浙教版八年级下册期末复习第4章平行四边形好题精选60题（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版八年级下册期末复习第4章平行四边形好题精选60题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-15 06:53:40 | ||
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文档简介
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第4章平行四边形好题精选60题
一．选择题（共15小题）
1．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD B．AO＝CO C．∠BAC＝∠DCA D．AC＝BD
3．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．160°
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，点E为CD上一点，且CE：DE＝1：2，点C关于AD的对称点为F，连接BE、BF、EF，则△BEF的面积＝（ ）
A．24 B．25 C． D．
5．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B
6．如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
7．下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
8．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线与AD、BC交于点M、N，若△CON的面积是3，△DOM的面积是5，则四边形ABNM的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（ ）
A．2 B．40 C．4 D．8
11．如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤
12．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形ANCM为平行四边形的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EF∥BD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与△ADF面积相等的（除△ADF外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
15．如图，线段与CD相交于点E，∠AED＝45°，DE+AE＝9，以AE和CE为边作 AGCE，以DE和BE为边作 EBFD，且 AGCE和 EBFD的面积都为，若1＜CE＜3，则线段DF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．1＜DF＜3
二．填空题（共20小题）
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 ．
17．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向 ABCD外构造 DGME，连结BM交AD于点N，连结FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
18．如图，点E是 ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为 ．
19．在平行四边形ABCD中，过A点作边BC的垂线AE，垂足E在边BC上；过A作直线DC的垂线AF，垂足为F，已知△AEF的三条高（或延长线）相交于一点H，BE＝2，CF＝1，∠EAF＝60°，则AH＝ ．
20．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上．若AD＝5，AB＝9，A（﹣3，0），则点C的坐标为 ．
21．如图所示，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为，顶点B，D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是 ．
22．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 ．
23．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，射线CD交边AB于点D，点E为射线CD上一点，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，连接AF，则AF最小值为 ．
24．如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
25．如图，在 ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 ．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若AB＝2，BC＝5，∠BAD＝120°，则AF长为 ．
27．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
28．如图，在 ABCD中，DE⊥BC，AB＝CE，F是DE上一点，且∠BAF＝∠CDE．
（1）若CE＝2，则点B到AF的距离是 ；
（2）若DF＝2EF，则的值为 ．
29．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 ．
32．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝7，BC＝6，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
33．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 ．
34．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．
35．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
三．解答题（共25小题）
36．在 ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，AM＝CN，连接DM，BN．求证：四边形MBND是平行四边形．
37．如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
38．如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
39．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG＝AC，AE⊥CG交CG于E，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝6，求BF的长．
40．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
（1）求证：AE＝CF．
（2）连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，求BD的长．
41．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE＝，求 ABCD的周长．
42．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
43．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且BE＝DG，AH＝CF．求证：EG、FH互相平分．
44．如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
45．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，过点A作AE⊥CD于点E，且，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的长．
46．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．
（1）求证：
①AB∥CD；
②2∠P+∠ECB＝180°；
（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．
47．定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形，用等式表示AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系并证明；
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形ABFE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝4，，求线段DE的长．
48．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点．
求证：DE∥BC，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF． 方法二证明：如图，过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M．
49．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF，BE，ED，DF，BF＝DE．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若，BD＝6，求AB的长．
50．如图，已知AC＝AE，BC＝BE，BC∥AD，CD⊥CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AD＝CD＝5，AC＝6，求CE的长．
51．如图，在 ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ ．
52．在 ABCD中，∠ACD＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，以AB为斜边作Rt△AEB，∠AEB＝90°，连接EM，如图．
（1）填空：与∠CAE相等的角是 ；
（2）求证：BE＝AE+ME；
（3）利用前面的结论，EM＝，AE＝6，求AD的长．
53．如图1，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．
（1）若AB＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
求证：四边形BFDG是平行四边形．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
55．在平面直角坐标系中，O为原点，∠BAO＝30°，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
56．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L N+
Ⅰ
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
58．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
59．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
60．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．
（1）证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念得出答案即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD B．AO＝CO C．∠BAC＝∠DCA D．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，结论正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，结论正确，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，结论正确，故本选项不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，结论错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键．
3．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．160°
【分析】由平行四边形的对角相等即可求得．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
又∠A+∠C＝200°，
所以，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：对角相等，掌握此性质是关键．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，点E为CD上一点，且CE：DE＝1：2，点C关于AD的对称点为F，连接BE、BF、EF，则△BEF的面积＝（ ）
A．24 B．25 C． D．
【分析】连接CF，BD，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，过点D作DH⊥BC于点H，由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，∠BCD＝120°，AD∥BC，然后根据勾股定理及三角形面积公式得，最后由对称的性质及三角形面积公式可得答案．
【解答】解：连接CF，BD，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，过点D作DH⊥BC于点H，
则：∠FMC＝90°，∠DHC＝90°，
在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，∠BCD＝120°，AD∥BC，
∴∠DCH＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∴CH＝，
∴S△BCD＝×8×3，
∵CE：DE＝1：2，CD＝6，
∴CE＝2，DE＝4，
∴CE：CD＝1：3，
∴S△BCE＝，
∵点C关于AD的对称点为F，设AD，CF交于点N，
∴CF⊥AD，CN＝FN＝CF，
∵AD∥BC，
∴CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝30°，
∴DN＝，
∴CF＝2CN＝6，
∴FM＝，
∴S△BCF＝，S△ECF＝，
∴S△BEF＝S△BCF+S△ECF﹣S△BCE＝24；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
5．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，
第一步应假设a≤b，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值．
【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∵E（0，5），F（﹣5，0），
∴，解得，
∴直线EF的解析式为y＝x+5，
设C（x，x+5），
∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2），
∴D（﹣x，1﹣x），
∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是＝2．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，待定系数法，平行四边形的性质，勾股定理，非负数的性质，掌握待定系数法以及平行四边形的性质是解题的关键．
7．下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答．
【解答】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是若a2＞b2，则a＞b是假命题，例如（﹣2）2＞02，而﹣2＜0，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键．
8．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线与AD、BC交于点M、N，若△CON的面积是3，△DOM的面积是5，则四边形ABNM的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
【分析】先根据ASA证明△AOM≌△CON，得S△AOM＝S△CON＝3，则S△OD＝S△AOM+S△DOM＝8，再由OB＝OD，得S△AOB＝S△AOD＝8，进而可求四边形ABNM的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠MAO＝∠NCO，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S△AOM＝S△CON＝3，
∴S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝3+5＝8，
∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△AOD＝8，
同理可求S△BON＝S△DOM＝5，
∴S四边形ABNM＝3+8+5＝16．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】解：证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴BE平分∠CBF，①正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴CF平分∠DCB，②正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
10．如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（ ）
A．2 B．40 C．4 D．8
【分析】如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB＝90°，推出∠BCE＝90°，利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵AJ∥EC，AE∥JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ＝EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，AJ＝EC＝8，AE＝JC＝10，
∵DE＝6，
∴AD＝BC＝16，
∴BJ＝BC﹣JC＝16﹣10＝6，
∴AB2＝BJ2+AJ2，
∴∠AJB＝90°，
∵AJ∥EC，
∴∠BCE＝∠BJA＝90°，
∴BE＝＝＝8，
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
11．如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤
【分析】利用平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离即可进行判断．
【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC，
∴∠DEF＝∠BFE＝90°，
∴DE∥BF，故①正确；
∵AD和BC不一定平行，
∴∠DAC和∠ACB不一定相等，故②不正确；
∵BF⊥AC，
∴点B到AC的距离是线段BF的长，故③正确；
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，故④不正确；
∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC．故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离．熟练掌握定义和性质是解题的关键．
12．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形ANCM为平行四边形的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确．
【解答】解：方案甲，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD＝AE＝AB，求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD＝AD BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOE中，AO＞OE，即可得到AO＞DE；由三角形的中位线定理可得出OE∥AD，则可得出EO⊥BD，则可得出结论．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S ABCD＝AD BD，
故①不符合题意；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，
故②符合题意；
∵Rt△AOE中，AO＞OE，
故③不符合题意；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴EO⊥DB，
∴OE垂直平分BD，
故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EF∥BD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与△ADF面积相等的（除△ADF外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】可推出S△ACF＝S△ADF＝S△ACD＝S平行四边形ABCD，进而得出△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为 ABCD面积的，从而得出结果．
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵EF∥BD，
∴＝1，
∴点F是CD的中点，
∴S△ACF＝S△ADF＝S△ACD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ACD＝S平行四边形ABCD，
同理可得，
△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为 ABCD面积的，
∴与△ADF面积相等的三角形共5个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
15．如图，线段与CD相交于点E，∠AED＝45°，DE+AE＝9，以AE和CE为边作 AGCE，以DE和BE为边作 EBFD，且 AGCE和 EBFD的面积都为，若1＜CE＜3，则线段DF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．1＜DF＜3
【分析】过A点作AN⊥CD于点N，过D点作DM⊥AB于M，根据平行四边形的面积公式可得CE AN＝，DF DM＝，结合等腰直角三角形的性质可得CE AE＝DF DE＝6，利用DE+AE＝9可得CE＝，再根据CE的取值范围可求解．
【解答】解：过A点作AN⊥CD于点N，过D点作DM⊥AB于M，
∵S AGCE＝CE AN＝，S EBFD＝DF DM＝，
∵∠AED＝45°，
∴AN＝AE，DM＝DE，
∴CE AE＝DF DE＝6，
∵DE+AE＝9，
∴CE＝，DE＝，
即CE＝，
∵1＜CE＜3，
∴，DF＞
解得．，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，解不等式组，平行线间的距离等知识的综合运用，求得CE＝是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 45° ．
【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△EGC（SAS），可得DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接DG，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG＝∠GEC＝90°，
∵EG＝BC，
∴EG＝AD，
在△ADG和△EGC中，
，
∴△ADG≌△EGC（SAS），
∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGC+∠AGD＝90°，
∴∠DGC＝90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCG＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△EGC．
17．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向 ABCD外构造 DGME，连结BM交AD于点N，连结FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
【分析】连接EF、AF，先根据平行四边形的性质和已知条件说明AE＝EF＝AB＝ME＝1，∠AEF＝60°，可得△AEF是等边三角形，再证明△ABN≌△EMN，得到AN＝NE，根据等边三角形的性质可得FN⊥AE，最后根据勾股定理解答即可．
【解答】解：如图，连接EF，AF，
∵四边形DGME是平行四边形，DG＝CD＝DE＝1，
∴DC∥EF，
∵∠ADC＝60°，
∴∠AEF＝60°，
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AB∥EF，AE＝DE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴∠BAN＝∠MEN，
∵DG＝DC，DG＝DE，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝1，
∵∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
在△ABN和△EMN中，
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴NE＝AE＝，
∵FN⊥AE，
∴FN＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
18．如图，点E是 ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为 3 ．
【分析】过点F作FM∥AD交DC于点M，证明∠DFC＝90°，再根据30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点F作FM∥AD交DC于点M，
∵F为BE中点，且FM∥AD，
∴M为DC中点，∠ADM＝∠FMC，
∵DC＝AB＝6，
∴DM＝CM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADM＝180°，
∴∠ADM＝∠FMC＝60°，
∵点E是 ABCD的AD边上的中点，BC＝AD＝4，
∴DE＝2，
∴FM＝（DE+BC）＝（2+4）＝3＝CD，
∴∠DFC＝90°，
∵AD∥FM，
∴∠EDF＝∠DFM，
∵FM＝DM，
∴∠FDM＝∠DFM，
∴∠FDM＝∠EDF＝30°，
∴FC＝DC＝3，
∴DF＝FC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，梯形中位线定理，直角三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握掌握平行四边形的性质．
19．在平行四边形ABCD中，过A点作边BC的垂线AE，垂足E在边BC上；过A作直线DC的垂线AF，垂足为F，已知△AEF的三条高（或延长线）相交于一点H，BE＝2，CF＝1，∠EAF＝60°，则AH＝ 或 ．
【分析】分两种情况画图：①点F在边CD上，②点F在DC延长线上，利用含30度角的直角三角形分别进行计算即可．
【解答】解：①如图，点F在边CD上，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°＝∠D，
∴AB＝2BE＝4，
∴AE＝2，
∵CD＝4，CF＝1，
∴DF＝3，
∴AD＝6，
∴AF＝3，
∵EM⊥AF，FN⊥AE，∠EAF＝60°，
∴∠AFH＝30°，
∵AE＝2，
∴AM＝，FH＝2HM，
∴FM＝AF﹣AM＝2，
∴MH＝2，
∴AH＝＝；
②如图，点F在DC延长线上，
∵AP⊥HF，EQ⊥AF，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠BCF＝60°＝∠B＝∠D，
∴AB＝2BE＝4＝CD，
∴AE＝2，
∴DF＝4+1＝5，
∴AD＝10，
∴AF＝5，
∵∠EAF＝60°，
∴AQ＝AE＝，
∵HQ⊥AF，AP⊥HF，
∴∠AFP＝30°，FQ＝AF﹣AQ＝4，
∴HQ＝FQ＝4，
∴AH＝＝，
故AH＝或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
20．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上．若AD＝5，AB＝9，A（﹣3，0），则点C的坐标为 （9，4） ．
【分析】过C点作CE⊥x轴于E，则∠AOD＝∠CEB＝90°，由平行四边形的性质，利用AAS证明△AOD≌△BEC，可求得BC，BE的长，根据勾股定理可求解CE的长，进而可求得C点坐标．
【解答】解：过C点作CE⊥x轴于E，则∠AOD＝∠CEB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，AD∥BC，CD＝AB＝9，
∴∠DAO＝∠CBE，
在△AOD和△BEC中，
，
∴△AOD≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE，OD＝EC，
∵A（﹣3，0），
∴BE＝AO＝3，
∴CE＝，
∴C（9，4），
故答案为：（9，4）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识的综合运用，作辅助线证明△AOD≌△BEC是解题的关键．
21．如图所示，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为，顶点B，D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是 ．
【分析】设点C坐标为（a，b），由平行四边形的性质可求b＝，可得点C在直线y＝上运动，再根据点C在y轴上时，AC的长度有最小值求解即可．
【解答】解：设点C坐标为（a，b），
∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝ 3上，
∴点B，点D的纵坐标分别为0， 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴，
∴b＝，
∴点C在直线y＝上运动，
∴当点C在y轴上时，AC的长度有最小值，
∴对角线AC的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，确定点C的运动轨迹是本题的关键．
22．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 （2，2）或（﹣2，10） ．
【分析】先根据A，B两点求出AB的函数解析式，根据CD＝2可得出P点横坐标是2或﹣2，进而求得点P的坐标．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣2x+6，
∵C（﹣1，4），D（﹣3，4），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∵PQ∥CD，PQ＝CD＝2，
∴点P的横坐标为：2或﹣2，
当xP＝2时，y＝﹣2×2+6＝2，
∴P（2，2），
当xP＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10，
∴P（﹣2，10），
故答案为：（2，2）或（﹣2，10）．
【点评】本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
23．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，射线CD交边AB于点D，点E为射线CD上一点，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，连接AF，则AF最小值为 4﹣ ．
【分析】如图，延长AB到T，使得BT＝AD，连接FT，过点A作AM⊥FT于点M．首先证明四边形EFTD是平行四边形，推出∠DTM＝∠CDB＝60°，推出点F在射线TM上运动，当点F与M重合时，AF的值最小，求出AM的长，可得结论．
【解答】解：如图，延长AB到T，使得BT＝AD，连接FT，过点A作AM⊥FT于点M．
∵四边形AEFB是平行四边形，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∵AD＝BT，
∴AB＝DT＝EF，
∴四边形EFTD是平行四边形，
∴CD∥FT，
∴∠CDB＝∠DTM，
∵∠ABC＝90°，∠BCD＝30°，BC＝3，
∴∠CDB＝60°，CD＝2BD，
∴CD2＝DB2+32，
∴4BD2＝DB2+9，
∴BD＝，
∴AD＝BT＝4﹣，
∴∠BTM＝60°，
∴点F在射线TM上运动，当点F与M重合时，AF的值最小，
在Rt△AMT中，AT＝AB+BT＝4+4﹣＝8﹣，∠AMT＝90°，∠MAT＝30°，
∴MT＝AT＝4﹣，
∴AM＝＝＝4﹣．
∴AF的最小值为4﹣．
故答案为：4﹣．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
24．如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 秒或8秒 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝tcm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当5＜t≤时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在BC上往返运动情况是解决此题的关键．
25．如图，在 ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 5 ．
【分析】过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，证明△ADE≌△CBF（AAS），可得BN＝DM＝1，根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED＝∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM＝1，DH＝4，
∴MH＝DH﹣DM＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ADC＝∠CBA，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN＝DM＝1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握垂线段最短、两点之间线段最短．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若AB＝2，BC＝5，∠BAD＝120°，则AF长为 ．
【分析】过点F作MN∥AB，GH∥AD，分别交平行四边形四条边为M，N，G，H，得平行四边形AGDH，AMNB，DMFH，根据F为BE中点，可得M是AD的中点，H是CE的中点，过点F作FQ⊥AM于点Q，根据∠BAD＝120°，可得∠FMQ＝60°，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作MN∥AB，GH∥AD，分别交平行四边形四条边为M，N，G，H，
得平行四边形AGDH，AMNB，DMFH，
∵F为BE中点，
∴M是AD的中点，H是CE的中点，
∵E为CD中点，CD＝AB＝2，
∴CE＝CD＝1，
∴CH＝CE＝，
∴MF＝DH＝CD﹣CH＝2﹣＝，
∵M是AD的中点，AD＝BC＝5，
∴AM＝AD＝，
过点F作FQ⊥AM于点Q，
∵∠BAD＝120°，
∴∠FMQ＝60°，
∴QM＝FM＝，FQ＝QM＝，
∴AQ＝AM﹣QM＝﹣＝，
∴AF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
27．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝AC＝×2＝1，
∴OP′＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP′＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
28．如图，在 ABCD中，DE⊥BC，AB＝CE，F是DE上一点，且∠BAF＝∠CDE．
（1）若CE＝2，则点B到AF的距离是 2 ；
（2）若DF＝2EF，则的值为 ．
【分析】过点B作BG⊥AF，交AF于点G，（1）由平行四边形的性质得到AB＝DC，即可利用AAS判定△AGB≌△DEC，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）设CE＝x，AD＝y，则DC＝x，利用勾股定理推导出y＝x，即可得解．
【解答】解：如图，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，连接BF，
（1）∵BG⊥AF，DE⊥BC，
∴∠AGB＝∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝DC，
∵∠BAF＝∠CDE，
∴∠BAG＝∠CDE，
在△AGB和△DEC中，
，
∴△AGB≌△DEC（AAS），
∴BG＝CE＝2，即点B到AF的距离是2，
故答案为：2；
（2）∵AB＝DC，AB＝CE，
∴DC＝CE，
设CE＝x，AD＝y，则DC＝x，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE＝＝2x，
∵DF＝2EF，
∴EF＝x，DF＝x，
∵△AGB≌△DEC，
∴BG＝CE＝x，AG＝DE＝2x，
在Rt△ADF中，AF＝＝，
∴GF＝﹣2x，
在Rt△BEF中，BE＝BC﹣EC＝AD﹣EC＝y﹣x，
∴BF2＝BE2+EF2＝（y﹣x）2+x2＝y2﹣2xy+x2，
在Rt△BGF中，GF＝＝，
∴﹣2x＝，
∴y＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判定△AGB≌△DEC是解此题的基础．
29．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为 （0，2）或（3，2）或（，2）或（，2） ．
【分析】设P（m，2），分三种情形PB＝PE，BE＝BP，EP＝EB．分别列出m的方程进行解答便可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴D（5，2），
∵E是BC的中点，
∴E（1.5，0），BE＝2.5，
设P（m，2），则0≤m≤5，
∴BP＝，
PE＝，
∵△BEP是等腰三角形，
∴①当BE＝BP时，有2.5＝，
解得，m＝﹣＜0（舍去），或m＝，
此时P（，2）；
②当PB＝PE时，有＝，
解得，m＝，
此时P（，2）；
③当EP＝EB时，有2.5＝，
解得，m＝0或3，
此时P（0，2）或（3，2），
综上，P（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）．
故答案为：（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 或或 ．
【分析】过点C作CH⊥OA于点H，根据A，C两点坐标可得D，H重合，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况画图说明：①点P在OC上，点Q在BC上，当点P与点O重合，
当DE是对角线时；②点Q在OC上，点P在OA上，点C与Q重合；③点Q在OC上，点P在AB上，点P与B重合，根据平行四边形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，
∵A的坐标为（9，0），
∴OA＝9，
∵OD＝OA，
∴OD＝3，
∵点C的坐标为（3，3），
∴OH＝3，CH＝3，
∴D，H重合，
∵CE＝4．
∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，
动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图，
当点P与点O重合，
∴S平行四边形PDEQ＝PD CH＝3×3＝9；
当DE是对角线时，如图，
∴S平行四边形PDQE＝PD CD＝3×3＝9；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，
∴S平行四边形QDPE＝PD CD＝4×3＝12；
③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，
∴S平行四边形DQPE＝PE CD＝5×3＝15；
综上所述：平行四边形面积为或或．
故答案为：或或．
【点评】此题考查的是平行四边形的判定和性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是分类讨论和数形结合的思想方法的运用．
32．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝7，BC＝6，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 7 ．
【分析】作CH⊥AB于点H，根据已知条件可得CH的长，再根据平行四边形的性质可以证明△EOD∽△GOC，对应边成比例可得，当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，进而可得EG的最小值．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，如图，
∵在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，
∴CH＝3，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DF＝DE，
∴，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝，
∴GO＝4，
∴EG的最小值是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
33．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 +2 ．
【分析】首先在△ACB中，由于AC＝4，∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，所以可以解△CAB，即可以过C作CO⊥AB于O，利用三勾股定理，求出AB的长度，同理，在△DAB中，过D作DH⊥AB于H，可以求出DH的长度，连接DQ交PB于M，过Q作QG⊥AB于G，可以证明△QGM≌△DHM，所以QG＝DH＝2，由此得到Q在平行于AB的直线上运动，且距离AB两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当C，O，Q三点共线时，CQ长度最小．
【解答】解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H，
在Rt△ACO中，∠CAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴，
∴＝，
在Rt△BCO中，∠CBA＝45°，
∴BO＝CO＝2，
∴+2，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝＝30°，
在Rt△DHB中，∠CBA＝45°，
∴可设DH＝HB＝a，
∴AD＝2DH＝2a，
∴AH＝＝a，
∴AB＝AH+BH＝a+a，
∴，
∴a＝2，
∴DH＝2，
如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M，
∵四边形DPQB为平行四边形，
∴DM＝QM，
在△QGM与△DHM中，
，
∴△QGM≌△DHM（AAS），
∴QG＝DH＝2，
故Q到直线AB的距离始终为2，
所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为2，
根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3，
最小值为：CO+2＝2+2，
故答案为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点Q的运动轨迹，是解决本题的关键．
34．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．
【分析】连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，证明△MEB≌△CEG可得BE＝GE，BM＝GC＝3，所以DG＝CD﹣GC＝3，根据勾股定理可得GN的长，再根据三角形中位线定理即可求出结果．
【解答】解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB＝14，CD＝AB＝6，
∵点M，N分别是边AB，AD的中点，
∴AN＝DN＝AD＝7，BM＝AB＝3，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE，
∵点E是CM的中点，
∴ME＝CE，
在△MEB和△CEG中，
，
∴△MEB≌△CEG（AAS），
∴BE＝GE，BM＝GC＝3，
∴DG＝CD﹣GC＝3，
∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN，
∴DH＝GH＝DG＝3，
∴NH＝DN﹣DH＝7﹣3＝4，
∴GN＝＝5，
∵BF＝FN，BE＝EG，
∴EF是△BGN的中位线，
∴EF＝GN＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
35．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 4或5 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【分析】当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：根据题意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
三．解答题（共25小题）
36．在 ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，AM＝CN，连接DM，BN．求证：四边形MBND是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证BM＝DN，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
即BM＝DN，
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明BM＝DN是解题的关键．
37．如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的在得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，再证∠ADE＝∠AED，得AE＝AD＝3，则AB＝AE+EB＝5，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝3，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5，
∴ ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（5+3）＝16．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
38．如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据勾股定理得到BD＝＝＝4，连接AC交EF于O，求得DO＝OB＝BD＝2，根据平行四边形的性质得到EO＝OF＝EF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD＝＝＝4，
连接AC交EF于O，
∴DO＝OB＝BD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OF＝EF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x＝（负值舍去），
∴DE的长为．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE≌△CBF．
39．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG＝AC，AE⊥CG交CG于E，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝6，求BF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得CE＝GE，再证DE是△BCG的中位线，得DE∥BG，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得BF＝DE，再由三角形中位线定理得DE＝BG＝2，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AG＝AC，AE⊥CG，
∴CE＝GE，
∵点D是边BC的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
∴DE∥BG，
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：∵AG＝AC＝6，AB＝10，
∴BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE，
由（1）可知，DE是△BCG的中位线，
∴DE＝BG＝2，
∴BF＝DE＝2，
即BF的长为2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
（1）求证：AE＝CF．
（2）连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，求BD的长．
【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△CDF，可得AE＝CF；
（2）结合（1）中条件证明四边形BEDF为平行四边形，由平行四边形的性质得OB＝OD，，再由勾股定理求出OB＝5，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：由△ABE≌△CDF得：BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OB＝OD，，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴，
∴BD＝2OB＝10．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
41．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE＝，求 ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再由点E，F分别为OB，OD的中点，推导出OE＝OF，即可证明△AOE≌△COF，AE＝CF；
（2）由∠BAC＝90°，点E是OB的中点，求得OB＝2AE＝，由勾股定理求得OA＝＝2，则AC＝2OA＝4，所以BC＝＝5，即可求得 ABCD的周长为16．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∵OE＝OF，
在△AOE和△COF，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵∠BAC＝90°，点E是OB的中点，AB＝3，AE＝，
∴OB＝2AE＝2×＝，
∴OA＝＝＝2，
∴AC＝2OA＝2×2＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴2AB+2BC＝2×3+2×5＝16，
∴ ABCD的周长为16．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的周长等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
42．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，再证AE∥CF，然后证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AE＝4，则DE＝4，再由全等三角形的性质得DF＝BE＝2，则EF＝2，然后由平行四边形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∵∠ADE＝30°，AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
∴DE＝＝＝4，
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，AE⊥EF，
∴S平行四边形AECF＝AE EF＝4×2＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
43．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且BE＝DG，AH＝CF．求证：EG、FH互相平分．
【分析】连接EF、FG、GH、HE，由平行四边形的性质可知∠A＝∠C，AB＝CD．结合题意易得出AE＝CG，进而可证△AEH≌△CGF（SAS），得出EH＝GF．同理可证GH＝EF．即得出四边形EFGH是平行四边形，最后由平行四边形的性质即得出EG、FH互相平分．
【解答】证明：如图，连接EF、FG、GH、HE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD．
∵BE＝DG，
∴AB﹣BE＝CD﹣DG，即AE＝CG．
在△AEH和△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF．
同理可证GH＝EF．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG、FH互相平分．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
44．如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABC+∠DCB＝180°，所以∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，则∠EHG＝90°，同理可证明∠EFG＝90°，∠FEH＝∠AEB＝90°，即可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．
【解答】解：四边形EFGH是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠BAD+∠CDA＝180°，∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，∠BAD+∠CDA＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∵∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠DCB，
∴∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠EHG＝90°，
同理，∠FAD+∠FDA＝∠BAD+∠CDA＝90°，∠EAB+∠EBA＝∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠EFG＝90°，∠FEH＝∠AEB＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、矩形的判定等知识，证明四边形EFGH有三个内角为直角是解题的关键．
45．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，过点A作AE⊥CD于点E，且，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的长．
【分析】由平行四边形的性质得∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，而∠AED＝90°，则∠EAD＝∠EDA＝45°，所以DE＝AE＝2，再证明∠DAF＝∠BCE＝135°，进而证明△DAF≌△BCE，得AF＝CE＝DE＝1，则EF＝3，即可根据勾股定理求得DF＝＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴DE＝AE＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠DAF＝180°﹣∠EAD＝135°，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS），
∴AF＝CE＝DE＝×2＝1，
∴EF＝AE+AF＝2+1＝3，
∴DF＝＝＝，
∴DF的长是．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠ADC＝∠ABC＝45°及△DAF≌△BCE是解题的关键．
46．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．
（1）求证：
①AB∥CD；
②2∠P+∠ECB＝180°；
（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．
【分析】（1）①根据平行线的性质和等量代换可得：∠ABC+∠DCB＝180°，从而得结论；
②如图1，过点P作PG∥CD，根据平行线的性质得：∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，由角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理可得结论；
（2）如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，∠D＝2y，∠DFC＝3y，根据△BPC中三角形的内角和定理可得x的值，由平行线的性质和角平分线的定义表示∠CBP＝y，∠BCP＝2∠BCF＝6y，列方程可得y的值，从而可以解答．
【解答】（1）证明：①∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴AB∥CD；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，
∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ECP，
如图1，过点P作PG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，
∴∠BPC＝∠BPG+∠CPG＝∠ABP+∠DCP＝∠PBC+∠ECP，
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠ECP+∠ECB＝180°，
∴2∠BPC+∠ECB＝180°；
（2）解：如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠DEC＝4x，
由（1）知：2∠P+∠ECB＝180°，
∴6x+4x＝180，
∴x＝18°，
∴∠P＝54°，
∵3∠D＝2∠DFC，
∴设∠D＝2y，∠DFC＝3y，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠D＝180°，∠BCF＝∠DFC＝3y，
∴∠ABC＝∠D＝2y，
∴∠CBP＝y，
∵CF平分∠BCP，
∴∠BCP＝2∠BCF＝6y，
△BCP中，∠CBP+∠P+∠BCP＝180°，
∴y+54°+6y＝180°，
∴y＝18°，
∴∠PCF＝3y＝3×18°＝54°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用相关定义与性质求解角的度数是解题的关键．
47．定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形，用等式表示AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系并证明；
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形ABFE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝4，，求线段DE的长．
【分析】（1）根据垂美四边形和勾股定理解答即可；
（2）如图，连接CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（1）的结论计算即可．
【解答】解：（1）AD2+BC2＝AB2+CD2，
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）如图2，连接CD、BE、DE，
∵正方形ACGD和正方形ABFE，
∴AD＝AC，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠DAB＝∠CAE，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABD+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABD+∠BMN＝90°，
即CE⊥BD，
∴四边形CDEB是垂美四边形，
由（2）得，CD2+BE2＝CB2+DE2，
∵AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝2，
∵CD＝AC＝2，BE＝AB＝4，
∴DE2＝CD2+BE2﹣CB2＝（2）2+（4）2﹣22＝52，
∴DE＝2．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
48．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点．
求证：DE∥BC，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF． 方法二证明：如图，过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M．
【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明四边形BDFC是平行四边形，问题得证；
方法二：结合已给出的辅助线，先证明四边形AMFB是平行四边形，再证明△AME≌△CFE，接着证明四边形AMED是平行四边形，问题得证；
【解答】解：方法一：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF．
∵D、E分别是△ABC的边AB，AC中点，
∴，AE＝EC＝AC，
又∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴BD∥CF，BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，即DE∥BC，
∵EF＝DE，
∴，
∴；
方法二：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M，
同理有：，，
∵EF∥AB，AM∥BC，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴AM＝FB，AM∥FB，AB＝MF，
∴∠AME＝∠EFC，∠MAE＝∠ECF，∠AME＝∠EFC，
∵AE＝EC，
∴△AME≌△CFE（AAS），
∴AM＝FC，EM＝EF，
∴，
∵AB＝MF，
∴，
∵EF∥AB，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AM＝ED，AM∥ED，
∵AM＝FC，AM＝FB，AM∥BC，
∴，
∴DE∥BC，．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质证明等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
49．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF，BE，ED，DF，BF＝DE．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若，BD＝6，求AB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AD＝DC，进而利用三角形中位线定理得出DE∥BF，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝DC，
∵点E为AF的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE∥BF，
∵DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，
设DE＝a，则CF＝2DE＝2a，BF＝DE＝a，
∴BC＝AB＝3a，
∵AC＝2DE＝2a，
∴DC＝DE＝a，
在Rt△BDC中，DB2+DC2＝BC2，
即，
解得：a＝±（负值舍去），
∴DE＝，
∴AB＝3．
【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及勾股定理解答．
50．如图，已知AC＝AE，BC＝BE，BC∥AD，CD⊥CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AD＝CD＝5，AC＝6，求CE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB⊥CE，推出AB∥CD，根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠ACB，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）过A作AH⊥CD于H，根据勾股定理和矩形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝AE，BC＝BE，
∴AB垂直平分CE，
∴AB⊥CE，
∵CD⊥CE，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥CD于H，
∴AH∥CF，
∴四边形AHCF是矩形，
∴CF＝AH，
∴AC2﹣CH2＝AD2﹣DH2，
∵AD＝CD＝5，AC＝6，
∴52﹣DH2＝62﹣（5﹣DH）2，
∴DH＝1.4，
∴AH＝，
∴CF＝4.8，
由（1）△AEB≌△ACB，
∴AE＝AC，∠EAF＝∠CAF，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFC（SAS），
∴EF＝CF，
∴CE＝2CF，
∴CE＝9.6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
51．如图，在 ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ 4 ．
【分析】（1）由AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，得∠AEB＝∠CEM＝∠CFB＝90°，则∠BAE＝∠MCE＝90°﹣∠B，由∠EAC＝∠ECA＝45°，得AE＝CE，即要根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABE≌△CME，得AB＝CM；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，由△ABE≌△CME，得AB＝CM，∠B＝∠CME，则CM＝CD，∠CME＝∠ADC，所以∠AMC＝∠GDC，而AM＝GD＝CN，即可证明△ACM≌△GCD，得AC＝GC，∠ACM＝∠GCD，则∠ACG＝∠MCD＝90°，所以△ACG是等腰直角三角形；
（3）由AD＝3，AM＝GD＝，得AG＝AD+GD＝4，由勾股定理得AC2+GC2＝2GC2＝AG2＝（4）2，则GC＝4，再证明四边形CGDN是平行四边形，则DN＝GC＝4．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB＝∠CEM＝∠CFB＝90°，
∴∠BAE＝∠MCE＝90°﹣∠B，
∵∠AEC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，
∴AE＝CE，
在△ABE和△CME中，
，
∴△ABE≌△CME（ASA），
∴AB＝CM．
（2）△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，
∴∠MCD＝∠CFB＝90°，
∵△ABE≌△CME，
∴AB＝CM，∠B＝∠CME，
∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，
∵∠AMC+∠CME＝180°，∠GDC+∠ADC＝180°，
∴∠AMC＝∠GDC，
∵AM＝CN，GD＝CN，
∴AM＝GD，
在△ACM和△GCD中，
，
∴△ACM≌△GCD（SAS），
∴AC＝GC，∠ACM＝∠GCD，
∴∠ACG＝∠ACD+∠GCD＝∠ACD+∠ACM＝∠MCD＝90°，
∴△ACG是等腰直角三角形．
（3）解：∵AD＝3，AM＝GD＝，
∴AG＝AD+GD＝3+＝4，
∵AC＝GC，∠ACG＝90°，
∴AC2+GC2＝2GC2＝AG2＝（4）2，
∴GC＝4，
∵DG＝NC，DG∥NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN＝GC＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明△ABE≌△CME及△ACM≌△GCD是解题的关键．
52．在 ABCD中，∠ACD＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，以AB为斜边作Rt△AEB，∠AEB＝90°，连接EM，如图．
（1）填空：与∠CAE相等的角是 ∠ABE ；
（2）求证：BE＝AE+ME；
（3）利用前面的结论，EM＝，AE＝6，求AD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠BAC＝∠ACD＝90°，所以∠CAE+∠BAE＝90°，因为∠AEB＝90°，所以∠ABE+∠BAE＝90°，则∠ABE＝∠CAE，于是得到问题的答案；
（2）在BE上截取BF＝AE，连接FM、AM，可证明△MBF≌△MAE，得BF＝AE，MF＝ME，∠BMF＝∠AME，则∠EMF＝∠AMB＝90°，由勾股定理得EF＝＝ME，即可证明BE＝AE+ME；
（3）由EM＝，AE＝6，得BF＝AE＝6，EF＝EM＝2，则BE＝8，所以AC＝AB＝＝10，则AD＝BC＝＝10．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ACD＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAE，
故答案为：∠ABE.
（2）证明：在BE上截取BF＝AE，连接FM、AM，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点M为BC的中点，
∴AM⊥BC，AM＝BM＝CM＝BC，∠MAC＝∠MAB＝∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠MAC＝45°，
∵∠ABE＝∠CAE，
∴∠MBF＝∠ABC﹣∠ABE＝∠MAC﹣∠CAE＝∠MAE，
在△MBF和△MAE中，
，
∴△MBF≌△MAE（SAS），
∴BF＝AE，MF＝ME，∠BMF＝∠AME，
∴∠EMF＝∠AMF+∠AME＝∠AMF+∠BMF＝∠AMB＝90°，
∴EF＝＝＝ME，
∵BE＝BF+EF，
∴BE＝AE+ME．
（3）解：∵EM＝，AE＝6，
∴BF＝AE＝6，EF＝EM＝×＝2，
∴BE＝BF+EF＝6+2＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴AD＝BC＝＝＝10，
∴AD的长是10．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
53．如图1，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．
（1）若AB＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
求证：四边形BFDG是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAF＝∠E，再由角平分线定义得∠DAF＝∠BAE，则∠BAE＝∠E，然后由等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）证△ADF≌△ECF（AAS），得AF＝EF，再由等腰三角形的性质得BF⊥AE，则DG∥BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝6，即BE的长为6；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
由（1）可知，BE＝AB，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG∥BF，
又∵DF∥BG，
∴四边形BFDG是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE＝∠A，根据题意得到∠DEF＝∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠BDE，
∴AD∥EF，
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：四边形AEGF是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF＝DE，
∵EG＝DE，
∴AF∥DE，AF＝GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD＝AG，EG＝DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
55．在平面直角坐标系中，O为原点，∠BAO＝30°，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
【分析】（1）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°，由旋转的性质得DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝，进而得出答案；
（2）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC＝OB，得出OE＝DC，再求出∠DCA＝∠OFA＝60°，证出OE∥DC即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠BAO＝30°，点B（0，1），
∴OB＝1，AB＝2
根据勾股定理得OA＝，
由旋转的性质得，DA＝OA＝，
过D作DM⊥OA于M，
如图①所示：
则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，
∴OM＝AO AM＝，
∴D（，）；
（2）证明：延长OE交AC于F，
如图②所示：
在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，
∴OE＝BE＝AE，∠ABO＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴OE＝OB，∠BOE＝60°，
∴∠EOA＝30°，
由旋转的性质得DC＝OB，
∴OE＝DC．
∵α＝60°，
∴∠OAD＝60°，
由旋转的性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，
∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，
∴∠OFA＝90° ∠EOA＝90° 30°＝60°，
∴∠DCA＝∠OFA，
∴OE∥DC，
∴四边形OECD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的判定和旋转的性质是解题的关键．
56．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L N+
Ⅰ 6 3 8 7
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ 5.5 2 9 6.5
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 S＝N+﹣1 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
【分析】（1）由三角形，梯形面积公式可求图形的面积，由图形可知图形内部格点数，边上格点数；
（2）由（1）即可总结结论；
（3）用m，n表示出长方形的面积，长方形内部格点数，边上格点数，即可解决问题．
【解答】解：（1）Ⅰ的面积是×3×4＝6，内部格点数是N＝3，边上的格点数是L＝8，N+＝7，
Ⅲ的面积是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，内部格点数是N＝2，边上的格点数是L＝9，N+＝6.5．
故答案为：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．
（2）由（1）可以总结出结论：S＝N+﹣1，
故答案为：S＝N+﹣1．
（3）长方形的面积＝mn，内部格点数是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，边上的格点数是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），
∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，
∴S＝N+﹣1．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是由长方形的长AB＝m，宽CD＝n，表示出，长方形内部格点数，边上格点数．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB＝AC，由等腰三角形的性质得出BM＝CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM＝BC＝5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口．
58．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 120° ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 60° ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【分析】（1）①利用角平分线的定义求出∠BON，根据平行线的性质可得出答案；
②当∠BAD＝∠ABD时，利用三角形内角和定理求出∠BAO，进而可得∠OAC的度
第4章平行四边形好题精选60题
一．选择题（共15小题）
1．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD B．AO＝CO C．∠BAC＝∠DCA D．AC＝BD
3．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．160°
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，点E为CD上一点，且CE：DE＝1：2，点C关于AD的对称点为F，连接BE、BF、EF，则△BEF的面积＝（ ）
A．24 B．25 C． D．
5．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B
6．如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
7．下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
8．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线与AD、BC交于点M、N，若△CON的面积是3，△DOM的面积是5，则四边形ABNM的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（ ）
A．2 B．40 C．4 D．8
11．如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤
12．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形ANCM为平行四边形的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EF∥BD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与△ADF面积相等的（除△ADF外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
15．如图，线段与CD相交于点E，∠AED＝45°，DE+AE＝9，以AE和CE为边作 AGCE，以DE和BE为边作 EBFD，且 AGCE和 EBFD的面积都为，若1＜CE＜3，则线段DF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．1＜DF＜3
二．填空题（共20小题）
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 ．
17．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向 ABCD外构造 DGME，连结BM交AD于点N，连结FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
18．如图，点E是 ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为 ．
19．在平行四边形ABCD中，过A点作边BC的垂线AE，垂足E在边BC上；过A作直线DC的垂线AF，垂足为F，已知△AEF的三条高（或延长线）相交于一点H，BE＝2，CF＝1，∠EAF＝60°，则AH＝ ．
20．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上．若AD＝5，AB＝9，A（﹣3，0），则点C的坐标为 ．
21．如图所示，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为，顶点B，D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是 ．
22．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 ．
23．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，射线CD交边AB于点D，点E为射线CD上一点，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，连接AF，则AF最小值为 ．
24．如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
25．如图，在 ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 ．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若AB＝2，BC＝5，∠BAD＝120°，则AF长为 ．
27．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
28．如图，在 ABCD中，DE⊥BC，AB＝CE，F是DE上一点，且∠BAF＝∠CDE．
（1）若CE＝2，则点B到AF的距离是 ；
（2）若DF＝2EF，则的值为 ．
29．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 ．
32．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝7，BC＝6，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
33．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 ．
34．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．
35．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
三．解答题（共25小题）
36．在 ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，AM＝CN，连接DM，BN．求证：四边形MBND是平行四边形．
37．如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
38．如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
39．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG＝AC，AE⊥CG交CG于E，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝6，求BF的长．
40．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
（1）求证：AE＝CF．
（2）连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，求BD的长．
41．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE＝，求 ABCD的周长．
42．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
43．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且BE＝DG，AH＝CF．求证：EG、FH互相平分．
44．如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
45．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，过点A作AE⊥CD于点E，且，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的长．
46．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．
（1）求证：
①AB∥CD；
②2∠P+∠ECB＝180°；
（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．
47．定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形，用等式表示AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系并证明；
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形ABFE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝4，，求线段DE的长．
48．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点．
求证：DE∥BC，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF． 方法二证明：如图，过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M．
49．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF，BE，ED，DF，BF＝DE．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若，BD＝6，求AB的长．
50．如图，已知AC＝AE，BC＝BE，BC∥AD，CD⊥CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AD＝CD＝5，AC＝6，求CE的长．
51．如图，在 ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ ．
52．在 ABCD中，∠ACD＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，以AB为斜边作Rt△AEB，∠AEB＝90°，连接EM，如图．
（1）填空：与∠CAE相等的角是 ；
（2）求证：BE＝AE+ME；
（3）利用前面的结论，EM＝，AE＝6，求AD的长．
53．如图1，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．
（1）若AB＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
求证：四边形BFDG是平行四边形．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
55．在平面直角坐标系中，O为原点，∠BAO＝30°，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
56．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L N+
Ⅰ
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
58．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
59．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
60．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．
（1）证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念得出答案即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD B．AO＝CO C．∠BAC＝∠DCA D．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，结论正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，结论正确，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，结论正确，故本选项不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，结论错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键．
3．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．160°
【分析】由平行四边形的对角相等即可求得．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
又∠A+∠C＝200°，
所以，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：对角相等，掌握此性质是关键．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，点E为CD上一点，且CE：DE＝1：2，点C关于AD的对称点为F，连接BE、BF、EF，则△BEF的面积＝（ ）
A．24 B．25 C． D．
【分析】连接CF，BD，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，过点D作DH⊥BC于点H，由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，∠BCD＝120°，AD∥BC，然后根据勾股定理及三角形面积公式得，最后由对称的性质及三角形面积公式可得答案．
【解答】解：连接CF，BD，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，过点D作DH⊥BC于点H，
则：∠FMC＝90°，∠DHC＝90°，
在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，∠BCD＝120°，AD∥BC，
∴∠DCH＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∴CH＝，
∴S△BCD＝×8×3，
∵CE：DE＝1：2，CD＝6，
∴CE＝2，DE＝4，
∴CE：CD＝1：3，
∴S△BCE＝，
∵点C关于AD的对称点为F，设AD，CF交于点N，
∴CF⊥AD，CN＝FN＝CF，
∵AD∥BC，
∴CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝30°，
∴DN＝，
∴CF＝2CN＝6，
∴FM＝，
∴S△BCF＝，S△ECF＝，
∴S△BEF＝S△BCF+S△ECF﹣S△BCE＝24；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
5．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，
第一步应假设a≤b，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值．
【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∵E（0，5），F（﹣5，0），
∴，解得，
∴直线EF的解析式为y＝x+5，
设C（x，x+5），
∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2），
∴D（﹣x，1﹣x），
∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是＝2．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，待定系数法，平行四边形的性质，勾股定理，非负数的性质，掌握待定系数法以及平行四边形的性质是解题的关键．
7．下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答．
【解答】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是若a2＞b2，则a＞b是假命题，例如（﹣2）2＞02，而﹣2＜0，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键．
8．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线与AD、BC交于点M、N，若△CON的面积是3，△DOM的面积是5，则四边形ABNM的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
【分析】先根据ASA证明△AOM≌△CON，得S△AOM＝S△CON＝3，则S△OD＝S△AOM+S△DOM＝8，再由OB＝OD，得S△AOB＝S△AOD＝8，进而可求四边形ABNM的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠MAO＝∠NCO，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S△AOM＝S△CON＝3，
∴S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝3+5＝8，
∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△AOD＝8，
同理可求S△BON＝S△DOM＝5，
∴S四边形ABNM＝3+8+5＝16．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】解：证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴BE平分∠CBF，①正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴CF平分∠DCB，②正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
10．如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（ ）
A．2 B．40 C．4 D．8
【分析】如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB＝90°，推出∠BCE＝90°，利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵AJ∥EC，AE∥JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ＝EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，AJ＝EC＝8，AE＝JC＝10，
∵DE＝6，
∴AD＝BC＝16，
∴BJ＝BC﹣JC＝16﹣10＝6，
∴AB2＝BJ2+AJ2，
∴∠AJB＝90°，
∵AJ∥EC，
∴∠BCE＝∠BJA＝90°，
∴BE＝＝＝8，
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
11．如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤
【分析】利用平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离即可进行判断．
【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC，
∴∠DEF＝∠BFE＝90°，
∴DE∥BF，故①正确；
∵AD和BC不一定平行，
∴∠DAC和∠ACB不一定相等，故②不正确；
∵BF⊥AC，
∴点B到AC的距离是线段BF的长，故③正确；
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，故④不正确；
∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC．故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离．熟练掌握定义和性质是解题的关键．
12．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形ANCM为平行四边形的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确．
【解答】解：方案甲，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD＝AE＝AB，求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD＝AD BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOE中，AO＞OE，即可得到AO＞DE；由三角形的中位线定理可得出OE∥AD，则可得出EO⊥BD，则可得出结论．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S ABCD＝AD BD，
故①不符合题意；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，
故②符合题意；
∵Rt△AOE中，AO＞OE，
故③不符合题意；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴EO⊥DB，
∴OE垂直平分BD，
故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EF∥BD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与△ADF面积相等的（除△ADF外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】可推出S△ACF＝S△ADF＝S△ACD＝S平行四边形ABCD，进而得出△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为 ABCD面积的，从而得出结果．
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵EF∥BD，
∴＝1，
∴点F是CD的中点，
∴S△ACF＝S△ADF＝S△ACD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ACD＝S平行四边形ABCD，
同理可得，
△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为 ABCD面积的，
∴与△ADF面积相等的三角形共5个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
15．如图，线段与CD相交于点E，∠AED＝45°，DE+AE＝9，以AE和CE为边作 AGCE，以DE和BE为边作 EBFD，且 AGCE和 EBFD的面积都为，若1＜CE＜3，则线段DF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．1＜DF＜3
【分析】过A点作AN⊥CD于点N，过D点作DM⊥AB于M，根据平行四边形的面积公式可得CE AN＝，DF DM＝，结合等腰直角三角形的性质可得CE AE＝DF DE＝6，利用DE+AE＝9可得CE＝，再根据CE的取值范围可求解．
【解答】解：过A点作AN⊥CD于点N，过D点作DM⊥AB于M，
∵S AGCE＝CE AN＝，S EBFD＝DF DM＝，
∵∠AED＝45°，
∴AN＝AE，DM＝DE，
∴CE AE＝DF DE＝6，
∵DE+AE＝9，
∴CE＝，DE＝，
即CE＝，
∵1＜CE＜3，
∴，DF＞
解得．，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，解不等式组，平行线间的距离等知识的综合运用，求得CE＝是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 45° ．
【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△EGC（SAS），可得DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接DG，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG＝∠GEC＝90°，
∵EG＝BC，
∴EG＝AD，
在△ADG和△EGC中，
，
∴△ADG≌△EGC（SAS），
∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGC+∠AGD＝90°，
∴∠DGC＝90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCG＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△EGC．
17．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向 ABCD外构造 DGME，连结BM交AD于点N，连结FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
【分析】连接EF、AF，先根据平行四边形的性质和已知条件说明AE＝EF＝AB＝ME＝1，∠AEF＝60°，可得△AEF是等边三角形，再证明△ABN≌△EMN，得到AN＝NE，根据等边三角形的性质可得FN⊥AE，最后根据勾股定理解答即可．
【解答】解：如图，连接EF，AF，
∵四边形DGME是平行四边形，DG＝CD＝DE＝1，
∴DC∥EF，
∵∠ADC＝60°，
∴∠AEF＝60°，
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AB∥EF，AE＝DE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴∠BAN＝∠MEN，
∵DG＝DC，DG＝DE，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝1，
∵∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
在△ABN和△EMN中，
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴NE＝AE＝，
∵FN⊥AE，
∴FN＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
18．如图，点E是 ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为 3 ．
【分析】过点F作FM∥AD交DC于点M，证明∠DFC＝90°，再根据30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点F作FM∥AD交DC于点M，
∵F为BE中点，且FM∥AD，
∴M为DC中点，∠ADM＝∠FMC，
∵DC＝AB＝6，
∴DM＝CM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ADM＝180°，
∴∠ADM＝∠FMC＝60°，
∵点E是 ABCD的AD边上的中点，BC＝AD＝4，
∴DE＝2，
∴FM＝（DE+BC）＝（2+4）＝3＝CD，
∴∠DFC＝90°，
∵AD∥FM，
∴∠EDF＝∠DFM，
∵FM＝DM，
∴∠FDM＝∠DFM，
∴∠FDM＝∠EDF＝30°，
∴FC＝DC＝3，
∴DF＝FC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，梯形中位线定理，直角三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握掌握平行四边形的性质．
19．在平行四边形ABCD中，过A点作边BC的垂线AE，垂足E在边BC上；过A作直线DC的垂线AF，垂足为F，已知△AEF的三条高（或延长线）相交于一点H，BE＝2，CF＝1，∠EAF＝60°，则AH＝ 或 ．
【分析】分两种情况画图：①点F在边CD上，②点F在DC延长线上，利用含30度角的直角三角形分别进行计算即可．
【解答】解：①如图，点F在边CD上，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°＝∠D，
∴AB＝2BE＝4，
∴AE＝2，
∵CD＝4，CF＝1，
∴DF＝3，
∴AD＝6，
∴AF＝3，
∵EM⊥AF，FN⊥AE，∠EAF＝60°，
∴∠AFH＝30°，
∵AE＝2，
∴AM＝，FH＝2HM，
∴FM＝AF﹣AM＝2，
∴MH＝2，
∴AH＝＝；
②如图，点F在DC延长线上，
∵AP⊥HF，EQ⊥AF，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠BCF＝60°＝∠B＝∠D，
∴AB＝2BE＝4＝CD，
∴AE＝2，
∴DF＝4+1＝5，
∴AD＝10，
∴AF＝5，
∵∠EAF＝60°，
∴AQ＝AE＝，
∵HQ⊥AF，AP⊥HF，
∴∠AFP＝30°，FQ＝AF﹣AQ＝4，
∴HQ＝FQ＝4，
∴AH＝＝，
故AH＝或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
20．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上．若AD＝5，AB＝9，A（﹣3，0），则点C的坐标为 （9，4） ．
【分析】过C点作CE⊥x轴于E，则∠AOD＝∠CEB＝90°，由平行四边形的性质，利用AAS证明△AOD≌△BEC，可求得BC，BE的长，根据勾股定理可求解CE的长，进而可求得C点坐标．
【解答】解：过C点作CE⊥x轴于E，则∠AOD＝∠CEB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，AD∥BC，CD＝AB＝9，
∴∠DAO＝∠CBE，
在△AOD和△BEC中，
，
∴△AOD≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE，OD＝EC，
∵A（﹣3，0），
∴BE＝AO＝3，
∴CE＝，
∴C（9，4），
故答案为：（9，4）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识的综合运用，作辅助线证明△AOD≌△BEC是解题的关键．
21．如图所示，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为，顶点B，D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是 ．
【分析】设点C坐标为（a，b），由平行四边形的性质可求b＝，可得点C在直线y＝上运动，再根据点C在y轴上时，AC的长度有最小值求解即可．
【解答】解：设点C坐标为（a，b），
∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝ 3上，
∴点B，点D的纵坐标分别为0， 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴，
∴b＝，
∴点C在直线y＝上运动，
∴当点C在y轴上时，AC的长度有最小值，
∴对角线AC的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，确定点C的运动轨迹是本题的关键．
22．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 （2，2）或（﹣2，10） ．
【分析】先根据A，B两点求出AB的函数解析式，根据CD＝2可得出P点横坐标是2或﹣2，进而求得点P的坐标．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣2x+6，
∵C（﹣1，4），D（﹣3，4），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∵PQ∥CD，PQ＝CD＝2，
∴点P的横坐标为：2或﹣2，
当xP＝2时，y＝﹣2×2+6＝2，
∴P（2，2），
当xP＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10，
∴P（﹣2，10），
故答案为：（2，2）或（﹣2，10）．
【点评】本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
23．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，射线CD交边AB于点D，点E为射线CD上一点，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，连接AF，则AF最小值为 4﹣ ．
【分析】如图，延长AB到T，使得BT＝AD，连接FT，过点A作AM⊥FT于点M．首先证明四边形EFTD是平行四边形，推出∠DTM＝∠CDB＝60°，推出点F在射线TM上运动，当点F与M重合时，AF的值最小，求出AM的长，可得结论．
【解答】解：如图，延长AB到T，使得BT＝AD，连接FT，过点A作AM⊥FT于点M．
∵四边形AEFB是平行四边形，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∵AD＝BT，
∴AB＝DT＝EF，
∴四边形EFTD是平行四边形，
∴CD∥FT，
∴∠CDB＝∠DTM，
∵∠ABC＝90°，∠BCD＝30°，BC＝3，
∴∠CDB＝60°，CD＝2BD，
∴CD2＝DB2+32，
∴4BD2＝DB2+9，
∴BD＝，
∴AD＝BT＝4﹣，
∴∠BTM＝60°，
∴点F在射线TM上运动，当点F与M重合时，AF的值最小，
在Rt△AMT中，AT＝AB+BT＝4+4﹣＝8﹣，∠AMT＝90°，∠MAT＝30°，
∴MT＝AT＝4﹣，
∴AM＝＝＝4﹣．
∴AF的最小值为4﹣．
故答案为：4﹣．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
24．如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 秒或8秒 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝tcm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当5＜t≤时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在BC上往返运动情况是解决此题的关键．
25．如图，在 ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是 5 ．
【分析】过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，证明△ADE≌△CBF（AAS），可得BN＝DM＝1，根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED＝∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM＝1，DH＝4，
∴MH＝DH﹣DM＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ADC＝∠CBA，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN＝DM＝1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握垂线段最短、两点之间线段最短．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，连接BE，F为BE中点，连接AF，若AB＝2，BC＝5，∠BAD＝120°，则AF长为 ．
【分析】过点F作MN∥AB，GH∥AD，分别交平行四边形四条边为M，N，G，H，得平行四边形AGDH，AMNB，DMFH，根据F为BE中点，可得M是AD的中点，H是CE的中点，过点F作FQ⊥AM于点Q，根据∠BAD＝120°，可得∠FMQ＝60°，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作MN∥AB，GH∥AD，分别交平行四边形四条边为M，N，G，H，
得平行四边形AGDH，AMNB，DMFH，
∵F为BE中点，
∴M是AD的中点，H是CE的中点，
∵E为CD中点，CD＝AB＝2，
∴CE＝CD＝1，
∴CH＝CE＝，
∴MF＝DH＝CD﹣CH＝2﹣＝，
∵M是AD的中点，AD＝BC＝5，
∴AM＝AD＝，
过点F作FQ⊥AM于点Q，
∵∠BAD＝120°，
∴∠FMQ＝60°，
∴QM＝FM＝，FQ＝QM＝，
∴AQ＝AM﹣QM＝﹣＝，
∴AF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
27．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝AC＝×2＝1，
∴OP′＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP′＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
28．如图，在 ABCD中，DE⊥BC，AB＝CE，F是DE上一点，且∠BAF＝∠CDE．
（1）若CE＝2，则点B到AF的距离是 2 ；
（2）若DF＝2EF，则的值为 ．
【分析】过点B作BG⊥AF，交AF于点G，（1）由平行四边形的性质得到AB＝DC，即可利用AAS判定△AGB≌△DEC，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）设CE＝x，AD＝y，则DC＝x，利用勾股定理推导出y＝x，即可得解．
【解答】解：如图，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，连接BF，
（1）∵BG⊥AF，DE⊥BC，
∴∠AGB＝∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝DC，
∵∠BAF＝∠CDE，
∴∠BAG＝∠CDE，
在△AGB和△DEC中，
，
∴△AGB≌△DEC（AAS），
∴BG＝CE＝2，即点B到AF的距离是2，
故答案为：2；
（2）∵AB＝DC，AB＝CE，
∴DC＝CE，
设CE＝x，AD＝y，则DC＝x，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE＝＝2x，
∵DF＝2EF，
∴EF＝x，DF＝x，
∵△AGB≌△DEC，
∴BG＝CE＝x，AG＝DE＝2x，
在Rt△ADF中，AF＝＝，
∴GF＝﹣2x，
在Rt△BEF中，BE＝BC﹣EC＝AD﹣EC＝y﹣x，
∴BF2＝BE2+EF2＝（y﹣x）2+x2＝y2﹣2xy+x2，
在Rt△BGF中，GF＝＝，
∴﹣2x＝，
∴y＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判定△AGB≌△DEC是解此题的基础．
29．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若△BEP是等腰三角形，则点P的坐标为 （0，2）或（3，2）或（，2）或（，2） ．
【分析】设P（m，2），分三种情形PB＝PE，BE＝BP，EP＝EB．分别列出m的方程进行解答便可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴D（5，2），
∵E是BC的中点，
∴E（1.5，0），BE＝2.5，
设P（m，2），则0≤m≤5，
∴BP＝，
PE＝，
∵△BEP是等腰三角形，
∴①当BE＝BP时，有2.5＝，
解得，m＝﹣＜0（舍去），或m＝，
此时P（，2）；
②当PB＝PE时，有＝，
解得，m＝，
此时P（，2）；
③当EP＝EB时，有2.5＝，
解得，m＝0或3，
此时P（0，2）或（3，2），
综上，P（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）．
故答案为：（0，2）或（3，2）或（，2）或（，2）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 或或 ．
【分析】过点C作CH⊥OA于点H，根据A，C两点坐标可得D，H重合，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况画图说明：①点P在OC上，点Q在BC上，当点P与点O重合，
当DE是对角线时；②点Q在OC上，点P在OA上，点C与Q重合；③点Q在OC上，点P在AB上，点P与B重合，根据平行四边形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，
∵A的坐标为（9，0），
∴OA＝9，
∵OD＝OA，
∴OD＝3，
∵点C的坐标为（3，3），
∴OH＝3，CH＝3，
∴D，H重合，
∵CE＝4．
∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，
动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图，
当点P与点O重合，
∴S平行四边形PDEQ＝PD CH＝3×3＝9；
当DE是对角线时，如图，
∴S平行四边形PDQE＝PD CD＝3×3＝9；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，
∴S平行四边形QDPE＝PD CD＝4×3＝12；
③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，
∴S平行四边形DQPE＝PE CD＝5×3＝15；
综上所述：平行四边形面积为或或．
故答案为：或或．
【点评】此题考查的是平行四边形的判定和性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是分类讨论和数形结合的思想方法的运用．
32．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝7，BC＝6，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 7 ．
【分析】作CH⊥AB于点H，根据已知条件可得CH的长，再根据平行四边形的性质可以证明△EOD∽△GOC，对应边成比例可得，当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，进而可得EG的最小值．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，如图，
∵在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，
∴CH＝3，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DF＝DE，
∴，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝，
∴GO＝4，
∴EG的最小值是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
33．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 +2 ．
【分析】首先在△ACB中，由于AC＝4，∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，所以可以解△CAB，即可以过C作CO⊥AB于O，利用三勾股定理，求出AB的长度，同理，在△DAB中，过D作DH⊥AB于H，可以求出DH的长度，连接DQ交PB于M，过Q作QG⊥AB于G，可以证明△QGM≌△DHM，所以QG＝DH＝2，由此得到Q在平行于AB的直线上运动，且距离AB两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当C，O，Q三点共线时，CQ长度最小．
【解答】解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H，
在Rt△ACO中，∠CAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴，
∴＝，
在Rt△BCO中，∠CBA＝45°，
∴BO＝CO＝2，
∴+2，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝＝30°，
在Rt△DHB中，∠CBA＝45°，
∴可设DH＝HB＝a，
∴AD＝2DH＝2a，
∴AH＝＝a，
∴AB＝AH+BH＝a+a，
∴，
∴a＝2，
∴DH＝2，
如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M，
∵四边形DPQB为平行四边形，
∴DM＝QM，
在△QGM与△DHM中，
，
∴△QGM≌△DHM（AAS），
∴QG＝DH＝2，
故Q到直线AB的距离始终为2，
所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为2，
根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3，
最小值为：CO+2＝2+2，
故答案为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点Q的运动轨迹，是解决本题的关键．
34．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．
【分析】连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，证明△MEB≌△CEG可得BE＝GE，BM＝GC＝3，所以DG＝CD﹣GC＝3，根据勾股定理可得GN的长，再根据三角形中位线定理即可求出结果．
【解答】解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB＝14，CD＝AB＝6，
∵点M，N分别是边AB，AD的中点，
∴AN＝DN＝AD＝7，BM＝AB＝3，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE，
∵点E是CM的中点，
∴ME＝CE，
在△MEB和△CEG中，
，
∴△MEB≌△CEG（AAS），
∴BE＝GE，BM＝GC＝3，
∴DG＝CD﹣GC＝3，
∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN，
∴DH＝GH＝DG＝3，
∴NH＝DN﹣DH＝7﹣3＝4，
∴GN＝＝5，
∵BF＝FN，BE＝EG，
∴EF是△BGN的中位线，
∴EF＝GN＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
35．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 4或5 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【分析】当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：根据题意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
三．解答题（共25小题）
36．在 ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，AM＝CN，连接DM，BN．求证：四边形MBND是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证BM＝DN，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
即BM＝DN，
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明BM＝DN是解题的关键．
37．如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的在得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，再证∠ADE＝∠AED，得AE＝AD＝3，则AB＝AE+EB＝5，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝3，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5，
∴ ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（5+3）＝16．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
38．如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据勾股定理得到BD＝＝＝4，连接AC交EF于O，求得DO＝OB＝BD＝2，根据平行四边形的性质得到EO＝OF＝EF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD＝＝＝4，
连接AC交EF于O，
∴DO＝OB＝BD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OF＝EF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x＝（负值舍去），
∴DE的长为．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE≌△CBF．
39．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F，G在边AB上，AG＝AC，AE⊥CG交CG于E，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝6，求BF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得CE＝GE，再证DE是△BCG的中位线，得DE∥BG，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得BF＝DE，再由三角形中位线定理得DE＝BG＝2，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AG＝AC，AE⊥CG，
∴CE＝GE，
∵点D是边BC的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
∴DE∥BG，
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：∵AG＝AC＝6，AB＝10，
∴BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE，
由（1）可知，DE是△BCG的中位线，
∴DE＝BG＝2，
∴BF＝DE＝2，
即BF的长为2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
（1）求证：AE＝CF．
（2）连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，求BD的长．
【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△CDF，可得AE＝CF；
（2）结合（1）中条件证明四边形BEDF为平行四边形，由平行四边形的性质得OB＝OD，，再由勾股定理求出OB＝5，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：由△ABE≌△CDF得：BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OB＝OD，，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴，
∴BD＝2OB＝10．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
41．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE＝，求 ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再由点E，F分别为OB，OD的中点，推导出OE＝OF，即可证明△AOE≌△COF，AE＝CF；
（2）由∠BAC＝90°，点E是OB的中点，求得OB＝2AE＝，由勾股定理求得OA＝＝2，则AC＝2OA＝4，所以BC＝＝5，即可求得 ABCD的周长为16．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∵OE＝OF，
在△AOE和△COF，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵∠BAC＝90°，点E是OB的中点，AB＝3，AE＝，
∴OB＝2AE＝2×＝，
∴OA＝＝＝2，
∴AC＝2OA＝2×2＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴2AB+2BC＝2×3+2×5＝16，
∴ ABCD的周长为16．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的周长等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
42．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，再证AE∥CF，然后证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AE＝4，则DE＝4，再由全等三角形的性质得DF＝BE＝2，则EF＝2，然后由平行四边形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∵∠ADE＝30°，AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
∴DE＝＝＝4，
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，AE⊥EF，
∴S平行四边形AECF＝AE EF＝4×2＝8．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
43．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且BE＝DG，AH＝CF．求证：EG、FH互相平分．
【分析】连接EF、FG、GH、HE，由平行四边形的性质可知∠A＝∠C，AB＝CD．结合题意易得出AE＝CG，进而可证△AEH≌△CGF（SAS），得出EH＝GF．同理可证GH＝EF．即得出四边形EFGH是平行四边形，最后由平行四边形的性质即得出EG、FH互相平分．
【解答】证明：如图，连接EF、FG、GH、HE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD．
∵BE＝DG，
∴AB﹣BE＝CD﹣DG，即AE＝CG．
在△AEH和△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF．
同理可证GH＝EF．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG、FH互相平分．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
44．如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABC+∠DCB＝180°，所以∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，则∠EHG＝90°，同理可证明∠EFG＝90°，∠FEH＝∠AEB＝90°，即可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．
【解答】解：四边形EFGH是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠BAD+∠CDA＝180°，∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，∠BAD+∠CDA＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∵∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠DCB，
∴∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠EHG＝90°，
同理，∠FAD+∠FDA＝∠BAD+∠CDA＝90°，∠EAB+∠EBA＝∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠EFG＝90°，∠FEH＝∠AEB＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、矩形的判定等知识，证明四边形EFGH有三个内角为直角是解题的关键．
45．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，过点A作AE⊥CD于点E，且，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的长．
【分析】由平行四边形的性质得∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，而∠AED＝90°，则∠EAD＝∠EDA＝45°，所以DE＝AE＝2，再证明∠DAF＝∠BCE＝135°，进而证明△DAF≌△BCE，得AF＝CE＝DE＝1，则EF＝3，即可根据勾股定理求得DF＝＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴DE＝AE＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠DAF＝180°﹣∠EAD＝135°，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS），
∴AF＝CE＝DE＝×2＝1，
∴EF＝AE+AF＝2+1＝3，
∴DF＝＝＝，
∴DF的长是．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠ADC＝∠ABC＝45°及△DAF≌△BCE是解题的关键．
46．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．
（1）求证：
①AB∥CD；
②2∠P+∠ECB＝180°；
（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．
【分析】（1）①根据平行线的性质和等量代换可得：∠ABC+∠DCB＝180°，从而得结论；
②如图1，过点P作PG∥CD，根据平行线的性质得：∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，由角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理可得结论；
（2）如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，∠D＝2y，∠DFC＝3y，根据△BPC中三角形的内角和定理可得x的值，由平行线的性质和角平分线的定义表示∠CBP＝y，∠BCP＝2∠BCF＝6y，列方程可得y的值，从而可以解答．
【解答】（1）证明：①∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴AB∥CD；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，
∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ECP，
如图1，过点P作PG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，
∴∠BPC＝∠BPG+∠CPG＝∠ABP+∠DCP＝∠PBC+∠ECP，
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠ECP+∠ECB＝180°，
∴2∠BPC+∠ECB＝180°；
（2）解：如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠DEC＝4x，
由（1）知：2∠P+∠ECB＝180°，
∴6x+4x＝180，
∴x＝18°，
∴∠P＝54°，
∵3∠D＝2∠DFC，
∴设∠D＝2y，∠DFC＝3y，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠D＝180°，∠BCF＝∠DFC＝3y，
∴∠ABC＝∠D＝2y，
∴∠CBP＝y，
∵CF平分∠BCP，
∴∠BCP＝2∠BCF＝6y，
△BCP中，∠CBP+∠P+∠BCP＝180°，
∴y+54°+6y＝180°，
∴y＝18°，
∴∠PCF＝3y＝3×18°＝54°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用相关定义与性质求解角的度数是解题的关键．
47．定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形，用等式表示AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系并证明；
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形ABFE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝4，，求线段DE的长．
【分析】（1）根据垂美四边形和勾股定理解答即可；
（2）如图，连接CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（1）的结论计算即可．
【解答】解：（1）AD2+BC2＝AB2+CD2，
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）如图2，连接CD、BE、DE，
∵正方形ACGD和正方形ABFE，
∴AD＝AC，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠DAB＝∠CAE，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABD+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABD+∠BMN＝90°，
即CE⊥BD，
∴四边形CDEB是垂美四边形，
由（2）得，CD2+BE2＝CB2+DE2，
∵AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝2，
∵CD＝AC＝2，BE＝AB＝4，
∴DE2＝CD2+BE2﹣CB2＝（2）2+（4）2﹣22＝52，
∴DE＝2．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
48．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点．
求证：DE∥BC，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF． 方法二证明：如图，过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M．
【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明四边形BDFC是平行四边形，问题得证；
方法二：结合已给出的辅助线，先证明四边形AMFB是平行四边形，再证明△AME≌△CFE，接着证明四边形AMED是平行四边形，问题得证；
【解答】解：方法一：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF．
∵D、E分别是△ABC的边AB，AC中点，
∴，AE＝EC＝AC，
又∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴BD∥CF，BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，即DE∥BC，
∵EF＝DE，
∴，
∴；
方法二：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M，
同理有：，，
∵EF∥AB，AM∥BC，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴AM＝FB，AM∥FB，AB＝MF，
∴∠AME＝∠EFC，∠MAE＝∠ECF，∠AME＝∠EFC，
∵AE＝EC，
∴△AME≌△CFE（AAS），
∴AM＝FC，EM＝EF，
∴，
∵AB＝MF，
∴，
∵EF∥AB，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AM＝ED，AM∥ED，
∵AM＝FC，AM＝FB，AM∥BC，
∴，
∴DE∥BC，．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质证明等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
49．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，点F在BC上，点E为AF的中点，连接AF，BE，ED，DF，BF＝DE．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若，BD＝6，求AB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AD＝DC，进而利用三角形中位线定理得出DE∥BF，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝DC，
∵点E为AF的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE∥BF，
∵DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，
设DE＝a，则CF＝2DE＝2a，BF＝DE＝a，
∴BC＝AB＝3a，
∵AC＝2DE＝2a，
∴DC＝DE＝a，
在Rt△BDC中，DB2+DC2＝BC2，
即，
解得：a＝±（负值舍去），
∴DE＝，
∴AB＝3．
【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及勾股定理解答．
50．如图，已知AC＝AE，BC＝BE，BC∥AD，CD⊥CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AD＝CD＝5，AC＝6，求CE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB⊥CE，推出AB∥CD，根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠ACB，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）过A作AH⊥CD于H，根据勾股定理和矩形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝AE，BC＝BE，
∴AB垂直平分CE，
∴AB⊥CE，
∵CD⊥CE，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥CD于H，
∴AH∥CF，
∴四边形AHCF是矩形，
∴CF＝AH，
∴AC2﹣CH2＝AD2﹣DH2，
∵AD＝CD＝5，AC＝6，
∴52﹣DH2＝62﹣（5﹣DH）2，
∴DH＝1.4，
∴AH＝，
∴CF＝4.8，
由（1）△AEB≌△ACB，
∴AE＝AC，∠EAF＝∠CAF，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFC（SAS），
∴EF＝CF，
∴CE＝2CF，
∴CE＝9.6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
51．如图，在 ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ 4 ．
【分析】（1）由AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，得∠AEB＝∠CEM＝∠CFB＝90°，则∠BAE＝∠MCE＝90°﹣∠B，由∠EAC＝∠ECA＝45°，得AE＝CE，即要根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABE≌△CME，得AB＝CM；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，由△ABE≌△CME，得AB＝CM，∠B＝∠CME，则CM＝CD，∠CME＝∠ADC，所以∠AMC＝∠GDC，而AM＝GD＝CN，即可证明△ACM≌△GCD，得AC＝GC，∠ACM＝∠GCD，则∠ACG＝∠MCD＝90°，所以△ACG是等腰直角三角形；
（3）由AD＝3，AM＝GD＝，得AG＝AD+GD＝4，由勾股定理得AC2+GC2＝2GC2＝AG2＝（4）2，则GC＝4，再证明四边形CGDN是平行四边形，则DN＝GC＝4．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB＝∠CEM＝∠CFB＝90°，
∴∠BAE＝∠MCE＝90°﹣∠B，
∵∠AEC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠EAC＝∠ECA＝45°，
∴AE＝CE，
在△ABE和△CME中，
，
∴△ABE≌△CME（ASA），
∴AB＝CM．
（2）△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，
∴∠MCD＝∠CFB＝90°，
∵△ABE≌△CME，
∴AB＝CM，∠B＝∠CME，
∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，
∵∠AMC+∠CME＝180°，∠GDC+∠ADC＝180°，
∴∠AMC＝∠GDC，
∵AM＝CN，GD＝CN，
∴AM＝GD，
在△ACM和△GCD中，
，
∴△ACM≌△GCD（SAS），
∴AC＝GC，∠ACM＝∠GCD，
∴∠ACG＝∠ACD+∠GCD＝∠ACD+∠ACM＝∠MCD＝90°，
∴△ACG是等腰直角三角形．
（3）解：∵AD＝3，AM＝GD＝，
∴AG＝AD+GD＝3+＝4，
∵AC＝GC，∠ACG＝90°，
∴AC2+GC2＝2GC2＝AG2＝（4）2，
∴GC＝4，
∵DG＝NC，DG∥NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN＝GC＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明△ABE≌△CME及△ACM≌△GCD是解题的关键．
52．在 ABCD中，∠ACD＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，以AB为斜边作Rt△AEB，∠AEB＝90°，连接EM，如图．
（1）填空：与∠CAE相等的角是 ∠ABE ；
（2）求证：BE＝AE+ME；
（3）利用前面的结论，EM＝，AE＝6，求AD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠BAC＝∠ACD＝90°，所以∠CAE+∠BAE＝90°，因为∠AEB＝90°，所以∠ABE+∠BAE＝90°，则∠ABE＝∠CAE，于是得到问题的答案；
（2）在BE上截取BF＝AE，连接FM、AM，可证明△MBF≌△MAE，得BF＝AE，MF＝ME，∠BMF＝∠AME，则∠EMF＝∠AMB＝90°，由勾股定理得EF＝＝ME，即可证明BE＝AE+ME；
（3）由EM＝，AE＝6，得BF＝AE＝6，EF＝EM＝2，则BE＝8，所以AC＝AB＝＝10，则AD＝BC＝＝10．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ACD＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAE，
故答案为：∠ABE.
（2）证明：在BE上截取BF＝AE，连接FM、AM，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点M为BC的中点，
∴AM⊥BC，AM＝BM＝CM＝BC，∠MAC＝∠MAB＝∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠MAC＝45°，
∵∠ABE＝∠CAE，
∴∠MBF＝∠ABC﹣∠ABE＝∠MAC﹣∠CAE＝∠MAE，
在△MBF和△MAE中，
，
∴△MBF≌△MAE（SAS），
∴BF＝AE，MF＝ME，∠BMF＝∠AME，
∴∠EMF＝∠AMF+∠AME＝∠AMF+∠BMF＝∠AMB＝90°，
∴EF＝＝＝ME，
∵BE＝BF+EF，
∴BE＝AE+ME．
（3）解：∵EM＝，AE＝6，
∴BF＝AE＝6，EF＝EM＝×＝2，
∴BE＝BF+EF＝6+2＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴AD＝BC＝＝＝10，
∴AD的长是10．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
53．如图1，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．
（1）若AB＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．
求证：四边形BFDG是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAF＝∠E，再由角平分线定义得∠DAF＝∠BAE，则∠BAE＝∠E，然后由等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）证△ADF≌△ECF（AAS），得AF＝EF，再由等腰三角形的性质得BF⊥AE，则DG∥BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝6，即BE的长为6；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
由（1）可知，BE＝AB，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG∥BF，
又∵DF∥BG，
∴四边形BFDG是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE＝∠A，根据题意得到∠DEF＝∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠BDE，
∴AD∥EF，
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：四边形AEGF是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF＝DE，
∵EG＝DE，
∴AF∥DE，AF＝GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD＝AG，EG＝DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
55．在平面直角坐标系中，O为原点，∠BAO＝30°，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
【分析】（1）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°，由旋转的性质得DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝，进而得出答案；
（2）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC＝OB，得出OE＝DC，再求出∠DCA＝∠OFA＝60°，证出OE∥DC即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠BAO＝30°，点B（0，1），
∴OB＝1，AB＝2
根据勾股定理得OA＝，
由旋转的性质得，DA＝OA＝，
过D作DM⊥OA于M，
如图①所示：
则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，
∴OM＝AO AM＝，
∴D（，）；
（2）证明：延长OE交AC于F，
如图②所示：
在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，
∴OE＝BE＝AE，∠ABO＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴OE＝OB，∠BOE＝60°，
∴∠EOA＝30°，
由旋转的性质得DC＝OB，
∴OE＝DC．
∵α＝60°，
∴∠OAD＝60°，
由旋转的性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，
∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，
∴∠OFA＝90° ∠EOA＝90° 30°＝60°，
∴∠DCA＝∠OFA，
∴OE∥DC，
∴四边形OECD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的判定和旋转的性质是解题的关键．
56．在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L N+
Ⅰ 6 3 8 7
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ 5.5 2 9 6.5
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 S＝N+﹣1 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
【分析】（1）由三角形，梯形面积公式可求图形的面积，由图形可知图形内部格点数，边上格点数；
（2）由（1）即可总结结论；
（3）用m，n表示出长方形的面积，长方形内部格点数，边上格点数，即可解决问题．
【解答】解：（1）Ⅰ的面积是×3×4＝6，内部格点数是N＝3，边上的格点数是L＝8，N+＝7，
Ⅲ的面积是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，内部格点数是N＝2，边上的格点数是L＝9，N+＝6.5．
故答案为：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．
（2）由（1）可以总结出结论：S＝N+﹣1，
故答案为：S＝N+﹣1．
（3）长方形的面积＝mn，内部格点数是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，边上的格点数是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），
∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，
∴S＝N+﹣1．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是由长方形的长AB＝m，宽CD＝n，表示出，长方形内部格点数，边上格点数．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB＝AC，由等腰三角形的性质得出BM＝CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM＝BC＝5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口．
58．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 120° ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 60° ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【分析】（1）①利用角平分线的定义求出∠BON，根据平行线的性质可得出答案；
②当∠BAD＝∠ABD时，利用三角形内角和定理求出∠BAO，进而可得∠OAC的度
同课章节目录
- 第一章 二次根式
- 1.1 二次根式
- 1.2 二次根式的性质
- 1.3 二次根式的运算
- 第二章 一元二次方程
- 2.1 一元二次方程
- 2.2 一元二次方程的解法
- 2.3 一元二次方程的应用
- 2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）
- 第三章 数据分析初步
- 3.1 平均数
- 3.2 中位数和众数
- 3.3 方差和标准差
- 第四章 平行四边形
- 4.1 多边形
- 4.2 平行四边形
- 4.3 中心对称
- 4.4 平行四边形的判定
- 4.5 三角形的中位线
- 4.6 反证法
- 第五章 特殊平行四边形
- 5.1 矩形
- 5.2 菱形
- 5.3 正方形
- 第六章 反比例函数
- 6.1 反比例函数
- 6.2 反比例函数的图象和性质
- 6.3 反比例函数的应用