浙教版八年级下册数学每日一题81-85（第五章 特殊平行四边形）培优练习（含解析）

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每日一题81
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81．如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，AB⊥AC，BC＝4cm，∠B＝60°，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，连接PO并延长交折线DA﹣AB于点Q，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当PQ与 ABCD的边垂直时，求PQ的长；
（2）当t取何值时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是矩形，并说明理由；
（3）当t取何值时，CQ所在直线恰好将 ABCD的面积分成1：3的两部分．
每日一题82
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82．定义：正方形ABCD内部一点P，若∠APB是直角，则称△APB为AB边上的弦图三角形（如图1）．
（1）如图2，在正方形ABCD中，点EF分别是AD，CD上两点，AFBE交于点G，若AE＝DF，求证：△AGB是AB边上的弦图三角形．
（2）如图3，正方形ABCD中，△AGB是AB边上的弦图三角形，点O为AB中点，若正方形边长为2，
①直接写出OG的长为 　　　　；DG的最小值为 　　　　．
②若CG＝BC（如图4）求DG的长．
每日一题83
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83．小明在数学活动课中探究一张矩形纸片的折叠，请你一起思考．
活动一：如图1，小明将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A，C重合，摊开铺平后连结AF，CE，得到四边形AECF．请你判断四边形AECF形状，并说明理由．
活动二：小明测量得到AB＝10，BC＝6，图2，他先依次沿对角线AC，BD折叠，摊开、铺平后得到矩形的对称中心O；如图3，他再依次沿过点O的线段GH，E1F1折叠，摊开、铺平后，连结E1G，GF1，F1H，HE1，恰好得到菱形E1GF1H．
①AG＝x，BE1＝y，请求出y关于x的函数表达式及y的取值范围；
②猜想四边形E1GF1H面积的最大值和最小值，直接写出结论．
每日一题84
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84．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA比OC大2，比AC小2．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线AC，BO的交点D．
（1）求OA的长和此反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点；
①求m的值．
②在双曲线y＝（m＞0，x＞0）上任取一点G，过点G作GE⊥x轴于点E，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于F点，过点G作GK⊥y轴于点K，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于H点．求△GHF的面积．
每日一题85
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85．（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45°，求证：△ABC≌△BED．
（2）如图2，点A（1，2），连接OA，将射线OA绕点O按逆时针方向旋转45°．得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得　 　 （填写两个三角形全等），所以CE＝　 　，AE＝　 　，C的坐标为　 　 ，则直线OB的解析式为　 ．
（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标．
每日一题81 参考答案
81.解：（1）当PQ⊥BC时，如图1，
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝4cm，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，AB＝2，AC＝2，
∵点O是AC的中点，∴OC＝AC＝，
在Rt△OPC中，OP＝OC＝，易知，△AOQ≌△COP，
∴OQ＝OP，∴PQ＝2OP＝cm，
当PQ⊥CD时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴点P与点C重合，点Q和点A重合，∴PQ＝AC＝2cm，
综上所述，当PQ与 ABCD的边垂直时，PQ＝cm或2cm．
（2）当点P在BC边时，如图2，
∵四边形APCQ是矩形，∴∠APC＝90°，
在Rt△ABP中，∠B＝60°，AB＝2cm，∴BP＝1cm，
∵动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，∴t＝1÷2＝秒，
当点P在CD上时，∵四边形AQCP是矩形，∴∠AQC＝90°，
∵∠BAC＝90°，由过点C垂直于AB的直线有且只有一条，得出此种情况不存在，
即：当t＝秒时，以点A，P，C，Q为顶点的四边形知矩形；
（3）∵AC是平行四边形ABCD的对角线，
∴S△ABC＝S△ACD＝S ABCD，
∵CQ所在直线恰好将 ABCD的面积分成1：3的两部分，
∴当点Q在边AD上时，∴点Q是AD的中点，∴AQ＝AD，
易知，△AOQ≌△COP，∴CP＝AQ＝AD＝BC＝2，
∴BP＝2，∴t＝2÷2＝1秒，
当点Q在边AB上时，同理：点P是CD的中点，∴t＝（4+1）÷2＝秒，
即：t为1秒或秒时，CQ将平行四边形ABCD的面积分成1：3两部分．
每日一题82 参考答案
82.（1）证明：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BAG＝∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，∴△AGB是AB边上的弦图三角形．
（2）①如图3，连接OD，
∵△AGB是AB边上的弦图三角形，∴∠AGB＝90°，
∵O为AB的中点，且AB＝2，∴OG＝AB＝1；
∵∠OAD＝90°，OA＝AB＝1，AD＝2，
∴OD2＝12+22＝5，∴OD＝，
∵DG+OG≤OD，∴DG+1≤，
∴当点G在线段OD上时，DG+1的值最小，此时DG的值最小，
由DG+1＝得，DG＝，故答案为：1；．
②如图4，延长OG交AD于点Q，连接OC、CQ，CQ交DG于点R，
∵OG＝AB＝OB，CG＝BC，OC＝OC，
∴△OBC≌△OGC（SSS），∴∠OGC＝∠OBC＝90°，
∴∠QGC＝180°﹣90°＝90°，∴∠QGC＝∠QDC＝90°，
∵CQ＝CQ，CG＝BC＝CD，∴Rt△GCQ≌Rt△DCQ（HL），
∴GQ＝DQ，∴CQ垂直平分DG，
∴DR＝GR，DR⊥CQ，
设GQ＝DQ＝m，则AQ＝2﹣m，OQ＝1+m，
由OA2+AQ2＝OQ2，得12+（2﹣m）2＝（1+m）2，
解得m＝，∴DQ＝，
∴CQ2＝DQ2+CD2＝（）2+22＝，
∴CQ＝＝，
由CQ DR＝CD DQ，得×DR＝×2×，解得DR＝，
∴DG＝2DR＝2×＝．
每日一题83 参考答案
83.解：活动一：结论：四边形AECF是菱形．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CFE＝∠AEF，
由翻折的性质可知，∠CFE＝∠AFE，FC＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AE＝CF，
∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵FC＝FA，∴四边形AECF是菱形．
活动二：①如图3中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10，
根据对称性可知，DF1＝BE1＝y，AE1＝10﹣y，AG＝x，DG＝6﹣x，
∵GF1＝GE1，
∴y2+（6﹣x）2＝x2+（10﹣y）2，
整理得，y＝x+（0≤x≤6）．
当x＝0时，y＝，
当x＝6时，y＝，
∴≤y≤．
②当GH⊥AD时，菱形GE1HF1的面积最小，最小值＝×10×6＝30．
当GH是矩形ABCD的对角线时，菱形GE1HF1的面积最大，最大值＝×6＝．
每日一题84 参考答案
84.解：（1）设OA＝m，则OC＝m﹣2，AC＝m+2，
∵AC2＝OA2+OC2，∴（m+2）2＝m2+（m﹣2）2，
解得m1＝8，m2＝0（舍去），∴OA＝8，OC＝6，∴A（8，0），C（0，6），
∵矩形对角线AC，BO的交点D，∴D（4，3），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝4×3＝12，
∴此反比例函数的表达式为y＝；
（2）①∵OA＝8，OC＝6，∴B（8，6），
∴BC的中点为（4，6），AB的中点为（8，3），
∵反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象经过矩形ABCO边BC的中点，
∴m＝4×6＝24；
②如图，设G（a，），则F（a，），H（，），
∴S△GFH＝GH GF＝×（﹣）＝3．
每日一题85 参考答案
85.解：（1）∵AB⊥BE，∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BED＝∠ABC，
在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，
∴△ABC≌△BDE（AAS）；
（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），
∴CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），
设直线OB的解析式为y＝kx．
∴﹣k＝3，∴k＝﹣3，∴直线OB的解析式为y＝﹣3x；
故答案为：△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x；
（3）如图，过B作BF⊥AC于点F，过F作FD⊥y轴于点D，过A作AE⊥DF于点E，
则△ABF为等腰直角三角形，
根据（1）同理可得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（3，3）和点B（0，2），∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝3，∴3﹣a+2﹣a＝3，解得a＝1，
则OD＝2﹣1＝1，DF＝3﹣a＝3﹣1＝2，∴F（2，1），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝2x﹣3①，
把点A点坐标代入y＝中，，解得：k＝9，故反比例函数的表达式为：y＝②，
联立①②并解得：（不符合题意，舍去）或，
∴C（﹣，﹣6），
故点C的坐标为：（﹣，﹣6）．
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