浙教版八年级上册数学每日一题21-25（第2章 特殊三角形）培优练习（含答案）

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每日一题21
班级 姓名 小组
21．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5
①求证：AF⊥BD②求AF的长度；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．
每日一题22
班级 姓名 小组
22．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，点D、E都在△ABC外部，连结BD和CE相交于点F．
①判断BD与CE的位置关系和数量关系，并说明理由；
②若AB＝2，AD＝，求BF2+CF2+DF2+EF2的值．
（2）如图2，当点D在△ABC内部，点E在△ABC外部时，连结BE、CD，当AB＝3，AD＝时，求BE2+CD2的值．
每日一题23
班级 姓名 小组
23．我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为面积法．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB边上的高线．用“面积法”求CD的长．
（2）如图2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，P为底边BC上的任意一点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N，连接AP，利用S△ABC＝S△ABP+S△ACP，求PM+PN的值．
（3）如图3，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，求折叠后纸片重叠部分的面积．
每日一题24
班级 姓名 小组
24．在平面直角坐标系中，坐标轴上的三个点A（a，0），B（0，b），C（c，0）（a＜0，b＞0）满足|c﹣1|+（a+b）2＝0，F为射线BC上的一个动点．
（1）c的值为 　　，∠ABO的度数为 　　．
（2）如图（a），若AF⊥BC，且交OB于点E，求证：OE＝OC．
（3）如图（b），若点F运动到BC的延长线上，且∠FBO＝2∠FAO，O在AF的垂直平分线上，求△ABF的面积．
每日一题25
班级 姓名 小组
25．已知：在△ABC中，点E在直线AC上，点B、D、E在同一条直线上，且BA＝BD，∠BAE＝∠D．
【问题初探】
（1）如图1，若BE平分∠ABC，求证：∠AEB+∠BCE＝180°．
请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．
【变式再探】
（2）如图2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延长线于点E，问：∠AEB和∠BCE的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB⊥BC，CD＝1，求EC的长度．
每日一题21 参考答案
21.（1）①证明：如图1，
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD，∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，∴∠BFE＝∠ACE＝90°，∴AF⊥BD．
②∵∠ECD＝90°，BC＝AC＝12，DC＝EC＝5，
∴BD＝＝13，
∵S△ABD＝AD BC＝BD AF，即
∴AF＝．
（2）证明：如图4，
∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠ACD＝∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE≌△BCD中
∴△ACE≌△BCD，∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG＝45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE＝S△BCD，AE＝BD，
∵S△ACE＝AE CN，
S△BCD＝BD CM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE＝90°，
∴∠EFC＝45°，
∴∠AFG＝45°．
每日一题22 参考答案
22.解：（1）①BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠DBC+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE；
②∵BD⊥CE，
∴∠BCF＝∠EFD＝90°，
∴BF2+CF2＝BC2，DF2+EF2＝DE2，
∴BF2+CF2+DF2+EF2＝BC2+DE2，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2＝2AB2，DE2＝2AD2，
∵AB＝2，AD＝，
∴BC2＝2×22＝8，＝6，
∴BF2+CF2+DF2+EF2＝8+6＝14；
（2）连接CE，延长BD交AC于点O，交CE于点F，
同（1）可得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BAC＝∠BFC＝90°，
∴BD⊥CE，
∴BE2＝BF2+EF2，CD2＝CF2+DF2，
∴BE2+CD2＝BF2+EF2+CF2+DF2，
∵BF2+CF2＝BC2，DF2+EF2＝DE2，
∴BE2+CD2＝BC2+DE2，
∵AB＝3，AD＝，
∴DE＝AD＝2，BC＝AB＝3，
∴BE2+CD2＝＝22．
每日一题23 参考答案
解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝ AC BC＝ AB CD，
∴CD＝＝．
（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴BH＝CH＝5，
∴AH＝＝＝12，
∵S△ABC＝ BC AH＝ AB PM+ AC PN，
∴×13×PM+×13×PN＝×10×12，
∴PM+PN＝．
（3）如图，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．
∵∠ACD＝∠BCD，DM⊥AC，DN⊥CE，
∴DM＝DN，
∵S△ACD+S△BCD＝S△ACB，
∴×4×DM+×6×DN＝×4×6，
∴DM＝DN＝，
∴S△A′CD＝ CA′ DN＝×4×＝．
每日一题24 参考答案
【解答】（1）解：∵|c﹣1|+（a+b）2＝0，
∴c＝1，a＝﹣b，∴OA＝OB，∴∠ABO＝45°，
故答案为：1，45°．
（2）∵AF⊥BC，∴∠AOE＝∠BFE＝90°，
∵∠AEO＝∠BEF，∴∠OBC＝∠OAE，
在△AOE和△BOC中，
，
∴△AOE≌△BOC（AAS），
∴OE＝OC；
（3）连结OF，过点F作FG⊥x轴，垂足为点G，
设∠FAO＝x，则∠FBO＝2∠FAO＝2x，
∵O在AF的垂直平分线上，
∴AO＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝x，
∴∠GOF＝∠OAF+∠OFA＝2x，
∵∠FBO＝2∠FAO＝2x，OB＝OA＝OF，
∴∠OFC＝∠OBF＝2x，
∴∠BCO＝∠COF+∠OFB＝4x，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴6x＝90°，解得x＝15°，
∴∠OBC＝∠GOF＝2x＝30°，
∵C（1，0），
∴OC＝1，
∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，
∴BC＝2OC＝2，，
∴OA＝OF＝OB＝，
同理可得：，
∴，
∴S△ABF＝S△ACB+S△ACF＝×AC×FG+×AC×OB＝×（+1）（+）＝+．
每日一题25 参考答案
证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵BA＝BD，∠BAE＝∠D，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠AEB+∠BCE＝180°；
（2）结论改变了，∠AEB＝∠BCE，
理由如下：
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE＝∠FBE＝∠DBC，
又∵BA＝BD，∠BAE＝∠D，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴∠AEB＝∠BCE；
（3）如图3，连接AD，
∵AB⊥BC，
∴∠ABF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE＝∠DBC＝45°，
∵△ABE≌△DBC，
∴CD＝AE＝1，BE＝BC，
∵AB＝DB，∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝135°，
∴∠BAD＝∠BDA＝22.5°，
∵BE＝BC，
∴∠BEA＝∠BCE，
∵∠EBF＝∠E+∠BCE＝45°，∠AEB＝∠BCD，
∴∠BCD+∠BCE＝45°＝∠ACD，∠BEA＝∠BCE＝22.5°，
∴∠AEB＝∠ADB＝22.5°，
∴AE＝AD＝1，∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝CD＝，
∴CE＝AC+AE＝+1．
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