浙教版八年级下册数学每日一题61-65（第四章 平行四边形）培优练习（含解析）

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每日一题61
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61．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求 ABCD的面积．
每日一题62
班级 姓名 小组
62．已知，平行四边形ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图①，运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠ABC的度数．
（2）如图②，在（1）问的条件下，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8cm，求△APF的面积．
（3）如图③，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝12cm，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
每日一题63
班级 姓名 小组
63.如图，在 ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
每日一题64
班级 姓名 小组
64．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：
（1）EF＝CF；
（2）∠DFE＝3∠AEF．
每日一题65
班级 姓名 小组
65．如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝4，CD＝10，求△BCF的面积和周长；
（2）求证：BC﹣EG＝AG．
每日一题61参考答案
61.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD＝2AD，∴AD＝DO，∴BC＝BO，
∵E是CO中点，∴∠OBE＝∠OBC，∴∠OBE＝∠ADO；
（2）①证明：∵BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，∴EG＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝CD ∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②解：由①得EF∥AB，∵EF⊥EG，∴EG⊥AB，
∵G是AB的中点，∴AE＝BE，
设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，∴BE＝AE＝3x，
在Rt△BEC中，BC＝10，∴EC2+BE2＝BC2，
即x2+（3x）2＝102，解得x＝，
∴AC＝，BE＝，∴S ABCD＝2S△ABC＝．
每日一题62 参考答案
62.解：（1）如图①中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵PC平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC，
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D＝∠B＝60°．
（2）如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴S△PBC＝S△FAB＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABP+S△PCD＝S平行四边形ABCD，
∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD，
∴S△APF＝S△PCD＝ 82＝16．
（3）如图③中，
∵PD∥BC，
∴当PD＝BQ时，四边形PDQB是平行四边形，
∴12﹣t＝12﹣4t或12﹣t＝4t﹣12或12﹣t＝36﹣4t或12﹣t＝4t﹣36，
解得t＝4.8或8或9.6，
∴t为4.8s或8s或9.6 s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
每日一题63 参考答案
63.（1）解：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠BFC，
∵FB平分∠EFC，
∴∠EFB＝∠BFC，
∴∠ABF＝∠EFB，
∵AE＝2，EF＝5，
∴BE＝EF＝5，
∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；
（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，
在△BGF和△BHF中，
，
∴△BGF≌△BHF（SAS），
∴∠BGF＝∠BHF，
∵∠GBF＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，
∴∠BFH＝∠BGF，
∴∠BFH＝∠BHF，
∴∠BFD＝∠BHC，
∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，
∴∠BDF＝45°＝∠BCH，
∴BD＝BC，
在△BDF和△BCH中，
，
∴△BDF≌△BCH（AAS）
∴DF＝CH，
∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，
即FG+2FD＝AB．
每日一题64 参考答案
64.解：（1）证明：延长CF交BA的延长线于G，延长EF交CD的延长线于R．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵F是AD的中点，
∴CF＝GF，EF＝ER，
∴四边形EGRC是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG＝90°，
∴四边形EGRC是矩形，
∴CG＝ER，
∴EF＝CG＝CF＝GF，
即EF＝CF；
（2）∵EF＝GF，
∴∠G＝∠FEG，
∵AD∥BC，CF＝GF，
∴AG＝AB，
∴AF＝AG，
∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，
∵∠CFE＝∠G+∠AEF，
∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF．
每日一题65 参考答案
65.（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，CD＝EF，AB∥CD，
∴AB＝EF＝10，
∴AE＝BF＝4，
∴AF＝AC＝6，
∵AB∥CD，AC⊥CD
∴AB⊥AC，
∴CF＝＝＝6，
BC＝＝＝2，
∴△BCF的面积＝BF AC＝×4×6＝12，
△BCF的周长＝BF+BC+CF＝4+6+2；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．
∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB＝CD＝EF，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠GAM＝90°，
∴∠FAG＝∠CAM，
∵AF＝AC，AG＝AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），
∴∠ACM＝∠AFG＝45°，FG＝CM．
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠EFG，
∵EF＝CD，FG＝CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG＝DM，
∴AG+EG＝AM+DM＝AD＝BC．
即BC﹣EG＝AG．
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