浙教版八年级下册数学每日一题66-70（第四章 平行四边形）培优练习（含解析）

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每日一题66
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66．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　　　　；
（2）当t＝　　　　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
每日一题67
班级 姓名 小组
67．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
每日一题68
班级 姓名 小组
68．如图所示， ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，已知OA＝3，AD＝6，BD⊥AD，从C点出发的点E，以每秒1个单位的速度向点D移动．M是BD的中点，EM的延长线交AB于点F．
（1）求点B，C的坐标；
（2）当四边形EFBC是平行四边形时，求点E的移动时间t（秒）．
（3）当△DEM为等腰三角形时，求CE的长．
每日一题69
班级 姓名 小组
69．如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连结BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连结EH，GF．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；
①当BG＝GF时，求四边形EGFH的面积；
②如图2，延长FG交AB于点P，连结AG，记△APG的面积为S1，△BPG的面积为S2，若FP⊥AB，求的值．
每日一题70
班级 姓名 小组
70．定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
（1）尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；
（2）推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；
（3）拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝，BC＝，AD＝2．求CD的长．
每日一题66参考答案
66.解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，∴点P到AB边的距离也为4，即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，∴PC＝PE﹣CE＝2，∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴3×4＝5×PH+3×PC，
∴12＝8PH，∴12＝8（2t﹣8），解得t＝．
综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
每日一题67 参考答案
67.解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
每日一题68 参考答案
68.解：（1）∵OA＝3，AD＝6，
∴OD＝3，
∴∠DAB＝60°，
∵BD⊥AD，
∴△ADB是含30°角的直角三角形，
∴AB＝2AD＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝12，
∴B坐标为（9，0），C坐标为（12，3）；
（2）∵M是BD的中点，四边形EFBC是平行四边形，
∴EF∥BC时，点E是CD的中点，
∴CE＝6，
∴t＝6；
（3）当△DEM为等腰三角形时，①当MD＝ME＝BD＝3时，∠BDC＝30°，
∴DE＝9，
∴CE＝CD﹣DE＝12﹣9＝3，
②当DM＝DE＝BD＝3时，
∴DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝12﹣3，
③当ED＝EM时，DM＝BD＝3，
∵∠BDC＝30°，
∴DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝12﹣3＝9，
综上所述，当△DEM为等腰三角形时，CE的长为3或9或12﹣3．
每日一题69 参考答案
69.解：（1）如图1，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF，
∵G、H分别是BE、DF的中点，∴EG＝FH，
∵EG∥FH，∴四边形EGFH为平行四边形；
（2）①连接EF，
∵BG＝GF、BG＝EG，∴EG＝FG＝BG，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，即∠BFE＝90°，
由（1）知，四边形EGFH为平行四边形，
∴S四边形EGFH＝2S△EGF＝S△BEF，
过点A作AM⊥BC，则EF∥AM，
∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AM＝3，BM＝3，
∵AM∥EF，AE∥MF，∠AMF＝90°，
∴四边形AMFE为矩形，
设DE＝a，则BF＝a，MF＝BF﹣BM＝a﹣3，AE＝AD﹣AE＝10﹣a，
∵a﹣3＝10﹣a，
∴a＝，
∴S四边形EGFH＝S△BEF＝＝＝；
②延长FG交DA的延长线于点N，
∵GE＝GB，∠NEG＝∠FBG，∠NGE＝∠FGB，
∴△EGN≌△BGF（SAS），
∴NE＝BF，
假设BP＝a，则BF＝DE＝2a，AE＝10﹣2a，AN＝4a﹣10，AP＝2a﹣5，
由AP+BP＝6得a＝，
∵△APG与△BPG同高，∴＝＝＝．
每日一题70 参考答案
【70解：（1）如图1所示，矩形APBQ即为所求．
（2）证明：
如图2，连结AC，BD．
∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，
∴OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD是等线四边形．
（3）解：如图3，分别以AD、BC为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点E．
于是有，EA＝ED，EC＝EB，
∵AC＝BD，
∴△AEC≌△DEB（SSS），
∴∠BDE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠AOD＝60°，
∴△AED是等边三角形．
同理，△BCE也是等边三角形．
∴EA＝ED＝AD＝2，．
∵，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEC＝150°．
过点C作CF⊥DE于交DE延长线于点F，则∠CEF＝30°．
∴，EF＝CE＝，
则，
由勾股定理得，．
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