浙教版八年级上册数学每日一题26-30（第2章 特殊三角形）培优练习（含答案）

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每日一题26
班级 姓名 小组
26．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD为△ABC的中线，若△BCD是平方倍三角形，求△ABC的面积．
每日一题27
班级 姓名 小组
27．定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P　　△ABC的准心（填“是”或“不是”）；
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
每日一题28
班级 姓名 小组
28．已知∠A＝60°，点B、C分别在∠A的两边上（不与点A重合），连接BC，作线段BC的垂直平分线；点D在∠A内部，且在△ABC外，线段BC的垂直平分线上，∠BDC＝120°．
（1）求证：BC＝BD；
（2）求证：AD平分∠BAC；
（3）若BC＝4，
①当线段AB最大时，求四边形ABCD的面积；
②在点B的移动过程中，直接写出AD的取值范围．
每日一题29
班级 姓名 小组
29．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　　度；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若CD是∠ACB的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②求BD的长．
（3）在（2）的基础上，边AC上是否存在点E，使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，直接写出CE的长；若不存在，请说明理由．
每日一题30
班级 姓名 小组
30．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE．
（1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长；
（2）如图2，若CD＝CF，求∠ABE的度数；
（3）若CD≠CF，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由．
每日一题26 参考答案
解：（1）结论：这个三角形是“平方倍三角形”．
理由：∵（）2+22＝15，3×（）2＝15，
∴（）2+22＝3×（）2，
∴这个三角形是“平方倍三角形”．
（2）设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
∵△ABC为“平方倍三角形”．
∴a2+b2＝c2，且c2+a2＝3b2，
∴2a2+b2＝3b2，
∴b＝a，
∴c＝a，
∴a：b：c＝1：1：．
（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，点D为AB的中点，△BCD是“平方倍三角形”，
∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝3×52时，
解得：BD＝DC＝，
则AB＝5，
故AC＝＝＝5，
则△ABC的面积为：×5×5＝．
当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝3×BD2时，
解得：BD＝DC＝，
则AB＝5，
故AC＝5，
则△ABC的面积为：×5×5＝．
故△ABC的面积为或．
每日一题27 参考答案
解：（1）如图2中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴PB＝PC，
∴点P是△ABC的准心，
故答案为：是．
（2）如图3中，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∵PD＝AB，
∴AD＝PD＝DB，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°．
（3）如图4中，
∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝＝4，
①若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，即PA＝，
②若PA＝PC，则PA＝2，
③若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA＝2或．
每日一题28 参考答案
28.（1）证明：过点D作DE⊥BC于E．
∵DC＝DB，DE⊥CB，
∴CE＝EB，∠CDE＝∠BDE＝∠CDB＝60°，
∴EC＝BE＝BD，
∴BC＝2EC＝BD．
（2）证明：如图2中，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，作⊥DF⊥AB于F．
∵∠EAF＝60°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝∠CDB＝120°，
∴∠CDE＝∠FDB，
在△DEC和△DFB中，
，
∴△DEC≌△DFB（AAS）
∴DE＝DF，
∵DE⊥AE，DF⊥AB，
∴AD平分∠CAB．
（3）解：①当BC⊥AC时，AB的值最大，最大值AB＝＝8，
此时AC＝AB＝4，四边形ABDC的面积＝×4×4+×4×2＝12．
②当AD⊥BC时，AD的值最大，最大值为8，
当点C与A重合或点B与A重合时，AD＝CD＝4，
∴4＜AD≤8．
每日一题29 参考答案
29.解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为20；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，
∴AD＝DM，
在Rt△ACD和Rt△MCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），
∴AC＝CM＝4，
∵AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴BM＝1，
设AD＝DM＝x，
∵DM2+BM2＝DB2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣；
（3）存在，理由：
①如图，作∠ABC的平分线BE，则△BCE是“近直角三角形”，
过点E作EF⊥BC于点F，
则AE＝EF，AB＝BF＝3，设CE＝x，∴AE＝EF＝4﹣x，
∵EF2+CF2＝CE2，∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝；
②如图，作∠ABE＝∠C，则△BCE是“近直角三角形”，
延长CA至G，使EA＝AG，则BE＝BG，
设CE＝x，则AG＝AE＝4﹣x，
∵BG2＝AG2+AB2，BG2＝CG2﹣BC2，
∴BG2＝（4﹣x）2+32，BG2＝CG2﹣BC2，
∴（4﹣x）2+32＝（8﹣x）2﹣52，∴x＝．
综合以上可得CE的长为或．
每日一题30 参考答案
（1）解：过点C作CM⊥AB于M，如图1，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AC＝6，
∴AB＝AC＝12，
∵CM⊥AB，
∴CM＝AM＝BM＝AB＝6，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM﹣DM＝6﹣；
（2）证明：过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图2，
则∠CMD＝∠DNE＝90°，
∴∠MCD+∠MDC＝90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE＝90°，
∴∠MCD＝∠NDE，
又∵CD＝DE，
∴△CDM≌△DEN（AAS），
∴CM＝DN，DM＝EN，
∴DM+MN＝CM，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠ABC＝45°，
由（1）知，CM＝AM＝BM＝AB，
∴BM＝MN+BN＝CM＝DM+MN，
∴DM＝BN＝EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°；
（3）解：AC2+BE2＝2CD2，理由如下：
过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图3，
由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2，
∴DM2＝BE2，
在Rt△ACM中，CM＝AM，AC2＝CM2+AM2，
在Rt△CDM中，CM＝AM，CD2＝CM2+DM2，
∴CD2＝AC2+BE2，
∴AC2+BE2＝2CD2．
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