浙教版八年级上册数学每日一题51-55（第5章 一次函数）培优练习（含答案）

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每日一题51
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51．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE．
（1）求点G的坐标，并求直线OG的解析式；
（2）若直线l：y＝mx+n平行于直线OG，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题52
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52．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
每日一题53
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53．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线，交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）试说明．
（3）若为直线上一点，当时，求点的坐标．
每日一题54
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54.（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，点、、的坐标分别为 　　　　、　　　　、　　　　．
（2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，过点作轴垂线，点是上一动点，点是在一次函数图象上一动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标．
②如图2，在（2）的条件中，若为轴上一动点，连接，把绕点逆时针旋转至线段，的最小值是 　　　　．
每日一题55
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55．请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
（1）①当时，；
②当时，　　；
③当时，　　；
显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
（2）在平面直角坐标系中，作出函数的图象．
（3）根据函数图象写出函数的一条性质：　　．
（4）一次函数为常数，的图象过点，若无解，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
每日一题51参考答案
51.解：（1）如图1，由题意得，C（0，5），N（3，0），∴ON＝3，
由折叠得，OG＝OC＝5，∵∠ONG＝90°，∴NG＝＝＝4，∴G（3，4），
设直线OG的解析式为y＝kx，则3k＝4，解得，k＝，∴直线OG的解析式为y＝x，
（2）∵直线l：y＝mx+n平行于直线OG，∴m＝，∴y＝x+n；
由题意得，A（5，0），M（3，5），
如图2，当直线l经过点A时，n的值最小，则×5+n＝0，解得，n＝；
如图3，当直线l经过点M时，n的值最大，则×3+n＝5，解得，n＝1，
∴n的取值范围是≤n≤1．
（3）存在，设P（x，0），当x＜0时，如图4，由OP＝OG＝5，得x＝﹣5，
∴P（﹣5，0）；当x＞0时，如图5，PO＝PG＝x，则PN＝x﹣3，
∵∠PNG＝90°，∴PG2＝PN2+GN2，∴x2＝（x﹣3）2+42，解得，x＝，∴P（，0）；
如图6，OP＝OG＝5，∴P（5，0）；如图7，PG＝OG，∵GN⊥PO，∴PN＝ON＝3，
∴OP＝6，∴P（6，0）．综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．
每日一题52参考答案
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，∴点C（2，4），
∵直线y＝﹣x+b过点C，4＝﹣+b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），y＝﹣x+5中，当y＝0时，﹣x+5＝0，
x＝10，∴D（10，0），∴AD＝10+2＝12，即0≤t≤12，
∵△ACP的面积为10，∴ 4＝10，t＝7，则t的值7秒；
②存在，分三种情况：
i）当AC＝CP时，如图1，过C作CE⊥AD于E，∴PE＝AE＝4，∴PD＝12﹣8＝4，即t＝4；
ii）当AC＝AP时，如图2，AC＝AP1＝AP2＝＝4，∴DP1＝t＝12﹣4，
DP2＝t＝12+4；
iii）当AP＝PC时，如图3，∵OA＝OB＝2∴∠BAO＝45°
∴∠CAP＝∠ACP＝45°∴∠APC＝90°∴AP＝PC＝4∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8；
综上，当t＝4秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形．
每日一题53参考答案
53.解：（1）将．代入得，，解得，
直线的函数解析式为；
（2）当时，，，
过点作轴于，
，
，，，；
（3），点在上有两个位置，
当点在点上方时，如图，
，
直线的函数解析式为，，，
当时，，，，
当点在点的下方时，设点关于轴的对称点为，连接交为点，
，，
则直线的函数解析式为，直线与的交点为，
综上所述：，或．
每日一题54 参考答案
54.解：（1）对于一次函数，令，，，
令，则，，，，，
，，过点作轴于，
，，
，，，
是等腰直角三角形，，
在和中，
，，，，
，；
故答案为：，，；
（2）①如图，过点作轴于，延长交于，
点坐标，点坐标，，
点在直线上，设点，
，，，
轴，，，
同（1）的方法得，，，，
，，或，或，，
（3）设，过点作轴交轴于，
根据旋转的性质可得，
，，，，
故可以看作点到和两点距离之和，在上，如图，
是上的动点，，，
，关于的对称点为，，
当、、三点共线时，取得最小值为，
即的最小值是．故答案为：．
每日一题55参考答案
【解答】解：（1）②时，，
时，，
③时，，
时，，
故答案为：，．
（2）如图，
（3）由图象可得，函数图象关于轴对称，
故答案为：函数图象关于轴对称．
（4）当时，如图，当直线与时，方程无解，此时，
当时，满足题意．
如图，当直线经过，时，
将，代入得，解得，
时满足题意，综上所述，若无解，且．
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