浙教版八年级上册数学每日一题11-15（第1章三角形的初步知识）培优训练（含详解）

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每日一题11
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11．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
每日一题12
班级 姓名 小组
12．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 　　常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　 　（请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
每日一题13
班级 姓名 小组
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是直线BC上一点．
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出线段CD的长度：若不存在，请说明理由．
每日一题14
班级 姓名 小组
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒．
（1）AC＝　　cm；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
每日一题15
班级 姓名 小组
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
每日一题11 参考答案
11.解：（1）∵AC＝＝，
CE＝＝，
∴AC+CE＝+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝5，
∴AE＝＝10，
∴AC+CE的最小值是10；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝13，
即的最小值为13．
每日一题12 参考答案
解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20，
∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，
则2a2＝3b2，
故a：b＝：，
∴设a＝x，b＝x，
则c＝x，
∴此三角形的三边长之比为：：：．
故答案为：：：；
（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，
∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时，
解得：BD＝DC＝6，
则AB＝12，
故AC＝＝6，
则△ABC的面积为：×6×6＝．
当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时，
解得：BD＝DC＝2，
则AB＝4，
故AC＝2，
则△ABC的面积为：×6×2＝6．
故△ABC的面积为或6．
每日一题13 参考答案
13.解：（1）作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，
此时，△CMD周长的值最小，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝45°，
连接BE，
∴BC＝BE＝2，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴DE＝＝＝，
∴△CMD周长的最小值＝1+；
（2）存在，
∵AC＝4，BC＝8，
∴AB＝＝4，
当AD1＝AB时，△AD1B的等腰三角形，
∵AC⊥BC，
∴CD1＝BC＝8；
当BD2＝AB＝4时，△AD2B的等腰三角形，
∴CD2＝4﹣8；
当AD3＝D3B时，△AD3B的等腰三角形，
∴BD3＝8﹣CD3，
∴AC2+CD＝BD，
∴42+CD＝（8﹣CD3）2，
解得：CD2＝3，
当BD4＝AB＝4时，△AD4B的等腰三角形，
∴CD4＝8+4，
综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或4﹣8或3或8+4．
每日一题14 参考答案
解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm，故答案为：6；
（2）如图，过P作PD⊥AB于D，
∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，
∴PD＝PC，BC＝BD＝8，
∴AD＝10﹣8＝2，
设PD＝PC＝y，则AP＝6﹣y，
在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，
∴22+y2＝（6﹣y）2，
解得y＝，∴CP＝，∴t＝＝＝s；
当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝5；
综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或5；
（3）分四种情况：
①如图，当P在AB上且AP＝CP时，
∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，
∴P是AB的中点，即AP＝AB＝5，∴t＝＝；
②如图，当P在AB上且AP＝CA＝6时，t＝＝3；
③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则
CD＝＝，
∴Rt△ACD中，AD＝，
∴AP＝2AD＝，
∴t＝＝；
④如图，当P在BC上且AC＝PC＝6时，BP＝8﹣6＝2，
∴t＝＝6．
综上所述，当t＝或3或或6s时，△ACP为等腰三角形．
每日一题15 参考答案
【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
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