浙教版八年级数学每日一题41-45（第5章 一次函数）培优练习（含答案）

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每日一题41
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41．如图，在△ABC中，点M为BC边上的中点，连接AM，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作DE∥AB，过点C作CE∥AM，连接AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：
①△ABD≌△EDC．
②四边形ABDE是平行四边形．
（2）如图2，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度数．
每日一题42
班级 姓名 小组
42．如图，一次函数的图象经过点A（4，0），B（0，3）．以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°．若第二象限内有一点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）求a的值．
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在．请说明理由．
每日一题43
班级 姓名 小组
43．如图1，D是等边三角形ABC内一点，DB＝DC，∠BDC＝90°，连接AD．
（1）求∠BAD的度数；
（2）如图2，以AB为斜边在△ABC外作等腰直角△ABE，连接DE．
①请判断△ADE的形状，并说明理由；
②若BC＝4，求点E到AD的距离．
每日一题44
班级 姓名 小组
44．如图，A（4，0），B（0，4），直线y＝x+1与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、E、D．
（1）求直线BC的解析式及D点的坐标；
（2）求四边形OADE的面积；
（3）F是OA的中点，过点F作直线l，若l恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，求直线l的解析式．
每日一题45
班级 姓名 小组
45．在等腰梯形OABC中，OA∥BC，AB＝OC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（8，0），B（6，6），直线AC与y轴交于点D．
（1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；
（2）点P的直线AC上，且△OCP的面积为12，请求出点P的坐标．
（3）在y轴右侧的直线AC上是否存在一点M点，使得△OCM为等腰三角形？若有，请求出M点的坐标，若没有，请说明理由．
每日一题41参考答案
41.（1）①如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD＝DC，
在△ABD与△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA）．
②由①得△ABD≌△EDC，
∴AB＝ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）如图2中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM＝MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，，
∵BH⊥AC，且．
∴，MI⊥AC，
∴∠CAM＝45°．
每日一题42参考答案
42.解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（4，0），B（0，3）代入解析式，
得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图，过点P作PD⊥x轴交于点D，∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，由勾股定理可得AB＝AC＝5，
∵P（a，），∴PD＝，OD＝﹣a，
S△ABP＝S梯形PDOB+S△ABO﹣S△APD＝（OB+PD）×OD+×OA×OB﹣×PD×AD＝（3+）×（﹣a）+×3×4﹣××（4﹣a）＝﹣a+，
S△ABC＝×AB×AC＝，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴﹣a+＝，∴a＝﹣5；
（3）①当AC＝CM时，过C点作CE⊥x轴交于点E，
∵∠BOA＝∠AEC＝90°，∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠ACE，
∵AB＝AC，∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴AE＝BO，∵BO＝3，∴AE＝3，
∵AE是等腰三角形ACM边AM的中点，∴AM＝6，∴M（10，0）；
②当AC＝AM时，∵AC＝5，∴AM＝5，∴M（9，0）或M（﹣1，0）；
③当CM＝AM时，作AC的垂线平分线HM，分别交AC、x轴于点H、M，∵AC＝5，∴AH＝，
∵∠BOA＝∠AHM＝90°，∴∠OBA＝∠HAM，
∴cos∠OBA＝cos∠HAM，即＝＝，∴AM＝，
∴MO＝4+＝，∴M（，0）；
综上所述：△MAC为等腰三角形时，M点的坐标为（10，0）或（9，0）或（，0）或（﹣1，0）．
每日一题43参考答案
43.解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，
在△ADB和△ADC中，，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°；
（2）①△ADE是等腰三角形，理由如下：
∵DB＝DC，∠BDC＝90°，
∴△CBD是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠DBC＝45°，
∵以AB为斜边在△ABC外作等腰直角△ABE，AB＝BC，
∴∠EBA＝45°，AE＝BE＝DB＝DC，
∴∠EBA+∠ABD＝∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝60°，即∠EBD＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形；
②延长AD交BC于点F，过点E作EN⊥AD于N，如图2所示：
∵∠BAD＝∠CAD，
∴AF是∠BAC的平分线，AF⊥BC，BF＝BC＝2，
∵∠DBC＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BF＝2，
AF＝＝＝2，
∴AD＝AF﹣DF＝2﹣2，
∵△ADE是等腰三角形，
∴DN＝AN＝AD＝﹣1，
∵DE＝BD＝BF＝2，
∴EN＝＝＝1+，
∴点E到AD的距离为1+．
每日一题44 参考答案
44.解：（1）∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点C、E，∴C（﹣2，0），E（0，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据题意得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x+4；∵A（4，0），B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝ax+4，∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∵直线y＝x+1与线AB交于点D．
联立得，解得，∴D（2，2）；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，
∵D（2，2），E（0，1），A（4，0），
∴DH＝2，OH＝2，OE＝1，OA＝4，AH＝4﹣2＝2，
∴S四边形OADE＝S梯形OHDE+S△ADH＝×2×（1+2）+×2×2＝5；
（3）∵F是OA的中点，A（4，0），∴F（2，0），∴AF＝OF＝2，
设直线l与四边形OADE的另一交点为M，M的纵坐标为y，直线l恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，即直线MF恰好将四边形OADE分成面积比为1：4的两部分，
分两种情况：
①当点M在点F右侧时，S△AMF：S五边形OFMDE＝1：4，如图：
∵S四边形OADE＝5，∴S△AMF＝1，∴AF y＝1，即×2y＝1，解得y＝1，
∵点M在直线AB：y＝﹣x+4上，
∴1＝﹣x+4，解得x＝3，∴点M（3，1），
由F，M两点坐标可求得直线FM的解析式为y＝x﹣2，即直线l的解析式为y＝x﹣2；
②当点M在点F右左侧时，S△OMF：S五边形MFADE＝1：4，如图：
∵S四边形OADE＝5，∴S△OMF＝1，
∴AF y＝1，即×2y＝1，解得y＝1，∴点M与点E重合，∴点M（0，1），
由F，M两点坐标可求得直线FM的解析式为y＝﹣x+1，即直线l的解析式为y＝﹣x+1；
综上可知，直线l的解析式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
每日一题45参考答案
45.解：（1）如图1，作CE⊥OA于点E，BF⊥OA于F，
∴∠CEO＝∠BFA＝90°，
∴CE∥BF，且OA∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形，
∴CE＝BF，
在Rt△OEC和Rt△AFB中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△AFB（HL），
∴OE＝AF，
∵A（8，0），B（6，6），
∴0A＝8，OF＝6，BF＝6，
∴OE＝2
∴C（2，6），
设直线AC解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵直线AC过点A（8，0），C（2，6），
∴，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+8；
（2）∵直线AC解析式为y＝﹣x+8，
∴D（0，8），
∵A（8，0），C（2，6），
∴OD＝OA＝8，
∴S△OAD＝×8×2＝8，S△OAC＝×8×6＝24，
设P点坐标（x，﹣x+8），分两种情况：
①点P在点C的左侧，
∵S△OCP＝S△OCD+S△ODP＝12，
∴S△ODP＝12﹣8＝4，
∴×8×（﹣x）＝4；解得：x＝﹣1，
∴P点坐标（﹣1，9）；
②点P在点C的右侧，
∴S△OCP＝12，S△OAC＝24，
∴点P是AC的中点，
∵A（8，0），C（2，6），
∴P点坐标（5，3）；
综上，P点坐标为（﹣1，9）或（5，3）；
（3）在y轴右侧的直线AC上存在一点M点，使得△OCM为等腰三角形，
设M（m，﹣m+8），
分三种情况：
①OC＝CM，如图，过点M作MN⊥OA于N，
∵A（8，0），C（2，6），
∴OC＝CM＝＝2，AC＝＝6，
∴AM＝6﹣2，
∵A（8，0），D（0，8），
∴OA＝OD＝8，
∴∠OAD＝45°，
∴MN＝NA＝＝6﹣2，
∴ON＝8﹣（6﹣2）＝2+2，
∴M（2+2，6﹣2）；
②OM＝CM；如图，过点M作MN⊥OA于N，
∴OM2＝ON2+MN2．
∴OM2＝m2+（﹣m+8）2＝2m2﹣16m+64，
∵∠OAD＝45°，
∴MN＝NA＝﹣m+8，AM＝（﹣m+8），
∴CM＝AC﹣AM＝6﹣（﹣m+8）＝m﹣8，
∴CM2＝（m﹣8）2＝2m2﹣8m+8，
∵OM＝CM，
∴2m2﹣16m+64＝2m2﹣8m+8，解得：m＝7，
∴M（7，1）；
③OC＝OM，如图，过点M作MN⊥OA于N，
∴OM＝OC＝＝2，
∴OM2＝m2+（﹣m+8）2＝2m2﹣16m+64＝40，
∴2m2﹣16m+64＝40，解得：m＝6或2，
∵m＝2时点M与点C重合，故舍去，
∴M（6，2）．
综上可知，在y轴右侧的直线AC上存在一点M点，使得△OCM为等腰三角形，M点的坐标为（2+2，6﹣2）或（7，1）或（6，2）．
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