浙教版八年级下册数学每日一题76-80（第五章 特殊平行四边形）培优练习（含解析）

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每日一题76
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76．[操作发现]如图1，两张正方形纸片ABCD和CEFG拼在一起，B，C，E三点共线，且EF＝AB＝1．在BC上截取BH＝CE，沿AH，FH分别剪一刀，△ABH平移至△IGF，△HEF平移至△ADI，则可以割补成大正方形AHFI．试求大正方形AHFI的边长．
[类比探究]如图2，两张矩形纸片ABCD和CEFG拼在一起，B，C，E三点共线，且EF＝AB＝a，CE＝BC＝b，仿照[操作发现]的方法，把它割补成一个 AHFI，在图2中画出 AHFI，并求出当 AHFI为菱形时a，b应满足的关系式．
[拓展应用]如图3，两张平行四边形纸片ABCD和CEFG拼在一起，B，C，E三点共线，且∠B＝60°，其他条件与[类比探究]相同，若割补得到的 AHFI面积是10，求b关于a的函数表达式．
每日一题77
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77．在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E．交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF；
②请判断△AGC的形状，并说明理由．
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG，请判断△AGC的形状，并说明理由．
（3）如图3，∠ADC＝90°，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知AB＝9，BH＝2AH，求BC的长．
每日一题78
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78．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD＝PE．
（2）连接PC，求PC的最小值．
（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．
每日一题79
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79．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：AG＝FG．
（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．
（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
每日一题80
班级 姓名 小组
80．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”．
（1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”．求证：AB2+CD2＝BC2+AD2．
（2）如图2，E是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点O．若∠BEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠1+∠2＝∠3．求证：四边形ABCD为“对垂四边形”．
（3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB＝AC，∠ADC＝120°，AD＝3，BC＝DC，求CD的长．
每日一题76 参考答案
【解答】[操作发现]解：∵EF＝AB＝1，∴AB＝3，
∴S正方形ABCD＝AB2＝9，S正方形CEFG＝EF2＝1，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AH2＝AB2+BH2，
∵BH＝CE，∴AH2＝AB2+CE2，
∴S正方形AHFI＝AH2＝S正方形ABCD+S正方形CEFG＝9+1＝10，∴AH＝，
即大正方形AHFI的边长为；
[类比探究]解：如图2所示：由剪切与拼接可知，AI∥FH，AI＝FH，
∴四边形AHFI是平行四边形，
当 AHFI为菱形时，AH＝FH，由题意可知，EF＝AB＝a，CE＝BC＝b，
∴AB＝3a，BC＝3b，
∵BH＝CE＝b，∴EH＝3b，
在Rt△EHF中，FH2＝EH2+EF2＝9b2+a2，
同理，在Rt△ABH中，AH2＝9a2+b2，∴9b2+a2＝9a2+b2，∴a＝b；
[拓展应用]解：由[操作发现]可知，S平行四边形AHFI＝S平行四边形ABCD+S平行四边形CEFG＝10，
过A作AM⊥BC于M，如图3所示：则∠AMB＝90°，
∵∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，
由题意可知，EF＝AB＝a，CE＝BC＝b，∴AB＝3a，BC＝3b，
∴BM＝AB＝a，AM＝BM＝a，
∴S平行四边形ABCD＝BC AM＝3b×a＝ab，
同理：S平行四边形CEFG＝ab，∴ab+ab＝10，∴ab＝2，
∴b关于a的函数表达式为b＝．
每日一题77 参考答案
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：如图1，连接BG，
由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，即∠GAC+∠ACG＝90°，∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接BG，
∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，∴FB＝FG，∠BFG＝60°，∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，∴△AGC是等边三角形；
（3）如图3，在BH上截取BN＝BE，连接NE，∵AB＝9，BH＝2AH，∴AH＝3，BH＝6，
∵∠BEF＝45°，∴∠BED＝135°，∵EH平分∠BED，∴∠BEH＝67.5°，∴∠BHE＝22.5°，
∵BE＝BN，∠ABC＝90°，∴∠BEN＝∠BNE＝45°，NE＝BN，
∵∠BNE＝∠BHE+∠HNE＝45°，∴∠BHE＝∠NEH＝22.5°，∴HN＝NE＝BN，
∵BH＝BN+NH＝（+1）BN＝6，∴BN＝6﹣6＝BE，∴BF＝6﹣6，
∴BC＝AD＝AF＝AB+BF＝9+6﹣6＝6+3
每日一题78 参考答案
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠EAP＝45°，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE；
（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠EAP，
∵∠DAP＝∠EAP，∴∠DAP＝∠DFA＝45°，
∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，
∴P′C＝FC×＝，∴PC的最小值为；
（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC，∴OF∥AD，
∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，
∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝＝2，
当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，
∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，
∴PG＝PH，
设PG＝PH＝a，
由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，
当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，
解得，a1＝2（舍去），a2＝，当a＝时，AP＝，
综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．
每日一题79 参考答案
【解答】证明：（1）连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，
∴∠BAG+∠BFG＝180°，
∴∠BCG+∠BFG＝180°，
∵∠BFG+∠GFC＝180°，
∴∠BCG＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∴AG＝FG；
（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵AB＝10，BF＝4，
∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，
∴GF2＝58，
∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，
∴BH＝GH，BG＝GH，
∵GF2＝GH2+FH2，
∴58＝GH2+（GH﹣4）2，
∴GH＝7，（负值舍去），
∴BG＝7；
（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，
∵AG＝GF，AG⊥GF，∴∠EAF＝45°，
∵AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，∴CF＝CE，
∵BF＝BN，∠ABC＝90°，∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，
∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，∴AN＝NF＝BF，
∵AB＝BC，∴BN+AN＝BF+FC，∴FC＝BF，∴BC＝（+1）BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．
每日一题80 参考答案
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，
∴∠3＝∠ACD，
∵∠3＝∠1+∠2，∠ACD＝∠ACE+∠2，
∴∠1＝∠ACE，
∴∠BOC＝∠BEC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）过点A作AH⊥DC，交CD延长线于点H，
设CD＝x，则BC＝DC＝x，
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，AD＝3，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∴AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2，
∵AB＝AC，
∴AC2＝9+4x2，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADH＝60°，∠DAH＝30°，
∴DH＝AD＝，AH＝DH＝，
∵AC2＝AH2+CH2，
∴9+4x2＝+（x+）2，
∴x1＝0（舍去），x2＝1，
∴CD的长度1．
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