浙教版八下：特殊平行四边形好题精选60题（含解析）

浙教版八下 特殊平行四边形好题精选60题
班级：_________姓名：___________
一、单选题
1．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
2．如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点O，过点O作的垂线，分别交于点E、F，连接，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（浙江省温州市瑞安市飞云中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，在平行四边形中，以和为斜边分别向内作等腰直角三角形和，延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点I和J．若四边形是正方形，，则平行四边形的面积是（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
4．（浙江省杭州市江干区采荷中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，在正方形中，，F是对角线的中点，点G、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①⑧④ D．③④⑤
5．如图，正方形的边长为4，E，F，G分别是边上的动点，且，将沿EF向内翻折至，连结，则当最大时，的最小值为（ ）
A． B．5.6 C． D．
6．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④OE=AC．正确判断的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，为矩形的对角线，点、分别在边、上，将边沿折叠，点恰好落在上的点处，将边沿折叠、点恰好落在上的点处，若四边形是菱形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是正方形的一条对角线，E是AC上一点，F是延长线上一点，连接，，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．6
10．如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为12和5，则B的面积为（　　）
A．7 B．13 C．17 D．60
11．如图，点C、D、E在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是60，则由两个三角形(、)组成的阴影部分面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
12．如图，四边形为矩形，对角线与相交于点O，点E在边上，连接，过D做，重足为F，连接，若，，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
13．如图，直线l交正方形的对边、于点P、Q，正方形和正方形关于直线l成轴对称，点H在边上，点A在边上，、交于点M，、交于点N．以下结论错误的是（ ）
A． B．的周长等于线段CH的长
C．的周长等于线段CM的长 D．的周长等于
14．如图1所示，正方形中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023年浙江省乐清市温州市中考一模数学试题）如图，在正方形中，为中点，连结，延长至点，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连结并延长，分别交，于点，，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
16．（浙江省义乌市宾王中学2022-2023学年九年级下学期第一次学情调研数学试题）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，， ．把该纸片沿折叠，若点，的对应点分别为，，的延长线过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
17．（浙江省台州市临海市2022-2023学年八年级上学期期末教学质量监测数学试题）学校需铺设如图所示的一个休闲区，该休闲区由四块黑色正方形大理石，四块白色三角形大理石和一块白色四边形大理石无缝拼接铺设而成，现已知四块黑色正方形大理石面积和为24，四块白色三角形大理石面积和为12，则该休闲区域总面积为（ ）
A．40 B．42 C．44 D．48
18．（浙江省温州市鹿城区第二中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题）如图，已知点是线段的中点，且，延长至，使得，以为边作矩形，连接并延长，交的延长线于点，连接，《几何原本》中利用该图解释了代数式的几何意义，以为直径作圆，交于点，若则的长为（　　）
A． B．18 C． D．17
19．（浙江省温州市苍南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
20．（浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2022-2023学年八年级上学期双减背景下阶段性教学质量调研数学试题）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把最小的一个正方形按图2的方式放入较大的正方形内，然后把最大的正方形沿BC翻折，记△EHP和正方形ADNM的面积分别为，.若点N，M，G三点共线，且满足，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（浙江省台州市书生中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则：等于________．
22．（浙江省杭州市滨江区杭州江南实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处．P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H．若，则______．
23．（浙江省台州市书生中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点P是菱形的对角线延长线上一点，过点P分别作延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若，则的值为 _____．
24．（专题03勾股定理八大模型（知识串讲 热考题型）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（人教版））如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __．
25．（河南省开封市龙亭区金明中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为________．
26．（安徽省宿州市泗县2022-2023学年九年级下学期期中数学试题）如图，矩形纸片中，，，点M，N分别在边上，将矩形纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．
（1）若点F在矩形内部，MF的延长线交边于点G，已知，则 _________；
（2）若点D恰好与点B重合，则折痕的长是_________．
27．（专题18.32菱形（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版））如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为______．
28．（江苏省南京市江宁区竹山中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题）如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，与关于直线对称，点B的对称点是点G，且点G在边上．若，，则的长为_____．
29．（浙江省湖州市德清县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知：正方形的顶点A在矩形的边上，矩形的顶点G在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为_______．
30．（浙江省金华市婺城区第九中学2022-2023学年九年级下学期2月月考数学试题）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边上的动点，且，连接交于点G，P是边上的另一个动点，连接，则的最小值为_______．
31．（【浙江新东方】【2022】【初三下】【163】【模拟考】数学试题）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为___________；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为___________．
32．（2023年陕西省西安市长安区第三中学九年级下学期第一次模拟数学试题）如图，在矩形中，，连接，，点是上一点，，点是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为____________．
33．（【新东方】【2022】【新高一】【分班考】【76】）如图，四边形和均为正方形，点G在对角线上，点F在边上，连结．若，则正方形的边长为_________．
34．（2023年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考一模数学试题）如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______．
35．（浙江省金华市义乌市宾王中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，．若，，则四边形的面积为____．
36．（浙江省温州市苍南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，以直角三角形的三条边为边长，向形外分别作正方形，连接，其中正方形和正方形的面积分别为1和5，则长为_____．
37．（浙江省温州市苍南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图．已知在长方形中，，，点，分别在边，上，连接，，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在上的，处，连接，则四边形的周长为_____．
38．（浙江省金华市武义县武义县实验中学2021-2022学年八年级下学期5月月考数学试题）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．
（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．
39．（浙江省金华市义乌市义乌市稠江中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题）如图，Rt△ABC直角顶点B与射线BG的顶点B重合，一条直角边BC落在射线BG上，过点A作AD⊥AB，过点C作CD⊥BC，交AD于点D，AB=1，∠CAD=30°，把△ACD沿着AC折叠，使点D落在点E处，AE交BC于点F．
（1）AD=______．
（2）点P从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线BC运动，设运动时间为t秒，当t=______秒时，△AEP是等腰三角形．
40．（浙江省金华市东阳市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，
（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 _____；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 _____．
三、解答题
41．（江苏省泰州市姜堰区第四中学、姜堰区南苑学校、姜堰区实验初级中学2022-2023学年八年级下学期期中联考试卷）在矩形中，点E在边上，，点F为边上一点，连接，四边形与四边形关于成轴对称．
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，当B、E、Q三点共线时，求的长．
42．（浙江省杭州市滨江区杭州江南实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数；
(3)如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
43．（江苏省无锡市锡山区查桥中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题）如图1，四边形是菱形，，过点作 ，垂足为，交对角线于，连接，且．
(1)求的长；
(2)如图2，动点从出发，沿折线方向以个单位／秒的速度向终点匀速运动，设的面积为（），点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当点在边上运动时是否存在这样的 值，使与互余，若存在，则求出值，若不存，在请说明理由．
44．（四川省泸州市龙马潭区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在（2）的条件下，已知，求三角形的面积．
45．（浙江省杭州市西湖区西溪中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷）如图1，中，，，，点P、Q是边，上两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点E，F，设．
(1)当平行四边形的面积为时，求m的值；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，，，当与的一边平行时，求的面积．
46．（【新东方】【2022】【新高一】【分班考】【76】）如图，矩形的边，点E，F分别是边上的动点．把沿直线折叠，在同一平面上得到，点G为点A的对应点．
(1)当点F与点D重合时，求的最小值；
(2)当点G落在边上且距离B点处时，求长．
47．（浙江省湖州市德清县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，，求证：．
小亮同学认为延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得证，并写出了以下的思维框图：
请问：小亮同学②处用到的判定依据是（ ）．
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【结论运用】在平面直角坐标系中，正方形如图3放置，是坐标原点，点、点分别在轴和轴上，，分别是，上的点，，若点的坐标为，，试求出点的坐标（可直接运用背景结论）．
48．（2022年浙江省衢州市龙游县中考数学模拟试题）（1）如图，在矩形中，的平分线交于点交的延长线于点，求证：；
（2）如图，若是的中点，连接、、，请判断的形状，并说明理由．
（3）如图，作的角平分线交于点，已知，，求的长．
49．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，运动过程中，若平分，＝8cm，且满足．
①求的度数．
②连接并延长，与的延长线交于点F，连接，如图2，求的面积．
(2)如图3，另一动点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
50．（浙江省杭州市江干区采荷中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，矩形中，，．点，在对角线上，点，分别在边，上．
(1)若连接、．当四边形为菱形时，则___________；
(2)如图1，若，，分别是，的中点．求证：四边形为矩形．
(3)如图2，若，（），且四边形为矩形，求的值．
51．在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
(1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）；
(2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗 若成立，请说明理由．
(3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
52．（浙江省杭州市上城区杭州绿城育华学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题）如图，已知正方形，H为线段上的任意一点，连接，将沿翻折得到，连接，，过点D做，交的延长线于点F，若设，
(1)若，，求的面积；
(2)当变化时，是否发生变化，如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的值；
(3)连接，求证：．
53．（2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷（探花卷））（1）【问题初探】如图1，是正方形的边上一点，延长至点，使，连接，．求证：．
（2）【问题再探】如图2，，分别是正方形的边，上一点，分别过点，作于点，于点，线段，相交于点．连接，，，，若．
①求证：．
②探究和的面积关系，并说明理由．
（3）【问题延伸】如图3，在正方形中，，分别是射线，上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断和的面积关系是否仍成立．
54．（辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题）在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．
(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．
(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．
①如图3，若，，则______；
②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．
55．【问题情境】如图1，在中，，点为边上的任一点，过点作，，垂足分别为、，过点作，垂足为．求证：．
【结论运用】如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作、，垂足分别为、，若，，求的值；
【迁移拓展】如图，在四边形中，，为边上的一点，，，垂足分别为、，，，，、分别为、的中点，连接、，求与的周长之和．
56．（浙江省宁波市华东师范大学宁波艺术实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
57．（浙江省金华市开发区2021-2022学年八年级下学期数学期中试题）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．
(1)如图，在四边形中，，，， ，则 ___________ ； ___________．
(2)小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长．
小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长．
(3)如图，在中，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．
58．（四川省绵阳市游仙区绵阳中学英才学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图所示，是一个边长为4的等边三角形，D是直线上一点，以为边作，使，，并以、为边作平行四边形．
(1)当点D在线段上时，交于点G，求证：；
(2)求线段的最小值： ．
(3)当直线与的一边垂直时，请直接写出的面积．
59．（浙江省宁波市镇海区镇海区立人中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
(1)求证：，．
(2)若，，求的长．
(3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．
60．（浙江省杭州市下城区杭州观成实验学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．
(1)图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
(3)如图3，若，求证，．
参考答案：
1．B
【分析】如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求．
【详解】解：如图，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∵ H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．C
【分析】由矩形的性质结合题意可证为线段的垂直平分线，即得出．再根据矩形的周长为，可求出．设，则．在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出和的长度，最后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
∵矩形的周长为，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的面积为．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．证明为线段的垂直平分线，得出是解题关键．
3．D
【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质推出，且和是等腰直角三角形，从而得到，，再根据，得到，分别求出，，，最后利用计算可得结果．
【详解】解：设，，
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴，
即，且和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
故选D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是准确找到图形之间的关系，推算边的长度．
4．B
【分析】连接，证明然后逐项判断．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴为等腰直角三角形，
又F为斜边上的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即,
∴为等腰直角三角形．
故①正确，
当G，E为中点时，四边形为正方形，
故②错误，
∵为等腰直角三角形，
∴当最小时最小，
时，最小为，
∴最小值为，
故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积保持不变，
故④正确，
当面积最大时面积最小，
面积最小值为，
∴面积最大值为．
故⑤正确．
综上所述，①③④⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形与勾股定理的综合应用，解题关键是熟练掌握全等三角形与勾股定理相关知识点．
5．C
【分析】当四边形为正方形时，最大，作C关于的对称点，则，即的最小值为，利用勾股定理即可求解．
【详解】解，如图，当四边形为正方形时，最大，
∴，
∵，
∴，
∴E，F分别是边上的中点，
过点作于点H，
则，
作C关于的对称点，连接，
∴，
∴，即的最小值为，
在中，，
由勾股定理得：，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
6．A
【分析】由矩形得为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；证明便可判断②的正误；连接，由线段的垂直平分线得，由前面的三角形全等得，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得，进而求得，由矩形性质得，进而得，再得，根据等腰直角三角形的判定和性质便可判断④的正误．
【详解】①∵四边形是矩形，
∴
∵
∴平分，故①正确；
②∵四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴故②正确；
③∵，
∴
连接，如图，
∴，
∵
∴
∴，故③正确；
④取的中点G，连接，如图，
∵G是的中点，
∴
∴
∵，平分
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，故④正确；
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形，关键是熟记这些图形的性质．
7．A
【分析】由折叠的性质和菱形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、菱形的性质、矩形的性质；证出是解答此题的关键．
8．B
【分析】连接，先证明，得出，从而得出，证明，
说明为直角三角形，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明为直角三角形．
9．B
【分析】要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，
，，
，，
在中，，
，
，
点为中点，
，
在与中，
，
，
，
延长，过点作于点，得矩形，
，
，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理、矩形的判定和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
10．B
【分析】如图：根据正方形的性质可得,，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据勾股定理可得，最后根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，由题意得：，
∴，
，
在和中，
，
，
∴，
在中，，
则正方形B的面积为13．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
11．D
【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．
【详解】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则，
根据题意得：，
则阴影部分的面积为：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正方形的性质及三角形面积，关键是正确运用算式表示出阴影部分的面积．
12．D
【分析】先说明的形状固定，点F的位置固定，点O为对角线与的交点，点O在的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，过点F作，延长交于点G，根据垂线段最短，得出此时最短，根据含直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴的形状固定，点F的位置固定，
∵点O为对角线与的交点，
∴点O在的垂直平分线，
如图，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，过点F作，延长交于点G，
∵垂线段最短，
∴此时最短，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是找出使最小时，点O的位置．
13．C
【分析】过点A作垂直于，垂足为K，连接，，，，根据两正方形关于直线l对称，可得，，再根据边的转化即可证明A选项不符合题意；根据对称可得，将的周长表示出来，在通过边的转化即可证明B选项不符合题意；根据对称可得，即可证明C选项符合题意；根据对称，可得，将周长表示出来，再根据边的转化即可证明D选项不符合题意．
【详解】如图，过点A作垂直于，垂足为K，连接，，，，则，
∵正方形和正方形关于直线l成轴对称，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵正方形和正方形关于直线l成轴对称，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
∵正方形和正方形关于直线l成轴对称，
∴，
∴
，
∵，
∴，故B选项不符合题意；
∵正方形和正方形关于直线l成轴对称，
∴，
∴，故C选项符合题意；
∵正方形和正方形关于直线l成轴对称，
∴，
∵，
∴，
∴
，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
14．C
【分析】利用开始为0，到最大值为，也就是P到达B点时，即,从而求得边长，由点E是边的中点可知,即当点P在点E时，点P的运动路程为，，再由勾股定理可求得,最后求得y即可解答
【详解】解：根据图2可知，
当点P到A点时，，
当点P到B点时，，，即则
当点P到E点时，点P的运动路程为,，由勾股定理可得,则
所以点Q的坐标为
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形中的动点问题，找到图中的关键点及对应的关键数是解题的关键．
15．C
【分析】根据题意做辅助线，利用正方形的性质及等腰三角形的性质将面积差进行转化即可得到的长．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵为的中点，
∴，
设,则为,
根据勾股定理，,
∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
由题意可得：，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：，
∴,
∵
∴．
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等相关知识点，根据已知条件做出辅助线是解题的关键．
16．D
【分析】如图，连接、，设，，推得，，，，，，然后在中利用勾股定理求出，接着在、中利用勾股定理建立等式，解之即可求出答案．
【详解】解：如图，连接、，
由题意知，的延长线过点，
四边形是矩形，则四个角都是直角，
设，，
，，
，，，，
该矩形纸片沿折叠，
，，，，
，
在中有，
，
，
解得，
在中有，
，
在中有，
，
，
又 ，
，
解之得，
．
故答案为D．
【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，正确的画出辅助线是解题的关键．
17．B
【分析】如图：连接，过C点，交的延长线于点Q，过点E作于点P，根据正方形的性质及全等三角形的判定定理，可证得，同理可得，，，据此即可解答．
【详解】解：如图：连接，过C点，交的延长线于点Q，过点E作于点P，
黑色的部分都是正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
同理可得：，，，
，
，
，
该休闲区域总面积为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，证得外部三角形的面积与内部三角形的面积相等是解决本题的关键．
18．C
【分析】连接，证明，然后根据矩形性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，
点在以为直径的圆上，
，
，
，
点是线段的中点，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段平分线的性质及勾股定理，解决本题的关键是得到．
19．D
【分析】过点作于点，设与交与点，利用已知条件和正方形的性质得到为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，设与交与点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
．
由题意得：，
，．
．
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键．
20．A
【分析】如图，连接，由正方形的性质及已知，；设中，，，由题意得，由正方形的性质可证明，则，
，同理可证，，则H是的中点，从而可证得，可得点P是的中点，可得，则由可求得的值，再由阴影部分面积等于梯形面积减去即可求得最后结果．
【详解】如图，连接，
点N，M，G三点共线，由正方形ADNM的性质得，；
设中，，，由题意得，
，
，
，，
，则，；
同理可证，
，则H是的中点，
，
，，
，
即点P是的中点；
，，
，
，
即，
，
阴影部分面积等于梯形面积减去，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了与勾股定理有关的几何问题，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
21．/
【分析】过点P作，交的延长线于点，作，交延长线于点，首先证明，然后证明，进而利用三角形面积公式即可得到答案．
【详解】如图，过点P作，交的延长线于点，作，交延长线于点
根据题意得，
平分
，
正方形和正方形的面积分别为，，且，
正方形的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，正确的做出辅助线是解题的关键．
22．
【分析】如图，延长交于，由题意知，由折叠的性质可知，，则是的角平分线，，，由矩形的性质可知，由矩形的性质求得，证明四边形是矩形，则，在中，由勾股定理求的值，进而可得的值．
【详解】解：如图，延长交于，
由题意知，
由折叠的性质可知，，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
由矩形的性质可知，，，
∴，
∵ ，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．
【分析】连接交于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可得到答案．
【详解】解：连接交于O，如图：
∵四边形是菱形，，
∴，，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质的知识，求出，将转换为是关键．
24．1
【分析】连接，由F、G分别为、的中点可得，在中有，由勾股定理可得，由折叠性质和矩形性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵F、G分别为、的中点，
∴，
当的最小时，即最小，
∵四边形矩形，，
∴，
∴，
∵沿折叠，
∴，
在中有，
∴，
即，
∴，
∴的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的转化为．
25．或
【分析】根据题意分别讨论当与两种情况，通过勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：当为时，，，三点共线，如图所示：
设长为，则，由翻折可得，，
在中，勾股定理的，
，
，
，即，解得，
当为时，四边形为正方形，如图所示：
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行四边形与直角三角形的综合应用，解题关键是熟练掌握特殊四边形的性质及勾股定理．
26． /40度
【分析】由折叠的性质求得，由平角的性质求得，再根据平行线的性质可求得的度数；用勾股定理求得，是对角线的垂直平分线，设，在中，利用勾股定理求得，，再证明四边形是菱形，据此即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，
∴，
∵，
∴；
∵矩形纸片中，，，
∴，
∵点D恰好与点B重合，
∴是对角线的垂直平分线，
∴，
设，
由折叠的性质知，则，
在中，，即，
解得，即，
∴，
由折叠的性质知，，，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
27．
【分析】连接交于G，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度．
【详解】解：如图所示，连接交于G，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，即．
∴．
∵以点B为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴．
根据作图过程可知是的平分线．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴平行四边形是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，平行线的性质，角平分线作图，等角对等边，菱形的判定定理和性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
28．
【分析】根据题意利用菱形的性质可得，，易知是等边三角形，根据等腰三角形判定及性质可得：，根据对称的性质，继而可得，从而可得菱形面积，再根据已知数值代入计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，，
∴是等边三角形，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，对称的性质，关键在于得到以及菱形的面积等于两个三角形的面积之和．
29．
【分析】连接，根据勾股定理求出，从而得到，即可求出，即可得到答案.
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，，，，
∵正方形的边长为4，的长为5，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
解得：，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是连接辅助线．
30．
【分析】取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．由题意，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
31．
【分析】①连接、，先证明点三点共线，再说明是等边三角形，再利用三角函数即可解答；②先说明长度的最小值时，点应在上，过点M作，交延长线于点F，再利用勾股定理即可求出．
【详解】①连接、
∵将沿所在直线翻折得到
∴
∵M是边的中点，N为边的中点
∴是中位线
∴
∴
∴点三点共线
∵四边形为菱形
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
故答案为
∵是定值
∴长度的最小值时，点应在上，过点M作，交延长线于点F．
则有，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为；．
【点睛】本题考查了菱形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
32．
【分析】根据矩形的性质，勾股定理，以及已知条件得出，连接，在上取一点，使得，证明，进而得出点在的角平分线上运动，当最小时，重合，此时，即可求解．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，
如图所示，连接，在上取一点，使得，
∵，等腰直角，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点在的角平分线上运动，
当最小时，重合，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，得出点在的角平分线上运动是解题的关键．
33．7
【分析】过点E作，交的延长线于H，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求，利用勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作，交的延长线于H，
∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
34．
【分析】连接，由菱形的性质可知是等边三角形，过点C作于点G，过点P作于点H，可得，继而得出，根据勾股定理求出长度，再证明四边形是平行四边形，依据进行求解即可．
【详解】如图，连接，
∵四边形是菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形，
过点C作于点G，过点P作于点H，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
35．6
【分析】先证，得，则、、三点共线，再证，则，，然后由，求出，证，则，最后由，即可得出结果．
【详解】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
、、三点共线，
四边形和四边形都是正方形，延长、分别交、于点、，
四边形和四边形都是矩形，且，，四边形是正方形，四边形是矩形，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明是解题的关键．
36．
【分析】连接，由正方形和正方形的面积分别为1和5，得，，则，而，由勾股定理得，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，则，根据勾股定理求得，再证明，得．
【详解】解：连接，
正方形和正方形的面积分别为1和5，
，，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明是解题的关键．
37．
【分析】由四边形是矩形，得，，，根据勾股定理求得，再由翻折得，，，，则，，再根据勾股定理列方程，求得；由，求得，则，得，由勾股定理求得，则，即可由勾股定理求得，而，即可求得四边形CGHF的周长为．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
由翻折得，，，，
，，，
，且，
，
，
，且，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
38． 2
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【详解】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，
四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：2；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，
∵ABCD，
，
∵HEGF，
，
，
在和中，
，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
∴，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，
，
的最小值为，此时，
的最大值为8时，，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
39． 0或或
【分析】（1）先在Rt△ABC中，由直角三角形的性质以及勾股定理求得BC=，再进行证明四边形ABCD为矩形进而求得D=BC=；
（2）如图，要使△AEP是等腰三角形，存在3种情况，如图，分别为，，时，求得，，的长度，即可求得相应的时间t．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，∠CAD=30°．
∴AC=2AB=2，
BC=，
又∵AD⊥AB，CD⊥BC，∠BAC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=，
故答案为：；
（2）∵把△ACD沿着AC折叠，使点D落在点E处，
∴AD=AE=，∠EAC=∠CAD=30°，
要使△AEP是等腰三角形，存在以下3种情况：
情况1：如图，当A=AE=时，
=，
则：t==；
情况2：如图，当AE=时，延长AB，作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，
∵∠HBM=∠BME=∠BHE=90°，
∴四边形BMEH为矩形，
∴EH=BM，
又∵∠BAE=90°-30°×2=30°，AD=AE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
情况3：当时，设，则，
，
，
∴，
∴，
整理得，
解得：，
∴在B点．
t=0．
故答案为：0或或．
【点睛】本题综合考查矩形的判定、折叠的性质、利用勾股定理求三角形边长，合理运用矩形判定定理以及准确分析P点在不同位置时图形的边角关系是本题的关键．
40． 8
【分析】（1）过F点作FM⊥AB于M点，易证明四边形AMFD是矩形，即有AD=FM，DF=AM，根据∠CAB=30°，AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，即，则，根据翻折的性质有，即可得∠MFE=∠CAB=30°，则在Rt△MFE中，得，问题得解；
（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，根据折叠的性质，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1，，在和中，利用勾股定理有，，即有，可得到，进而可得，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）过F点作FM⊥AB于M点，如图，
在长方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°，
∵FM⊥AB，
∴∠FMA=∠FME=90°，
∴四边形AMFD是矩形，
∴AD=FM，DF=AM，
∵∠CAB=30°，AB=12，
∴在Rt△ABC中，有2BC=AC，
即，得，
解得，，即，
∴，
根据翻折的性质有，
∴∠MFE+∠FEM=90°，∠CAB+∠AEF=90°，
∴∠MFE=∠CAB=30°，
∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，
即，得，
解得EF=8，即ME=4，
故答案为：8．
（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，如图，
根据翻折的性质有，，，，，，
∵ME=4，AE=5，
∴AM=AE-ME=5-4=1，
∴DF=AM=1，
∴，，，
∴，
根据折叠的性质有：GH垂直平分EF，
∴FG=GE=EF=4，
∵在和中，
利用勾股定理有，，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题．
41．(1)14
(2)
【分析】（1）设与相交于点G，根据条件证明四边形、都是矩形，得出，，进而即可；
（2）当B、E、Q三点共线时，，过点E作于点M，可证，，利用勾股定理可求，在中，，在中，，得出，求出即可．
【详解】（1）解∶设与相交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形与四边形关于成轴对称，
∴，，，，
∴四边形、都是矩形，
∴，，
∴；
（2）解：∵四边形与四边形关于成轴对称，
∴B、Q关于成轴对称，
当B、E、Q三点共线时，
∴，
过点E作于点M，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
42．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求得；
（3）过点作，证明，在四边形中求出，证明是等边三角形，即可求出的长．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴；
（3）过点作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等、勾股定理，解题的关键是综合运用正方形的性质、三角形全等、勾股定理的知识点．
43．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，然后根据勾股定理即可得到结论；
（2）由计算出，分两种情况计算即可；
（3）由菱形的性质判断出，再判断出是等腰三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：是菱形的对角线，
，．
在和中，
，，，
，
；
在中，，，
由勾股定理得：．
在中，，，，
根据勾股定理得：，即：，
，
（2）在和中，
，，，
，
，，
，
．
①当在之间时，即时，
②当在之间时，即时，
综上所述： ；
（3）存在．
，，
．
，
．
四边形是菱形，
．
，
，
，
．
．
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
44．(1)证明见解析
(2)菱形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状；
（3）由可得，由所对的直角边等于斜边的一半，可得，，，在中，由勾股定理求的值，进而可得的值，由，可得的值，根据计算求面积即可．
【详解】（1）证明：由题意知，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：四边形是菱形；理由如下：
∵在中，D在中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵
∴，
∵，
∴，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴ 为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所对的直角边等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
45．(1)m的值是1
(2)证明见解析
(3)的面积为或
【分析】（1）如图1，过点P作于M，表示， ，根据平行四边形的面积为，列等式可得m的值，由，可确定；
（2）先计算，再由平行线的性质和对顶角相等结合证明；
（3）分两种情况：①如图2，，证明四边形是平行四边形，根据列方程可得m的值，并计算的面积；②如图3，，证明四边形是平行四边形，，列方程可解答．
【详解】（1）解：如图1，过点P作于M，
∵，，
∴，
中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵平行四边形的面积为，
∴，即，
解得：，，
中，，
∴，
当时，，
当时，，不符合题意，舍去；
综上，m的值是1；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：分两种情况：
①如图2，，
∵，
∴，
中，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
②如图3，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上，的面积为或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了含的直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，还用了分类讨论思想．
46．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，点的运动路径是在以为圆心，长为半径的圆上，当、、三点共线时，最小，先求，则；
（2）由已知可求，由折叠性质，可知，设，则，，在中，由勾股定理可得，解方程得，则．
【详解】（1）解：当点与点重合时，只有点运动，
由折叠可知，，
点的运动路径是在以为圆心，长为半径的圆上，
当、、三点共线时，最小，
，，
，
，
的最小值为；
（2）点落在边上距离B点的处，，
，
由折叠性质，可知，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．
47．【问题背景】C；【探索延伸】成立，见解析；【结论运用】的坐标为
【分析】（1）根据已知，先证明，再证明，可得证．
（2）如图2，延长到，使，连接，根据，得到，证明，再证明证明，可得证．
（3）直接运用前面的结论即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴，
故选C．
（2）结论仍然成立．
证明：如图2，延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，，
∵，
∴
∴
在和中，
，
∴
∴
∴
（3）同理（2）可知，，则
设，则，
∵，
∴
解得：
∴的坐标为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等判定和性质，半角全等模型，熟练掌握半角全等模型的意义是解题的关键．
48．（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，理由见解析；（3）．
【分析】（1）由矩形的性质结合角平分线的定义可证得，可证明为等腰直角三角形，推出；
（2）连接，由“”可证，可，进一步可证明，可判定为等腰直角三角形；
（3）在上截取，连接，由等腰三角形的性质可求，可求的长，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∵G为中点，
∴，，
在△AGF和△CGB中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，在（1）中充分利用矩形的对边分别平行是解题的关键，在（2）构造三角形全等是解题的关键，在（3）中求出的长是关键．
49．(1)①；②；
(2)t为0s或4.8s或8s或9.6s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）①根据平行四边形的性质，证明是等边三角形即可；
②由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得，由此即可解决问题；
（2）如图③中，根据平行四边形对边平行且相等，分四种情况列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①如图①中，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
②如图②中，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
是边长为的等边三角形，
则等边任一边上的高为，
，
的面积是；
（2）如图③中，
，
当时，四边形是平行四边形，
当点P到达点D时停止运动，，
，
动点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在间往返运动，
当时，，，解得：；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得．
为或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
50．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由菱形的性质和矩形的性质可得，，，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由矩形的性质及已知推出，由全等的性质得，，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由已知等量代换可得，即可得证；
（3）连接，作于，则，，得，由矩形的性质得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：四边形为菱形，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为：；
（2）证明：连接，
，分别是，的中点，四边形为矩形，，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形为矩形．
（3）解：连接，作于，
四边形为矩形，，，
四边形是矩形，，
，，
，
四边形为矩形，，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
51．(1)菱形；；
(2)正方形；成立，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质，得到，，，又因为，即可证明四边形是菱形，得到再证明，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理，即可得到与之间的数量关系；
（2）根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形是正方形，过点P作，先根据平行线的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，然后根据轴对称的性质得到，推出，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出，即可得到与之间的数量关系；
（3）先根据等边对等角，得到，再利用三角形外角的性质得到，同理可证，，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
同理可证，，
，
，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
52．(1)
(2)不发生变化，
(3)见详解
【分析】（1）过点E作于点T，由折叠的性质及正方形的性质可知，然后问题可求解；
（2）设与相交于点N，由折叠的性质可得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解；
（3）过点分别作，垂足分别为M、K，与相交于点N，由题意易证，同理可证，则有四边形为正方形，然后问题可进行求解．
【详解】（1）解：过点E作于点T，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的度数不发生改变，理由如下：
设与相交于点N，如图所示：
由折叠的性质可得，，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过点分别作，垂足分别为M、K，与相交于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在正方形中，，，由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键．
53．（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析；（3）成立
【分析】（1）【问题初探】根据正方形的性质直接运用证明全等即可；
（2）【问题再探】①根据第一小问的思路，延长至点，使，连接，证得，得到，，再结合正方形的性质以及已知条件证得，即可得到，从而证得结论；②通过设，，，，根据正方形的基本性质建立方程求出其基本关系，然后分别表示和的面积，从而求出数量关系即可；
（3）【问题延伸】仿照第二问的求解过程，先证得全等三角形，并结合全等三角形的性质设未知数，然后列方程求解即可．
【详解】解：（1）【问题初探】∵四边形为正方形，
∴，，
∴．
在和中，
∵
∴．
（2）【问题再探】①如答图，延长至点，使，连接．
由（1），得，
∴，．
∵在正方形中，，，
∴，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴．
又∵，
∴．
②，理由如下：
设，，，．
则
由①，得，两边平方，得
由②，得 联立③④，得．
又∵，，
∴；
（3）【问题延伸】仍成立，理由如下：
如图，延长至点，使，连接，
同（2）可证，以及，
∴，
设，，，，
∴，
则，
由①，得，两边平方，得
由②，得 联立③④，得．
又∵，，
∴；
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形的基本性质等，掌握“半角”模型并熟练运用其证得基本的全等三角形，灵活运用勾股定理进行计算证明是解题关键．
54．(1)；理由见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论；
（2）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明 得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；
（3）①过点分别作垂足分别为，则，证明 ，设 ，根据，求得，即可得出；
②连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出 ，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作 交延长线于点，连接，证明得出，证明 得出， ，由正方形的性质得出，易得出，得出， ，得出 ，故 ，点在线段 上运动；过点作 ，垂足为，即可得出结果．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（2）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：
四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在 和 中，
，
（），
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
（3）①解：如图所示，
过点分别作垂足分别为，则
在正方形对角线上，
，是等腰直角三角形，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
，，
解得：，
则，
故答案为：．
连接交于点，如图所示：
则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，
，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作 交延长线于点，连接，
点在上，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
， ，
由翻折性质得： ，
在和 中，
，
（），
，'，
是正方形的对角线，
，
则，
，
，
，故 ，
点在线段 上运动；
过点作 ，垂足为，
点为的中点，
，则 的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
55．【问题情境】见解析；【结论运用】4；【迁移拓展】
【分析】[问题情境]连接，利用可证得；
[结论运用]过点作，垂足为，根据条件求出，的长，从而证明后，直接利用[问题情境]中的结论可得出，而 ；
[迁移拓展]延长、交于点，作，垂足为，由，得出，然后应用问题情境中的结论可得：，设，根据勾股定理求出的值，然后可求图中各条线段的长，最后将与的周长之和转化为的值即可．
【详解】[问题情境]连接，
，，，
且，
．
，
．
[结论运用]过点作，垂足为，如图
四边形是矩形，
，．
，，
∴．
由折叠可得：，．
．
，
．
，，
．
四边形是矩形．
．
，
．
，
．
．
由问题情境中的结论可得：．
∴．
的值为．
[迁移拓展]延长、交于点，作，垂足为，如图⑤．
．
由问题情境中的结论可得：．
设，则．
，
．
．
，，，
．
解得：．
．
．
．
，且、分别为、的中点，
，．
与的周长之和
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质；矩形的性质与判定；勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
56．（1）；（2）①；②6；（3）
【分析】（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；②分别作点N关于的对称点，作于点H，根据对称性可得，然后根据等边三角形和直角三角形的性质，求出的长，即可；
（3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，
由对称性知，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，
由对称性知，
，
∴，
作于H，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
故答案为∶；
②如图，分别作点N关于的对称点，作于点H，
由对称得：，，
∴，
即当取得最小值时，点N与点H重合共线，
此时，
设与交于点F，
在正中，，
∴，
∴，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为6；
（3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，
在正方形中，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键．
57．(1)
(2)7
(3)或或
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，从而得到和直角三角形，根据,继而求得;
（2）以为边作等边，连接，过点E作于F，证得，求出，由直角三角形的性质得出由勾股定理求出，再由勾股定理即可得出答案；
（3）过点C作，交延长线于H，设，求出，由直角三角形的性质得出，构建方程求出x，进而得出的长，分三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）如图，连接，
,
是等边三角形，
，
,
又,
,
故答案为：
（2）以为边作等边，连接，过点E作于F，如图2所示，
则，
，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
∴，
（3）过点C作，交延长线于H，设，如图3所示，
，
，
,
，
又，
∴是等腰直角三角形，
，
①如图4所示，
当时，
连接，过点C作，交延长线于点G，过点A作，
则，，，
，
∵在和中，
∴ ，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
②图5所示，
当时，
连接，作于点G，于K，
如图，则
，，
③如图6所示，
当时，
作于M，作于H，
则，,
，
，
综上所述，四边形A BCD的面积为或或．
【点睛】本题是考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握准筝形的判定与性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
58．(1)见解析
(2)
(3)的面积为或或．
【分析】（1）由，，可得，是等边三角形可得，且可得，从而可证；
（2）当时，有最小值，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（3）分三种情况：①，②，③时，分别画出图形，求出底边长度和高，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：当时，有最小值，如图：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（3）解：直线与的一边垂直，分三种情况：
①时，如图：
此时，
∵，
∴，
又，
在中，，
，，
∴；
②时，如图：
此时，平行四边形为矩形，
在中，，，
∴，，
∴；
③时，延长交于H，如图：
此时，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，，
∴，
中，，
∴，
∴，
综上所述，直线与的一边垂直，平行四边形的面积为或或．
【点睛】本题考查等边三角形、平行四边形性质及应用，涉及全等三角形、矩形等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论．
59．(1)见解析
(2)；
(3)与的面积之差不变，且．
【分析】（1）根据证明，得，再根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；
（2）由，在中求得，从而得和的长，最后利用勾股定理即可求得结果；
（3）如图3，过A作于P，过C作于Q，先证明，得，可得，从而得结论．
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接与交于点M，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：与的面积之差不变，且，
如图3，过A作于P，过C作交其延长线于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键．
60．(1)见解析
(2)6
(3)见解析
【分析】（1）由中点定义得出，继而利用对角线互相平分证明四边形为平行四边形，由等角对等边得出，即可根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）设，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得的长度，进而利用勾股定理进行求解即可；
（3）延长交过点A作垂直于的直线于H点，过点D作于点P，证明，把化为，从而三条线段放在了等腰直角三角形中即可证明．
【详解】（1）∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）设，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，
即，
∴，
∴；
（3）延长交过点A作垂直于的直线于H点，过点D作于点P，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，综合性较强，能够根据题意准确作出辅助线是解题的关键．
试卷第20页，共21页
试卷第1页，共21页