浙教版八年级下册数学每日一题96-100（第六章 反比例函数）培优练习（含解析）

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每日一题96
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96．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（3）若点M是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
每日一题97
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97．如图，边长为2的正方形纸片ABCD中，点M为边CD上一点（不与C，D重合），将△ADM沿AM折叠得到△AME，延长ME交边BC于点N，连接AN．
（1）猜想∠MAN的大小是否变化，并说明理由；
（2）如图1，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；
（3）如图2，连接BD，分别交AN，AM于点Q，H．若BQ＝，求线段QH的长度．
每日一题98
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98．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并证明你的判断；
（2）如图②，若DA＝DE，证明：CF＝FE'；
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
每日一题99
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99．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，点B的坐标为（8，8），点D在线段BC上（不与B，C重合），将△OCD沿OD翻折，使得点C落在同一平面内的点E处．
（1）如图1，当OD＝10时．
①求点D的坐标．
②延长DE交AB于点F，求点F的坐标．
（2）连结BE并延长，交正方形OABC的边于点G，若BD＝OG，求点D的坐标．
每日一题100
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100．定义：只有三边相等的四边形称为准菱形．
（1）如图1，图形　　　　　　（填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标．
每日一题96 参考答案
96.解：（1）把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，
把A（3，2）代入，得：k＝6，∴反比例函数解析式为；
（2）∵CD∥AB，∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，
∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，∴D的坐标为（1，0），
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，∴C的坐标为（0，1），
∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），∴，
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），
∴BE＝CE＝2，
∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（3）①当∠MAD＝90°时，
过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，
∵∠MAD＝90°，∴∠MAQ+∠PAD＝90°，
∵DP⊥直线l于点P，∴∠PAD+∠PDA＝90°，∴∠AQM＝∠PDA，
在△MAQ与△ADP中，
，∴△MAQ≌△ADP（AAS），∴PD＝AQ＝2，QM＝AP，
设M的坐标为（5，n），∴5n＝6，则n＝1.2，∴M（5，1.2）；
②当∠AMD＝90°时，同理，过点M作直线l∥y轴，过点A作AP⊥直线l于点P，过点D作DQ⊥直线l于点Q，可得：△MAP≌△DMQ，∴PM＝DQ，QM＝AP，
设M的坐标为（3+n，n），∴n（3+n）＝6，
解得：，（舍去），∴，
综上所述：M的坐标为（5，1.2），．
每日一题97 参考答案
97.解：（1）∠MAN的大小没有变化，∵将△ADM沿AM折叠得到△AME，
∴△ADM≌△AEM，
∴AD＝AE＝2、DM＝EM、∠D＝∠AEM＝90°、∠DAM＝∠EAM＝∠DAE，
又∵AD＝AB＝2、∠D＝∠B＝90°，
∴AE＝AB、∠B＝∠AEM＝∠AEN＝90°，
在Rt△BAN和Rt△EAN中，
∵，∴Rt△BAN≌Rt△EAN（HL），∴∠BAN＝∠EAN＝∠BAE，
则∠MAN＝∠EAM+∠EAN＝∠DAE+∠BAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，
∴∠MAN的大小没有变化；
（2）∵N点恰为BC中点，∴EN＝BN＝CN＝1，
设DM＝EM＝x，则MC＝2﹣x，∴MN＝ME+EN＝1+x，
在Rt△MNC中，由MC2+CN2＝MN2可得（2﹣x）2+12＝（1+x）2，解得：x＝，即DM＝；
（3）如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG，连接GH，
则△ABQ≌△ADG，
∴DG＝BQ＝、AG＝AQ、∠ADG＝∠ABQ＝∠ADB＝45°、∠BAQ＝∠DAG，
∵∠MAN＝∠BAD＝45°，
∴∠BAQ+∠DAM＝∠DAG+∠DAM＝∠GAH＝45°，
则∠GAH＝∠QAH，
在△GAH和△QAH中，
∵，∴△GAH≌△QAH（SAS），∴GH＝QH，
设GH＝QH＝a，
∵BD＝AB＝2，BQ＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝，∴DH＝﹣a，
∵∠ADG＝∠ADH＝45°，∴∠GDH＝90°，
在Rt△DGH中，由DG2+DH2＝GH2可得（）2+（﹣a）2＝a2，
解得：a＝，即QH＝．
每日一题98 参考答案
98.解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形．
理由：如图①中，∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，
由旋转可知 BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形．
（2）如图②中，过点D作DH⊥AE于点H则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∵DA＝DE，∴AH＝EH＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
在△ADH和△BAE中，
，
∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE，
由旋转可知 AE＝CE'，
由（1）可知四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝AH＝AE＝CE'，
∴CF＝E'F．
（3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H．
∵△ADH≌△BAE，∴AH＝BE＝E'F，
∵CF＝3，∵AB2＝AE2+BE2，
∴225＝（BE+3）2+BE2，
∴BE＝9，BE＝﹣12（舍去），
∴DH＝AE＝CE'＝12，
∴EH＝12﹣9＝3，
在Rt△DEH中，DE＝＝＝3．
每日一题99 参考答案
【解答】解：（1）①如图1，∵四边形OABC是正方形，点B的坐标为（8，8），
∴∠OCB＝∠ABC＝∠OAB＝90°，OC＝8，
∵OD＝10，∴CD＝＝＝6，∴D（6，8）；
②如图1，连接OF，
由翻折得：∠OED＝∠OCD＝90°，DE＝DC＝6，OE＝OC＝8，
∴∠OEF＝180°﹣∠OED＝90°，
∵OA＝8，∠OAF＝90°，∴OA＝OE，
∵OF＝OF，∴Rt△OFA≌Rt△OFE（HL），∴AF＝EF，
设AF＝EF＝a，则BF＝8﹣a，DF＝6+a，BD＝2，
由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2，∴22+（8﹣a）2＝（6+a）2，
解得：a＝，∴AF＝，∴F（8，）；
（2）①当点G在OA边上时，如图2，连接CE，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝OC＝BC＝8，BC∥OA，
∵BD＝OG，∴四边形ODBG是平行四边形，∴OD∥BG，
∵DE＝DC，OE＝OC，∴CE⊥OD，CH＝HE，
∵OD∥BG，∴CE⊥BG，∴∠CEB＝90°，
∴∠DCE+∠DBE＝90°，∠DEC+∠DEB＝90°，
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，∴DB＝DC＝BC＝4，∴D（4，8）；
②当点G在OC边上时，如图3，连接CE，
过点E作EF⊥BC于点F，
由翻折得，CD＝DE，∠COD＝∠EOD，∠ODC＝∠ODE，∠OED＝∠OCD＝90°，CE⊥OD，
∴∠COD+∠ODC＝90°，∠DCE+∠ODC＝90°，∴∠COD＝∠DCE，
∵OC＝BC＝8，OG＝BD，∴CG＝CD，
在△OCD和△BCG中，
∴△OCD≌△BCG（SAS）， ∴∠COD＝∠CBG， ∴∠DCE＝∠CBG，
∴CE＝BE，∵∠DCE+∠ECG＝90°，∠CBG+∠BGC＝90°，
∴∠ECG＝∠BGC，∴CE＝EG，∴BE＝EG，∵EF⊥BC，∴BF＝CF＝4，∴EF＝CG，
设BD＝a，则OG＝a，DE＝CD＝CG＝8﹣a，EF＝（8﹣a），DF＝a﹣4，
在Rt△DEF中，EF2+DF2＝DE2，∴[（8﹣a）]2+（a﹣4）2＝（8﹣a）2，
解得：a＝8﹣8或a＝﹣8﹣8（舍去），
∴CD＝8﹣a＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8，∴D（16﹣8，8）；
综上所述，点D的坐标为（4，8）或（16﹣8，8）．
每日一题100 参考答案
100.解：（1）∵图形①四边相等，图形②③只有三边相等，图形④四边都不相等，
∴图形②③是准菱形，故答案为：②③；
（2）如图2，延长DA，CB交于点E，
∵AB∥CD，∴∠D＝∠EAB，∠EBA＝∠C，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠D＝∠ABE，∴∠EAB＝∠D＝∠ABE＝∠C，
∴ED＝EC，EA＝EB，∴AD＝BC，又∵AB＝AD，∴AB＝AD＝BC，
又∵AB≠CD，∴四边形ABCD是准菱形；
（3）∵AD：DB＝5：3，AD＝DE，∴设AD＝5x＝DE，DB＝3x，
∴BE＝＝＝4x，
∵△ADE的面积为10，∴×AD×BE＝10，∴5x×4x＝20，∴x＝1，
∴AD＝DE＝5，BE＝4，DB＝3，∴AB＝8，
设BC＝m，则点D（5，m），点E（8，m﹣4），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．∴k＝5m＝8（m﹣4），
解得：m＝，∴点E（8，），BC＝AO＝，∴CE＝，
∵四边形ADEF是准菱形，
∴AD＝DE＝EF＝5或AD＝DE＝AF＝5，
如图3，当AD＝DE＝EF＝5时，过点F作FM⊥EC于M，过点D作DH⊥AE于H，
∵准菱形ADEF面积＝S△ADE+S△AEF＝10+S△AEF，
∴当EF⊥AE时，S△AEF有最大值，即准菱形ADEF面积有最大值，
∵AB＝8，BE＝4，
∴AE＝＝＝4，
∵DE＝AD，DH⊥AE，∴AH＝HE＝2，
∴DH＝＝＝
∵∠BAE+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠FEM，∴∠BAE＝∠FEM，
又∵AD＝EF，∠AHD＝∠EMF，∴△ADH≌△EFM（AAS），
∴EM＝AH＝2，DH＝FM＝，∴CM＝EC﹣EM＝﹣2，
∴点F（8﹣，﹣2）；
如图3，当AD＝DE＝AF'时，过点F'作F'N⊥AO于N，过点D作DH⊥AE于H，
同理可求△AF'N≌△ADH（AAS），
∴AN＝AH＝2，DH＝F'N＝，∴NO＝﹣2，∴点F'坐标为（﹣，﹣2），
综上所述：点F的坐标为（8﹣，﹣2）或（﹣，﹣2）．
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