浙教版八年级下册数学每日一题71-75（第五章 特殊平行四边形）培优练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
每日一题71
班级 姓名 小组
71．如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2，AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请求出t的值．
每日一题72
班级 姓名 小组
72．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为边CD上一动点，连结AE，作点D关于直线AE的对称点F，连结EF，DF，CF，AF，DF与AE交于点G．
（1）若DE＝2，求证：AE∥CF；
（2）如图2，连结AC，BD，若点F在矩形ABCD的对角线上，求所有满足条件的DE的长；
（3）如图3，连结BF，当点F到矩形ABCD一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF的面积．
每日一题73
班级 姓名 小组
73．在矩形ABCD中，点P是射线BC上一动点，点B关于直线AP的对称点为E，直线PE与直线CD交于点F．
（1）如图，当A，C、E共线时，若∠ACB＝30°，判断△ACF的形状，并证明；
（2）若当点P在线段BC上的某个位置时（不与B，C重合），有∠PAF＝45°，求证：当点P在BC延长线上任意位置时，都有∠PAF＝45°．
每日一题74
班级 姓名 小组
74.问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
每日一题75
班级 姓名 小组
75.如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．
（1）若EF⊥BD，求DF的长；
（2）若PE⊥BD，求DF的长；
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．
每日一题71参考答案
【解答】（1）证明：如图1，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，
∵CF平分∠ACH，∴∠ACF＝∠FCH，
∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，∴∠FCH＝∠B，∴BE∥CF，
∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，∴CF＝BE＝AE，
∵AE∥CF，∴四边形AECF是矩形；
（3）解：分三种情况：
①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，
∴BE＝BC，即2t＝2，t＝；
②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，
∵AC＝BC，AB＝4，∴BD＝2，
由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∵EG2＝EC2，即（2t）2＝62+（2t﹣2）2，t＝5；
③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，∴t＝2，
综上，t的值为秒或5秒或2秒；
故答案为：秒或5秒或2秒．
每日一题72 参考答案
【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，
∵DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝2，∴CE＝DE＝2，
∵D和F关于AE对称，∴DG＝FG，∴EG是△DFC的中位线，∴AE∥CF；
解：（2）①如图2，当点F在对角线AC上时，
∵D和F关于AE对称，∴AE垂直平分DF，∴DE＝EF，AD＝AF＝3，
设DE＝EF＝x，则CE＝4﹣x，∵AC＝＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在Rt△EFC中，EF2+CF2＝CE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，∴，∴，
②如图3，当点F在对角线BD上时，
∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝5，
∵，∴AG＝，∴＝，
设DE＝x，GE＝y，∵DG2+GE2＝DE2，∴①，
∵，∴②，
联立①②得，
，解得x＝，∴，∴或；
（3）①当F点到A点距离为2时，∵AF＝AD＝3＞2，∴此种情况不存在，
②当F点到B点距离为2时，连接FB，则FB＝2，AF＝AD＝3，
过F作FH⊥AB于H，FQ⊥BC于Q，如图4，∴∠FHB＝∠ABC＝∠BQF＝90°，
∴四边形FHBQ为矩形，∴FQ＝BH，设BH＝x，则AH＝4﹣x，
∵FH2＝AF2﹣FH2＝FB2﹣BH2，∴4﹣x2＝9﹣（4﹣x）2，∴，∴，
∴S△BCF＝＝，
③当点F到C点距离为2时，如图5，连接BF，则FC＝2，
∵AF+FC≥AC，又AF+FC＝5，AC＝5，∴AF+FC＝AC，∴A，C，F三点共线，
即F在线段AC上，∵＝＝，∴S△BCF＝＝＝；
④当点F到D点距离为2时，如图6，连接BF，
则DF＝2，∴DG＝GF＝1，∴AG＝＝，
∵S△ADF＝，∴MF＝，∴NF＝MN﹣MF＝4，
∴S△BCF＝＝，
即当点F到矩形ABC顶点B的距离等于2时，△BCF的面积为，
当点F到矩形ABC顶点C的距离等于2时，△BCF的面积为，
当点F到矩形ABC顶点D的距离等于2时，△BCF的面积为．
每日一题73参考答案
【解答】（1）解：△ACF为等边三角形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，∠ACB＝30°，∴∠ACD＝60°，
即∠ACF＝60°，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴AB＝AC，
∵点B关于直线AP的对称点为E，∴AB＝AE，∠AEP＝90°，∴AE＝AC，
即点E为AC中点，∴FP为线段AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴△ACF为等边三角形；
（2）解：当点P在线段BC上时，如图，
∵∠PAF＝45°，∴∠EAF＝45°﹣∠PAE，
∵∠BAD＝90°，∴∠FAD＝45°﹣∠PAB，∴∠EAF＝∠FAD，
∵点B关于直线AP的对称点为E，∴∠ABP＝∠AEP＝90°，AB＝AE，
在△EAF和△DAF中，
，∴△EAF≌△DAF（AAS），∴AD＝AE，∴AB＝AD，
即矩形ABCD为正方形，
当点P在线段BC延长线上时，如图，
∵矩形ABCD为正方形，∴AD＝AE，∠ADF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），∴∠DAF＝∠EAF，
设∠DAF＝α，∠PAD＝β，则∠EAF＝α，∴∠PAE＝2α+β，
∵∠PAE＝∠PAB，∴∠PAB＝2α+β，
∵∠PAB+∠PAD＝90°，∴2α+β+β＝90°，∴α+β＝45°，
∴∠PAF＝α+β＝45°．
每日一题74 参考答案
解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5．
（2）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴2；
综上所述，的值为或或2．
每日一题75 参考答案
解：（1）∵点D、点P关于直线EF的对称，EF⊥BD，∴点P在BD上，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∠ADB＝30°．∴AD＝4，
∵点E是边AD的中点，∴DE＝2，∵EF⊥BD，∴DF＝3．
（2）①如图2，
∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝60°,
由对称可得，EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝30°，
∴△DEF是等腰三角形，∴DF＝EF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°．DE＝2，∴QE,
∵∠PEF＝30°，∴EF＝2,∴DF＝EF＝2；
②如图3，
∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝120°,
由对称可得，PF＝DF,EP＝ED,EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝120°，∴∠EFD＝30°,
∴△DEF是等腰三角形，
∵PE⊥BD,∴QD＝QFDF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°．DE＝2，
∴QE,QD＝3∴DF＝2QD＝6；∴DF的长为2或6．
（3）由（2）得，当∠DQE＝90°时，DF＝2(如图2)或6(如图3),
当∠DEQ＝90°时，
第一种情况，如图4，
∵EF平分∠PED,∴∠DEF＝45°,
过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a,则FM＝a,DMa，
∴a+a＝2，∴a＝3,DF＝6﹣2,∴2＜DF＜6﹣2；
第二种情况,如图5,
∵EF平分∠AEQ,∴∠MEF＝45°,
过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a,则FM＝a,DMa，∴a﹣a＝2，∴a＝3,DF＝6+2,
∵6+28,∴DF最大值为8，∴6＜DF≤8.
综上，DF长的取值范围为2＜DF＜6﹣2或6＜DF≤8．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)