浙教版八年级下册期末复习第1章二次根式好题精选60题（含解析）

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第1章二次根式好题精选60题
一．选择题（共15小题）
1．下列各式不成立的是（　　）
A． B．＝
C． D．
2．若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则﹣﹣的值是（　　）
A．2﹣ B．4 C．1 D．8
3．若，则（x+y）2023等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
4．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（　　）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
5．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；
②设有理数a，b满足，则a+b＝6；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（　　）
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
7．计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2﹣ D．1
8．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）
A．n B．n C．n D．n+
9．在二次根式，，，，中与是同类二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
11．x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z＝，则x、y、z的大小关系是（　　）
A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x
12．当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
13．已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（　　）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
14．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S乙，有如下三个结论：
①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；
②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；
③S甲：S乙＝9：10．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
15．已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（　　）
A． B．ab C． D．2ab
二．填空题（共20小题）
16．已知，，则a2﹣b2＝　 　．
17．计算的结果等于 　 　．
18．化简的结果为　 　．
19．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　 　．
20．小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝　 　．
21．计算＝　 　．
22．已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为 　 　．
23．已知﹣＝2，则＝　 　．
24．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 　 　．
25．计算：（﹣）2＝　 　．比较大小2　 　3．
26．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝　 　．
27．设正整数a、m、n满足．则a＝　 　．
28．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 　 　．
29．若m满足关系+＝+，则m的值为 　 　．
30．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，代数式的最小值为 　 　；
（2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD面积的最小值为 　 　．
31．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 　 　．
32．如图1，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图2所示依次叠在③上，已知四边形EMNB与四边形MPQN的面积分别为9与7，则Rt△ABC的斜边长AB＝　 　．
33．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 　 　．
34．已知实数m、n、p满足等式 ＝+，则p＝　 　．
35．已知，那么的值等于　 　．
三．解答题（共25小题）
36．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简+|a﹣c|+．
37．计算：
（1）；
（2）．
38．（1）计算：
①；
②；
（2）已知，，求：
①的值；
②2x2+6xy+2y2的值．
（3）先化简，再求值：，其中．
39．已知2x﹣4与3x﹣1是a的平方根，与|c+2|互为相反数，d＝+﹣3．求a+b+c+d+e的平方根．
40．已知x＝，y＝，求：
（1）代数式xy的值；
（2）代数式x2y+xy2的值．
41．阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝　 　；②＝　 　．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝　 　．（用含n的式子表示，n为正整数）
42．化简求值
（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
43．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；①
；②
；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；；④
（1）请参照方法④化简：；
（2）化简：．（n为正整数）
44．阅读下面问题：
；
；
．
（1）试求的值；
（2）化简：（n为正整数）；
（3）计算：．
45．阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的：
∵（）（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，
∴．
问题：已知+＝7．
（1）求的值；
（2）求x的值．
46．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：．
（1）请你写出的有理化因式：　 　；
（2）请仿照上面给出的方法简化；
（3）已知，，求的值．
47．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：
∵＝＝，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝　 　；
（2）化简：；
（3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
48．化简求值：
已知a＝，b＝，求的值．
49．在解决问题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a﹣1＝3（a2﹣2a）﹣1＝3﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2﹣12a+1的值．
50．已知：a＝+2，b＝﹣2，求：
（1）ab的值；
（2）a2+b2﹣3ab的值；
（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
51．定义：若两个二次根式a，b满足a b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　 　；
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
52．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，
∴．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
53．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；﹣1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝　 　；＝　 　．
（2）填空：的倒数为 　 　．
（3）化简：．
54．【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：；．
【类比归纳】
（1）请你仿照宾宾的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请运用宾宾的方法化简；．
【变式探究】
（3）若，且a，m，n均为正整数，则a＝　 　．
55．材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：＝　 　，＝　 　；
（2）化简：；
（3）计算：+．
56．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 　 　；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
57．如图，B地在A地的正东方向，两地相距km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？
58．阅读材料，解决问题：
化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．
令x﹣3＝0，x＝3，令x+2＝0，得x＝﹣2；
∴的零点值为3，的零点值为﹣2，在数轴上标出3和﹣2的点，数轴被分成三段，即x＜﹣2，﹣2≤x＜3，x≥3；
当x＜﹣2时，原式＝﹣2x+1；当﹣2≤x＜3时，原式＝5；当x≥3时，原式＝2x﹣1．
（1）求和的零点值；
（2）化简：．
（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解．
59．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、n、m均为整数），则有a+bmn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、n、m均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，填空：12+6＝（ 　 　+　 　）2；
（3）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值．
60．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列各式不成立的是（　　）
A． B．＝
C． D．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【解答】解：A、﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；
B、＝÷，B选项成立，不符合题意；
C、＝＝，C选项不成立，符合题意；
D、＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
2．若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则﹣﹣的值是（　　）
A．2﹣ B．4 C．1 D．8
【分析】通过因式分解把|a﹣2|+b2+4b+4+＝0化为|a﹣2|+（b+2）2+＝0，再根据非负数的性质求得a、b、c，进而代值计算原式便可．
【解答】解：∵|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，
∴|a﹣2|+（b+2）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，c＝，
∴﹣﹣＝2﹣＝2﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，关键是根据非负数性质求得a、b、c．
3．若，则（x+y）2023等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．
【解答】解：∵，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴＝0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
4．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（　　）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
【分析】先把被开方数分解因式，再化简求值．
【解答】解：∵1＜a＜3，
∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，
∴﹣
＝|a﹣1|﹣|a﹣4|
＝a﹣1+a﹣4
＝2a﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
5．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；
②设有理数a，b满足，则a+b＝6；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（　　）
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④
【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断．
【解答】解：①，故正确；
②，
∴a+b＝﹣6，b﹣a＝4，故错误；
③，，
∵，
∴，故正确；
④∵＝（43﹣x）﹣（11﹣x）＝32，而，
∴，故错误；
⑤＝＝＝＝，故正确；
正确的有①③⑤．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝+
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
7．计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2﹣ D．1
【分析】先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣2）2021（+2）2020
＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）
＝（﹣1）2020×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
8．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）
A．n B．n C．n D．n+
【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
9．在二次根式，，，，中与是同类二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】将二次根式进行化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断．
【解答】解：＝2，＝5，，，
∴，与是同类二次根式，共2个，
故选：B．
【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
10．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积＝，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长＝，重叠部分边长＝，
∴空白部分的长＝，
设空白部分宽为x，可得：，
解得：x＝，
∴小正方形的边长＝空白部分的宽+阴影部分边长＝，
∴小正方形面积＝＝10，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
11．x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z＝，则x、y、z的大小关系是（　　）
A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【分析】提取公因数求出x，将2021×2019写成（2020+1）×（2020﹣1），再利用平方差公式进行计算，根据完全平方公式求出z，然后比较大小即可．
【解答】解：x＝591×2021﹣591×2020，
＝591×（2021﹣2020），
＝591，
y＝20202﹣2021×2019，
＝20202﹣（2020+1）×（2020﹣1），
＝20202﹣20202+1，
＝1，
z＝
＝，
＝590，
∵1＜590＜591，
∴y＜z＜x．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式和实数的大小比较，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，本题难点在于对z的整理．
12．当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】求出2x＝1+，再变形得出4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022，再依次代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴2x＝1+，
∴4x3﹣2025x﹣2022
＝（4x2﹣2025）x﹣2022
＝[（1+）2﹣2025]x﹣2022
＝（1+2022+2﹣2025）x﹣2022
＝（﹣2+2）x﹣2022
＝2（﹣1+）×﹣2022
＝（﹣1+）×（1+）﹣2022
＝2022﹣1﹣2022
＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
13．已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（　　）
A．0 B．1 C．2018 D．2019
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，
∴a≥2019，
∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，
∴＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182＝2019．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S乙，有如下三个结论：
①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；
②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；
③S甲：S乙＝9：10．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【分析】①分别求出正方形ABCD的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
②分别求出正方形EFGH的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
③结合①②进行求解即可．
【解答】解：①S正方形ABCD＝42+22＝20，
正方形网格的面积为：62＝36，
∴，
故①结论错误；
②S正方形EFGH＝32+32＝18，
正方形网格的面积为：62＝36，
∴，
故②结论正确；
③由①得：，则，
由②得：，则S乙＝2SEFGH，
∴，
∵正方形ABCD，EFGH的面积相等，
∴，
故③结论正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．
15．已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（　　）
A． B．ab C． D．2ab
【分析】构造矩形ABCD，E、F分别为AD、AB的中点，设AD＝2b，AB＝2a，将所求三角形面积转化为S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE即可求解．
【解答】解：如图：
在矩形ABCD中，E、F分别为AD、AB的中点，
设AD＝2b，AB＝2a，
∴EF＝，CE＝，CF＝，
∴S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE＝（2a） （2b）﹣ab﹣×2ba﹣×2ba＝ab．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的应用；能够通过构造矩形及直角三角形，将所求三角形的面积转化为矩形和直角三角形的面积是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．已知，，则a2﹣b2＝　8　．
【分析】将a与b代入所求式子中，利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（2++2﹣）[2+﹣（2﹣）]
＝4×2
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练平方差公式及二次根式运算法则是解本题的关键．
17．计算的结果等于 　﹣1　．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：
＝（2）2﹣32
＝8﹣9
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．化简的结果为　﹣2　．
【分析】将原式变形为（﹣2）[（﹣2）（+2）]2020，再利用平方差公式进一步计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）[（﹣2）（+2）]2020
＝（﹣2）×（3﹣4）2020
＝（﹣2）×（﹣1）2020
＝（﹣2）×1
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
19．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　﹣1　．
【分析】首先根据题意，可得：a1+a2+a3+…+an＝，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
a1+a2+a3+…+an
＝﹣1+﹣+…+﹣
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
20．小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝　73　．
【分析】找出一系列等式的规律为＝n（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可确定出a+b的值．
【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【点评】此题考查了二次根式的性质及化简，找出题中的规律是解本题的关键．
21．计算＝　　．
【分析】先进行分母有理化，再进一步合并得出答案即可．
【解答】解：，
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是二次根式的混合运算，运用分母有理化把二次根式化简，再进一步运算即可得解．
22．已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为 　　．
【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵m＝2+，n＝2﹣，
∴m+n＝（2+）+（2﹣）＝4，mn＝（2+）×＝1，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
23．已知﹣＝2，则＝　　．
【分析】利用平方差公式得到（﹣） （+）＝12，然后利用﹣＝2可计算出+的值．
【解答】解：∵（﹣） （+）＝16﹣x2﹣（4﹣x2）＝12，
而﹣＝2，
∴2×（+）＝12，
∴+＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质和平方差公式的灵活运用是解决问题的关键．
24．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 　16cm　．
【分析】设小长方形的长和宽分别为acm，bcm，大长方形的长和宽分别为mcm，ncm，由题意可得：m+b＝4，n+a＝4，即可求解．
【解答】解：设小长方形的长和宽分别为acm，bcm，大长方形的长和宽分别为mcm，ncm，
由题意可得：m+b＝4，n+a＝4，
∴两块阴影部分的周长和＝2（a+b）+2（m+n）＝16cm，
故答案为：16cm．
【点评】本题考查了整式的加减，二次根式的应用，找到图形中的数量关系是解题的关键．
25．计算：（﹣）2＝　5﹣2　．比较大小2　＞　3．
【分析】（﹣）2利用完全平方公式计算比较简便，利用乘法法则先把2、3化为“”的形式，再比较被开方数得结论．
【解答】解：（﹣）2
＝（）2﹣2××+（）2
＝3﹣2+2
＝5﹣2．
∵2＝，3＝，
＞，
∴2＞3．
故答案为：5﹣2，＞．
【点评】本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
26．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝　2005　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、绝对值的性质分析得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2005≥0，
解得：a≥2005，
∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，
故＝2004，
∴a﹣2005＝20042，
∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）
＝a﹣a+2005
＝2005．
故答案为：2005．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
27．设正整数a、m、n满足．则a＝　3　．
【分析】本题通过等式两侧的完全平方，再根据a，m，n分别为正整数即可求出其值．
【解答】解：两边分别完全平方得：
，
则，
由以上求得mn＝8，
又因为m，n为正整数，由题意≥0，
所以m＝8，n＝1或m＝4，n＝2，
又因为a，m，n为正整数，
所以a＝3，m＝8，n＝1．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的应用，通过等式两边的完全平方，再根据a，m，n分别为正整数即可求得．
28．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 　1或或2﹣　．
【分析】根据题意画出图形，根据图形可得答案．
【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．
故答案为：1或或2﹣．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，运用三角形的三边关系进行计算是解题关键．
29．若m满足关系+＝+，则m的值为 　21　．
【分析】由二次根式的定义可得x+y＝19，则有+＝0，从而可求解．
【解答】解：由题意得：x﹣19+y≥0，19﹣x﹣y≥0，
则x+y≥19，x+y≤19，
∴x+y＝19，
∴+＝0，
则3x+5y﹣2﹣m＝0①，2x+3y﹣m＝0②，
①﹣②得：x+2y﹣2＝0，
解得：y＝﹣17，
则x﹣17＝19，
解得：x＝36，
∴2×36+3×（﹣17）﹣m＝0，
解得：m＝21．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是由二次根式的定义得出x+y＝19．
30．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，代数式的最小值为 　15　；
（2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD面积的最小值为 　75　．
【分析】（1）利用给出的公式，直接求值即可；
（2）利用等高三角形，面积之比等于对应底的比，再利用公式求值即可．
【解答】解：（1）根据公式，可得，
＝x+3+≥2+3＝2×6+3＝15，
当且仅当x＝6时，原式取得最小值15；
（2）设S△AOD＝x，
∵S△AOB＝12，S△COD＝27，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD的面积为：
12+27+x+≥39+2＝39+2×18＝75．
当且仅当x＝18时取等号，即四边形ABCD的面积最小值为75．
故答案为：
（1）15；
（2）75．
【点评】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是了解公式的来由，以及取最小值时未知数的取值．
31．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 　2或2　．
【分析】通过完全平方公式去掉括号求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根据a，m，n均为整数，分两种情况求出m，n，进一步求出a，从而求解．
【解答】解：∵a+6，
∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，m，n均为整数），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
故的值为2或2．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用是解题关键．
32．如图1，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图2所示依次叠在③上，已知四边形EMNB与四边形MPQN的面积分别为9与7，则Rt△ABC的斜边长AB＝　10　．
【分析】设等边△ABE，△ACD，△BCF的面积分别是S3，S2，S1，BC＝a，AB＝c，AC＝b，根据勾股定理得到a2+b2＝c2，根据三角形的面积列方程得到AC＝8，BC＝6，由勾股定理即可得到AB＝＝＝10．
【解答】解：如图，设等边△ABE，△ACD，△BCF的面积分别是S3，S2，S1，BC＝a，AB＝c，AC＝b，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．
∵S3＝c2，S2＝b2，S1＝a2，
∴S3﹣S2＝（c2﹣b2）＝a2＝9，S3﹣S1＝c2﹣a2＝（c2﹣a2）＝b2＝9+7＝16，
∴a＝6，b＝8，
即AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．
33．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 　2　．
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积＝大矩形面积﹣正方形面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
34．已知实数m、n、p满足等式 ＝+，则p＝　5　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出m+n的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得，m﹣3+n≥0且3﹣m﹣n≥0，
解得m+n≥3且m+n≤3，
所以m+n＝3，
所以，等式可化为＝0，
由非负数的性质得，，
解得，
故p的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，二元一次方程组的解法，难点在于求出m+n＝3并整理等式．
35．已知，那么的值等于　　．
【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【解答】解：由，两边分别平方得：x+＝2，
原式＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．
三．解答题（共25小题）
36．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简+|a﹣c|+．
【分析】根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置确定a、b、c的符号以及绝对值的大小，进而确定b+c，a﹣c，b﹣a的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置可得：b＜a＜0＜c，且|b|＞|a|＞|c|，
∴b+c＜0，a﹣c＜0，b﹣a＜0，
∴原式＝|b+c|+|a﹣c|+|b﹣a|
＝﹣b﹣c+c﹣a+a﹣b
＝﹣2b．
【点评】本题考查实数与数轴以及二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质是正确解答的前提．
37．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别化简各二次根式，再计算加减法；
（2）分别化简各二次根式，计算零次幂，再计算除法，最后计算加减法．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确掌握二次根式混合运算的计算法则是解题的关键．
38．（1）计算：
①；
②；
（2）已知，，求：
①的值；
②2x2+6xy+2y2的值．
（3）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）①根据二次根式的混合计算法则和负整数指数幂计算法则求解即可；②根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）①先求出，xy＝1，再根据进行求解即可；②先求出，xy＝1，再根据2x2+6xy+2y2＝2（x+y）2+2xy进行求解即可；
（3）先根据分式的混合计算法则和二次根式的性质化简，然后代值计算即可．
【解答】解：（1）①原式＝9﹣7﹣2+2＝2；
②原式＝
＝
＝
＝；
（2）①∵，，
∴，，
∴；
②，xy＝1，
∴2x2+6xy+2y2
＝（2x2+4xy+2y2）+2xy
＝2（x+y）2+2xy
＝
＝2×12+2
＝24+2
＝26；
（3）
＝
＝
＝，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
39．已知2x﹣4与3x﹣1是a的平方根，与|c+2|互为相反数，d＝+﹣3．求a+b+c+d+e的平方根．
【分析】根据二次根式的性质以及有意义的条件、平方根的性质、相反数的性质、绝对值的非负性解决此题．
【解答】解：由题意得，2x﹣4+3x﹣1＝0或2x﹣4＝3x﹣1，+|c+2|＝0．
∴x＝1或﹣3，b＝3，c＝﹣2．
∴3x﹣1＝2或﹣10．
∴a＝4或100．
∵d＝+﹣3，
∴e﹣2≥0，e﹣2≥0．
∴e＝2．
∴d＝+﹣3＝﹣3．
∴a+b+c+d+e＝4+3+（﹣2）+（﹣3）+2＝4或a+b+c+d+e＝100+3+（﹣2）+（﹣3）+2＝100．
∴a+b+c+d+e的平方根是±2或±10．
【点评】本题主要考查二次根式、平方根的性质、相反数、绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及有意义的条件、平方根的性质、相反数的性质、绝对值的非负性是解决本题的关键．
40．已知x＝，y＝，求：
（1）代数式xy的值；
（2）代数式x2y+xy2的值．
【分析】（1）利用平方差公式即可得答案；
（2）由于x+y＝，xy＝1方便运算，故可考虑将代数式化为含（x+y）和xy的项，再整体代入（x+y）和xy的值，进行代数式的求值运算．
【解答】解：（1）xy
＝（+）（﹣）
＝3﹣2
＝1；
（2）原式＝xy（x+y）
由已知：x+y
＝（）+（）
＝2，
xy＝（）（）
＝3﹣2
＝1，
故：原式＝2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想．
41．阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝　﹣　；②＝　+　．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝　　．（用含n的式子表示，n为正整数）
【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）①＝＝﹣；
②＝＝+；
故答案为：①；②+；
（2）
＝+++...+
＝﹣+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣；
（3）
＝+++...+
＝+++...+
＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
42．化简求值
（1）已知x＝，y＝，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
【分析】（1）首先把代数式进行变形，然后再代入x、y的值，进而可得答案；
（2）首先把分式化简，先算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入x、y的值即可．
【解答】解：（1）2x2﹣4xy+2y2，
＝2（x2﹣2xy+y2），
＝2（x﹣y）2，
当x＝+，y＝﹣时
原式＝2（+﹣+）2，
＝2×20，
＝40；
（2）原式＝，
＝（﹣） ，
＝[] ，
＝ ，
＝，
当x＝2﹣1，y＝时，原式＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的混合计算，关键是正确把代数式和分式化简．
43．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；①
；②
；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；；④
（1）请参照方法④化简：；
（2）化简：．（n为正整数）
【分析】（1）先根据平方差公式进行变形，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）＝
＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
44．阅读下面问题：
；
；
．
（1）试求的值；
（2）化简：（n为正整数）；
（3）计算：．
【分析】（1）由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，此式子乘以分母利用平方差公式计算即可；
（2）乘以分母利用平方差公式计算即可；
（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用平方差公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝；
（3）原式＝
＝
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
45．阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的：
∵（）（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，
∴．
问题：已知+＝7．
（1）求的值；
（2）求x的值．
【分析】（1）根据平方差公式同理题目中的过程即可得出结果；
（2）根据和差关系解方程求解即可．
【解答】解：（1）∵（）（+）
＝（）2﹣（）2
＝30﹣x﹣9+x
＝21，
∴﹣＝21÷7＝3；
②∵﹣＝3，+＝7，
∴2＝3+7，
∴＝5，
∴30﹣x＝25，
解得：x＝5；
经检验，x＝5是原方程的根，
∴x＝5．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
46．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：．
（1）请你写出的有理化因式：　3﹣（答案不唯一）　；
（2）请仿照上面给出的方法简化；
（3）已知，，求的值．
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义求出答案即可；
（2）先分母有理化，再得出答案即可；
（3）先分母有理化求出a、b的值，再求出a+b和ab的值，根据完全平方公式求出a2+b2的值，再求出答案即可．
【解答】解：（1）的有理化因式是3﹣．
故答案为：3﹣（答案不唯一）；
（2）
＝
＝
＝1﹣；
（3）∵a＝＝＝+2，b＝＝＝﹣2，
∴a+b＝+2+﹣2＝2，ab＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×1＝20﹣2＝18，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，能正确分母有理化是解此题的关键．
47．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：
∵＝＝，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝　　；
（2）化简：；
（3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；
（2）把各式的分母进行有理化，即可求解；
（3）先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．
【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）原式＝
＝
＝13﹣1
＝12；
（3）∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
48．化简求值：
已知a＝，b＝，求的值．
【分析】利用二次根式的性质化简a，b，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将a，b的值代入运算即可．
【解答】解：a＝，b＝，
原式＝（）×
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握分母有理化的法则与分式的混合运算的法则是解题的关键．
49．在解决问题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a﹣1＝3（a2﹣2a）﹣1＝3﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】（1）分子、分母都乘以3+，再进一步计算即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣2得a＝3﹣2，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝3+；
（2）∵a＝
＝
＝
＝3﹣2；
∴a﹣3＝﹣2，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴2a2﹣12a＝﹣2，
则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
50．已知：a＝+2，b＝﹣2，求：
（1）ab的值；
（2）a2+b2﹣3ab的值；
（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
【分析】（1）代入求值即可；
（2）代入求值，可将（1）的结果代入；
（3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算．
【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴ab
＝（+2）（﹣2）
＝7﹣4
＝3；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，ab＝3，
∴a2+b2﹣3ab
＝a2+b2﹣2ab﹣ab
＝（a﹣b）2﹣ab
＝[（+2）﹣（﹣2）]2﹣3
＝（+2﹣+2）2﹣3
＝42﹣3
＝16﹣3
＝13；
（3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a＝+2，b＝﹣2，
∴m＝4，n＝b＝﹣2
∴
＝
＝
＝，
∴的值．
【点评】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化．
51．定义：若两个二次根式a，b满足a b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　2　；
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，先列出关于a的等式，再求出a；
（2）根据共轭二次根式的定义，先列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，
∴＝4．
∴a＝＝2；
故答案为：2；
（2））∵与是关于12的共轭二次根式，
∴．
∴18+6+3m+3m＝12．
∴m（3+3）＝﹣6﹣6．
∴m＝﹣2．
【点评】本题主要考查了二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则，理解共轭二次根式的定义是解决本题的关键．
52．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，
∴．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（）2＝6，1×＝，
所以：
＝
＝
＝1+；
（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，
即（）2+（）2＝13，×＝，
所以
＝
＝
＝
＝﹣
＝2﹣；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，
所以，．
【点评】本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
53．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；﹣1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝　　；＝　　．
（2）填空：的倒数为 　﹣　．
（3）化简：．
【分析】（1）根据题目的定义化简即可；
（2）根据倒数的定义即可求解；
（3）首先把每个代数式分母有理化，然后合并即可求解．
【解答】解：（1）＝＝；＝＝；
（2）∵（）（﹣）＝6﹣5＝1，
∴+的倒数为 ﹣；
故答案为：（1）；；（2）﹣；
（3）原式＝（﹣1+﹣+…+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝（2n+1﹣1）
＝n．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题首先正确理解题目定义，然后注意利用平方差公式简化计算．
54．【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：；．
【类比归纳】
（1）请你仿照宾宾的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请运用宾宾的方法化简；．
【变式探究】
（3）若，且a，m，n均为正整数，则a＝　22或10　．
【分析】（1）根据完全平方式的结构特征a2+b2±2ab解决此题．
（2）根据完全平方式的结构特征a2+b2±2ab解决此题．
（3）根据完全平方式的结构特征a2+b2±2ab解决此题．
【解答】解：（1）＝（5+2）+＝＝．
（2）＝＝＝＝．
（3）∵，且a，m，n均为正整数，
∴．
∴mn＝21，m+n＝a．
∴当m＝1，则n＝21，此时a＝22；
当m＝3，则n＝7，此时a＝10；
当m＝7，则n＝3，此时a＝10；
当m＝21，则n＝1，此时a＝22．
综上：a＝22或10．
故答案为：22或10．
【点评】本题主要考查完全平方式、二次根式的性质，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
55．材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：＝　±　，＝　±　；
（2）化简：；
（3）计算：+．
【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把6变形成2，仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将变形成2，变形成2，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
【解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，
故答案为：±，±；
（2）＝＝＝±；
（3）+
＝+
＝+
＝﹣++
＝，
同理可得+＝．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．
56．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 　（，）　；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
【分析】（1）由＞0，根据题意可求得此题坐标；
（2）将7+2化为（）2，可求得此题的结果；
（3）先根据材料（1）对m的值进行化简，再根据材料（2）确定此题的结果．
【解答】解：（1）∵＞0，
∴点（，）的“横负纵变点”为（，），
故答案为：（，）；
（2）∵7+2＝5+2+2＝（）2+2×+（）2＝（）2，
∴＝＝+；
（3）∵1≤a≤2，
∴0≤a﹣1≤1，
∴0≤≤1，
∴﹣1≤0，
∴
＝（+）
＝（||+||）
＝（+1+1﹣）
＝×2
＝，
∴点M为（，），
∵＜0，
∴点M'的坐标为（﹣，﹣）．
【点评】此题考查了对二次根式及点的坐标综合问题的解决能力，关键是能利用由基本问题归纳的方法解决相关问题．
57．如图，B地在A地的正东方向，两地相距km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？
【分析】根据题意得到AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，则∠ACP＝45°，∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH＝BQ，再证明△ACH≌△BCQ，
得到AC＝BC＝AB＝14，根据等腰直角三角形的性质得PC＝AC＝28，CQ＝＝14，所以PQ＝PC+CQ＝42，然后根据速度公式计算出该车的速度＝126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．
【解答】解：如图，AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，
∴∠ACP＝45°，
∴∠BCQ＝45°，
作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，
在△ACH和△BCQ中
，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC＝BC，
∴AC＝BC＝AB＝14，
∴PC＝AC＝28，CQ＝＝14，
∴PQ＝PC+CQ＝42，
∴该车的速度＝＝126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴该车超速行驶了．
【点评】本题考查了二次根式的应用：二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
58．阅读材料，解决问题：
化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．
令x﹣3＝0，x＝3，令x+2＝0，得x＝﹣2；
∴的零点值为3，的零点值为﹣2，在数轴上标出3和﹣2的点，数轴被分成三段，即x＜﹣2，﹣2≤x＜3，x≥3；
当x＜﹣2时，原式＝﹣2x+1；当﹣2≤x＜3时，原式＝5；当x≥3时，原式＝2x﹣1．
（1）求和的零点值；
（2）化简：．
（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解．
【分析】（1）令x+1＝0，x﹣2＝0，求出x的值即可；
（2）根据题目给出方法即可求出答案；
（3）根据题目给出方法化简方程，再解方程即可．
【解答】解：（1）可令x+1＝0和x﹣2＝0，
解得：x＝﹣1和x＝2，
∴﹣1，2别为|x+1|和|x﹣2|的零点值．
（2）原式＝
＝|x+1|+|x﹣2|
当x≤﹣1时，
∴x+1≤0，x﹣2≤﹣3，
∴原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）
＝﹣x﹣1﹣x+2
＝﹣2x+1，
当﹣1＜x＜2时，
∴x+1＞0，x﹣2＜0，
∴原式＝x+1﹣（x﹣2）
＝3，
当x≥2时，
∴x+1≥3，x﹣2≥0，
∴原式＝x+1+x﹣2
＝2x﹣1，
（3）当x＜﹣2时，
∴x+2＜0，x﹣4＜﹣6
∴方程左边＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）
＝﹣x﹣2﹣x+4
＝﹣2x+2＞6，
当﹣2≤x≤4时，
∴x+2≥0，x﹣4≥0，
∴方程左边＝x+2﹣（x﹣4）＝6，
当x＞4时，
∴x+2＞6，x﹣4＞0，
∴方程左边＝x+2+x﹣4
＝2x﹣2＞6，
∴﹣2≤x≤4，
∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．
59．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、n、m均为整数），则有a+bmn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、n、m均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，填空：12+6＝（ 　3　+　　）2；
（3）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用m、n表示a、b；
（2）根据a＝12，b＝6得到m2+3n2＝12，2mn＝6，即可求解；
（3）由a＝m2+3n2，2mn＝4，和a、m、n均为正整数可确定m、n的值，再计算对应的a的值．
【解答】解：（1）∵，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）∵a＝12，b＝6，
∴m2+3n2＝12，2mn＝6，又m，n为整数，
∴m＝3，n＝1，或m＝﹣3，n＝﹣1，
故答案为：3，；
（3）∵，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
∴当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答关键是灵活运用二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则．
60．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【解答】解：（1）∵长方形的长BC为，宽AB为，
∴长方形ABCD的周长为：＝＝．
答：长方形ABCD的周长是．
（2）由题意，知＝＝（144﹣12）×5＝660（元）．
答：购买地砖需要花费660元．
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