的图像交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为 ___．
15．（2022·浙江八年级月考）如图，等腰直角三角形的一条直角边在轴上，点是边上的一个动点，过点的反比例函数的图象交斜边于点，（1）当为中点时，_________（2）若为的三等分点，当的面积为时，的值为________．
16. （2022·南京市·八年级月考）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交双曲线于点C，连接AC，则△ABC的面积为______．
17．（2022·成都天府新区·中考二模）如图，直线y＝x与双曲线y＝平交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y＝交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝_________．
18．（2022·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江余姚市·八年级期末）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）．（1）求函数表达式；（2）当x=-4时，求函数y的值；（3）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围．
20．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当和时，y和x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？
22．（2022安徽九年级月考）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与y轴交于点C，轴，垂足为D，已知．（1）求此双曲线的函数表达式；（2）求点A，B的坐标；（3）直接写出不等式的解集
22．（2022·佛山市八年级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．（1）求这两个函数的表达式；（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．
23．（2022·沙坪坝区·重庆八中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）如表是与的几对对应值：
0 1 2 3 4
5 3
其中 ， ；（2）函数图象与轴的交点坐标是 ；（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（4）结合图象，写出函数的一条性质： ；（5）观察函数图象，将直线向上平移个单位，使得平移后的直线与该函数图象恰好有两个交点，则的值是 ．
24．（2022·安徽淮北·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线与轴交于点，与轴交于点．①过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，试判断的形状，并说明理由；②设是轴上一点，当时，求点的坐标．
25．（2022·重庆八年级期末）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点坐标为（）. （1）求双曲线解析式及点坐标；（2）将直线向下平移一个单位得直线，是轴上的一个动点，是上的一个动点，求的最小值；（3）若点为轴上的一个动点，为平面内一个动点，当以、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点坐标．
26．（2022·江苏丹阳·八年级期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b 2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[几何验证]如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2．
[结论应用]若a＞0，则当a＝ 时，代数式a+有最小值为 ．
[问题解决]（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ．
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