浙教版八年级上册数学每日一题16-20（第2章 特殊三角形）培优训练（含详解）

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每日一题16
班级 姓名 小组
16．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．
（1）如图1，连接AE，则AE＝　　　　；
（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；
（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为　　　　．
每日一题17
班级 姓名 小组
17．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　　
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　　
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？
请用式子表示：　　
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
每日一题18
班级 姓名 小组
18．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：　 　．
（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．
每日一题19
班级 姓名 小组
19．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　
　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
每日一题20
班级 姓名 小组
12．在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝50°．在△ABC的外侧作直线AP，作点C关于直线AP的对称点D，连接BD，CD，AD，其中BD交直线AP于点 E．
（1）如图1，与AD相等的线段是　 　；
（2）如图2，若∠PAC＝20°，求∠BDC的度数；
（3）如图3，当65°＜∠PAC＜130°时，作AF⊥CE于点F，若EF＝1，BE＝5，求DE的长．
每日一题16 参考答案
16.【解答】解：（1）∵DE是AC的中垂线，∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即AE＝，故答案为：；
（2）∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，
设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，在Rt△BCF中，由勾股定理得：（y﹣2）2+42＝y2，
解得：y＝5，即CF的长为5；
（3）方法一：连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，过P'作P'Q'⊥BF于Q'，如图3所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∴∠AFD＝∠CFD，
∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，∴P'M＝P'Q'，
则点M与Q'关于DE对称，此时BM＝BP'+P'M＝BP'+P'Q'，即BP+PQ的值最小＝BM，
由（2）得：AF＝CF＝5，AB＝2，∴BF＝AF﹣AB＝3，
∵∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴△BCF的面积＝CF×BM＝BF×BC
∴BM＝＝＝，即BP+PQ的最小值为，故答案为：．
方法二：
作点B关于DE的对称点H，交DF于G，过点H作HQ⊥AB于Q，交DE于点P，如图4所示：
则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，
由对称得：∠AFD＝∠CFD，∠AFD＝∠HFD，BP＝HP，FB＝FH，
∴∠CFD＝∠HFD，
∴点C、H、F三点共线．BP+PQ＝HP+PQ＝HQ，
由“垂线段最短”得：BP+PQ的最小值为HQ．
在等腰△BFH中，∵FB＝FH，HQ⊥BF过B作BM⊥CF于M，
∴HQ＝BM（等腰三角形两腰上的高相等）．
由方法一得：BM＝．
∴BP+PQ的最小值为．故答案为：．
每日一题17 参考答案
17.解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）
（4）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC．
故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD
每日一题18 参考答案
18.（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
故答案为∠BAC＝2∠EDC．
（2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC．
理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，
∵KE⊥EC，
∴∠E＝90°，
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
每日一题19 参考答案
19.解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图3，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
每日一题20 参考答案
20.解：（1）如图 1，∵点C关于直线AP的对称点D，
∴AD＝AC，
∵AC＝AB，
∴AD＝AC＝AB，
∴与 AD 相等的线段是AC，AB；
故答案为：AC，AB；
（2）∵点 C 与点 D 关于直线 AP 对称，
∴AD＝AC，∠DAP＝∠CAP＝20°
∴∠DAC＝40°，∠ADC＝70°，
又∵∠CAB＝50°，
∴∠DAB＝90°，
∵AC＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ADB＝45°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝25°；
（3）在 CE 上截取 GF＝EF，连接 AG
∵点 C 与点 D 关于直线 AP 对称
∴AD＝AC，∠ADE＝∠ACE
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵AF⊥CE，GF＝EF，
∴AG＝AE，
∴∠AGE＝∠AEG，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠AGE＝∠AED，
∴∠AGC＝∠AEB，
在△ACG 和△ABE 中，，
∴△ACG≌△ABE（AAS），
∴BE＝CG，
∵BE＝5，EF＝1，
∴DE＝CE＝CG+2EF＝BE+2EF＝7．
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