浙教版八年级上传数学每日一题31-35（第5章 一次函数）培优训练（含答案）

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每日一题31
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31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D在线段BO上；
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
②当△DEF与△AFC的面积相等时，求线段AD的长；
（3）若△DEF为直角三角形，请直接写出点D的坐标．
每日一题32
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32．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；
（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
每日一题33
班级 姓名 小组
33．已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．
（1）探求定点A的坐标．把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为　　　　　．
（2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．
（3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长．
每日一题34
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34．如图，一次函数的图象过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）直线y＝﹣3x﹣3交x轴于点C，E为直线AB上一动点．
①求CE的最小值；
②D是直线y＝﹣3x﹣3上任意一点，F为直线AB上另一动点，若△DEF是以2为直角边长的等腰直角三角形，求D点的坐标．
每日一题35
班级 姓名 小组
35．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝5，OB＝3，点D坐标为（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿线段BC﹣CA的方向运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；
（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
每日一题31 参考答案
31.解：（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，∴﹣6+3＝0，∴k＝，
∴直线AB解析式：y＝x+3，把点A（2，n）代入y＝x+3，∴n＝4，∴A（2，4），
把（2，4）代入y＝﹣2x+b得，﹣4+b＝4，∴b＝8，
∴直线AC的函数表达式：y＝﹣2x+8．
（2）①如图，过点A作AH⊥y轴于点H，
∴AH＝2，AE2＝AB2＝（﹣6﹣2）2+（0﹣4）2＝80，∴HE＝＝2，
∴OE＝HE﹣OH＝2﹣4，∴E点的坐标为（0，4﹣2），
②∵S△DEF＝S△APC，∴S△DEF+S△ADF＝S△AFC+S△ADF，即S△ADE＝S△ADC，
∵S△ABD＝S△ADE，∴S△ABD＝S△ADC，∴D为BC中点，
∵y＝﹣2x+8，当y＝0时，∴﹣2x+8＝0，∴x＝4，∴C（4，0），
∵B（﹣6，0），∴D（，0），即D（﹣1，0），∴AD＝＝5．
（3）由对折得，∠E＝∠ABD＝90°，∴△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，过点A作AG⊥BC于G，∴AG＝DG＝4，
∵OG＝2，∴OD＝2，∴D（﹣2，0），当∠DFE＝90°时，
由对折得，AE＝AB＝＝4，BD＝DE，∴EF＝4﹣4，
由A、B两点坐标可得：BF＝2﹣（﹣6）＝8，
设DF＝m，则BD＝8﹣m，
∴DE＝8﹣m，
∴（8﹣m）2＝m2+（4﹣4）2，
∴m＝2﹣2，
∴OD＝DF﹣OF＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴D（4﹣2，0），
综上，D（﹣2，0）或（4﹣2，0）．
每日一题32 参考答案
32.解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，
则，∴，∴直线AB的函数解析式为：y＝﹣3x+3；
（2）设E（0，t），
∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴S△AOB＝，
∵S△BCE＝2S△AOB，∴S△BCE＝3，∴，
解得t＝1，∴E（0，1），
设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得：
，∴，∴直线CE的函数解析式为：y＝x+1，
当x+1＝﹣3x+3时，∴x＝，则y＝，∴D（），
（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：
∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，∴△COE≌△BOA（SAS），
∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，
∵∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠OCE+∠BAO＝90°，∴∠CDA＝90°，∴CE⊥AB；
（4）在射线CD上存在两个F点，使∠DBF＝45°，
如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，
∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴BD＝DF，
∵∠BDG+∠FDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°，∴∠FDH＝∠DBG，
又∵∠G＝∠H ∴△BDG≌△DFH（AAS），
∴FH＝DG＝3﹣＝，DH＝BG＝，∴点F（﹣，），
当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（，），
综上点F的坐标为：（﹣，）或（，），
每日一题33 参考答案
33.解：（1）∵x＝﹣3时，y的值与k无关，都为1，∴定点A（﹣3，1），故答案为：（﹣3，1）；
（2）∵A（﹣3，1），B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），∴AB＝3，BC＝4，BD＝3，
∵∠CDB＝90°，∴CD＝＝＝5，
∴△BCD的周长为BD+CD+BC＝12，
∵直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，
∴两部分的长分别为：12×＝，12×＝，
①若AB+BN＝，如图：∴3+BN＝，∴BN＝，
∴N（0，），将N（0，）代入y＝kx+3k+1得：＝3k+1，解得k＝，
②若AC+CM＝，如图：∴1+CM＝，
∴CM＝，∴CM＝CD，∴M为CD中点，
∴M（﹣2，），把M（﹣2，）代入y＝kx+3k+1得：
＝﹣2k+3k+1，解得：k＝，综上所述，k的值为或；
（3）由得，
∴E（﹣3，1），∴E与A重合，
∵点F是EQ的中点，∴xF＝﹣，
而由y＝kx+3k+1、y＝（k﹣1）x+3k﹣2可得P（0，3k+1）、Q（0，3k﹣2），
∴PQ＝3，
∵点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10），
∴Q从（0，2）运动到（0，7），
∴F从（﹣，）运动到（﹣，4），
∴F运动的路程为：4﹣＝．
每日一题34 参考答案
34.解：（1）设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，
由题意可得：解得：∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+3；
（2）①如图1，当CE⊥AB时，CE有最小值，
∵直线y＝﹣3x﹣3交x轴于点C，
∴点C（﹣1，0），且A（3，0），B（0，3）
∴AC＝4，OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，且CE⊥AB，
∴AC＝CE，∴CE＝＝2，∴CE的最小值为2；
②设直线AB与直线y＝﹣3x﹣3交于点H，
∴ 解得：∴点H（﹣3，6）
如图2，若点E是直角顶点时，
∵△DEF是以2为直角边长的等腰直角三角形，
∴DE＝2，DE⊥AB，
当点D在点B下方时，由①可知点D与点C重合时，△DEF是等腰直角三角形，
∴点D（﹣1，0）
当点D在点B上方时，
∵DE＝D'E'＝2，∠DHE＝∠D'HE'，且∠D'E'H＝∠DEH，
∴△DEH≌△D'E'H（AAS）
∴D'H＝DH，且点H（﹣3，6），点D（﹣1，0）
∴点D'（﹣5，12）
如图3，若点D是直角顶点，则DE＝2，DE∥AC，
设点D坐标（a，﹣3a﹣3）
∴点E（a﹣2，﹣3a﹣3）或（a+2，﹣3a﹣3），且点E在直线y＝﹣x+3上，
∴﹣3a﹣3＝﹣a+2+3，或﹣3a﹣3＝﹣a﹣2+3
∴a＝﹣﹣3，或a＝﹣3，
∴点D坐标（﹣﹣3，3+6）或（﹣3，﹣3+6）
综上所述：点D坐标为：（﹣﹣3，3+6）或（﹣3，﹣3+6）或（﹣1，0）或（﹣5，12）．
每日一题35 参考答案
35.解：（1）∵OA＝5，OB＝3，且四边形OACB为长方形，∴C（5，3），
∴当点P与点C重合时，P点坐标为（5，3），
∵D（0，1），∴可设直线DP解析式为y＝kx+1，
∴3＝5k+1，解得k＝，∴直线DP解析式为y＝x+1；
（2）当点P在线段BC上时，即0≤t≤5时，如图1，
则BP＝t，且OD＝1，
∴S＝ OD BP＝×1×t＝t，
当点P在线段AC上时，即5＜t≤8时，则S＝OD BC＝×1×5＝，
∴S＝；
（3）当点P在线段BC上时，如图2，
则可设P点坐标为（t，3）（0＜t≤5），
∵A（5，0），D（0，1），
∴DP＝＝，AP＝＝，AD＝＝，
当△APD为等腰三角形时，则有DP＝AP、DP＝AD和AP＝AD三种情况，
①当DP＝AP时，则有＝，解得t＝3，此时P点坐标为（3，3）；
②当DP＝AD时，则有＝，解得t＝﹣（舍去）或t＝，此时P点坐标为（，3）；
③当AP＝AD时，则有＝，解得t＝5+（舍去）或t＝5﹣，此时P点坐标为（5﹣，3）；
当点P在线段AC上时，则AP＜AD，只有AD＝DP，
∴D在线段AC的垂直平分线上，
∴线段AP的中点坐标为（5，1），
∴P点坐标为（5，2）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（3，3）或（，3）或（5﹣，3）或（5，2）．
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