浙教版八年级下册期末复习第5章特殊平行四边形好题精选60题（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版八年级下册期末复习第5章特殊平行四边形好题精选60题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-15 06:56:07 | ||
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文档简介
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第5章特殊平行四边形好题精选60题
一．选择题（共15小题）
1．在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线l上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．16 C．41 D．55
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
4．如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝4，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2.5
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（ ）
A．3 B．2.5 C． D．2
8．如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，G是AD边中点，F在AB边上，且∠GCF＝45°，则FB的长是（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若OH＝1，，则DH的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就能要求△AEC的面积（ ）
A．△ABE与△BEC面积之差 B．△ADE与△BEC面积之差
C．△DEC与△BEC面积之差 D．△ADC与△DEC面积之差
13．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．45° D．72°
14．如图，正方形ABCD的边长为a，E为AB边上的动点，连接CE，点B关于直线CE的对称点是B'，连接AB'、B'D，下列说法：①∠DB'B＝135°；②∠ECB+∠ADB'的度数保持不变；③当AB'＝B'D时，AE＝（1﹣）a；④若AE＝2BE，则DB'＝2AB'．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4，其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共20小题）
16．如图，在菱形ABCD中，连接AC，AC＝10，∠B＝45°，则菱形的面积为 ．
17．如图，四边形ABCD为长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，满足AC＝AG＝GF，则∠DAC与∠ECB的比值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C（2，），则点A的坐标为 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
20．如图，在正方形ABCD的CD边上取一点E（不与点C，D重合），以线段CE为边在CD的右侧作正方形ECGF，分别连接AF，DG且相交于O，则∠AOD度数为 ．
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
22．如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE＝1，CD＝6，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BF＝DE，连接AF，EF，过点A作AG⊥FE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为 ．
23．如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF＝90°．若OE＝3，OF＝2，则BE的长为 ．
24．如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线上BD的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：
①存在无数个平行四边形MENF； ②存在无数个矩形MENF； ③存在无数个菱形MENF； ④存在两个正方形MENF．其中正确的结论是 （填写序号）．
25．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④．
其中正确的是 ．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，GF⊥EF交AB于G，作矩形EFGH，当F点到达B点时停止运动，E点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当阴影部分的面积为10时，t的值为 ．
27．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连接OC．若，则另一条直角边BC的长为 ．
29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ACOB和正方形GFEO的面积分别是1与2，正方形GFEO沿x轴向右平移，若平移后正方形GFEO与正方形ACOB重叠部分的面积为，则F点移动后的坐标是 ．
30．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则构成等腰三角形EFP的个数为 ，其中一个等腰三角形边EP最长是 cm．
31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．则下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为．其中正确的是 ．（填写序号）
32．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝1，BC＝2，P是线段BC上一动点，M是线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，△ADM是 （填“锐角、直角、钝角”）三角形；BM长的最小值为 ．
33．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别为AD，AB上一点，且DE＝BF，连接BE，CF，则BE+CF的最小值为 ．
34．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为点F．若DF＝4，则BD＝ ．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
三．解答题（共25小题）
36．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t．
（1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
（2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
37．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：BD＝CF；
（2）连接CD，BF．如果D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形CDBF是矩形？证明你的结论．
38．如图，四边形ABCD为矩形，延长DC至E，使CE＝CB，连接AE交BD于点G，交BC于点F，且CD＝CF．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求证：EG﹣BG＝CG．
39．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点，BE＝DF，求证：EC＝FC．
40．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）请对△ABC的边或角添加一个条件，使得四边形ADCF成为菱形，并进行证明．
41．已知：点C在线段AB上（BC＜AC），分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图1，判断AF与BD的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点H在AC上（点H不与点C重合），且∠EHG＝90°，求证：四边形AFGH是平行四边形．
42．已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E，F．CE＝4，CF＝2．
（1）求证：四边形PFCE为矩形；
（2）求AP的长．
43．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，点F在正方形的外角平分线上，且∠AEF＝90°，点G为边AB的中点，求证：EG＝CF．
44．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 ，琪琪的思路 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
45．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
46．如图1，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于点M，交BC边于点N，ME⊥AB，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AEMF是正方形；
（2）如图2，过点C作CG∥MN，若AB＝2，BC＝5，求四边形ANCG的面积．
47．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF＝，求∠ACD的度数及BD的长．
48．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．
（1）如图1，求证：AP＝AQ；
（2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
50．如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．
51．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠DBC＝180°．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，a＝ ．（直接写出答案）
52．已知：如图，四边形ABCD是矩形，分别延长AD，CD到点E，F，使DE＝AD，DF＝CD，连接AC，AF，EF，EC．
（1）求证：四边形ACEF是菱形；
（2）连接BE，如果四边形ACEF的周长是，CF＝2，求BE的长．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若AC＝3cm，BC＝4cm，求线段DG的长度．
54．如图1，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，OA＝2，OC＝4，点B在第一象限．
（1）点B的坐标为 ；
（2）如图2，点P是线段CB延长线上的点，连接AP，OP，则∠POC，∠APO，∠PAB三个角满足的关系是什么？并说明理由；
（3）在（2）的基础上，已知：∠PAB＝20°，∠POC＝50°，在第一象限内取一点F，连接OF，AF，满足∠PAB＝2∠FAP，∠POC＝2∠FOP，请直接写出的值．
55．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
56．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．
（1）求证：∠BAE＝∠DAF；
（2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
57．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
58．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．
（1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数；
（2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长；
（3）当AE＝时，求BP的长．
59．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
60．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得∠BOC＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴，，
∵BC＝5，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°是解题的关键．
2．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线l上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．16 C．41 D．55
【分析】根据正方形的性质得出∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，求出∠FEG＝∠HGM，证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH，GM＝EF，求出EF2＝7，HM2＝15，求出B的面积为EG＝EF2+FG2＝EF2+HM2，代入求出即可．
【解答】解：根据正方形的性质得出∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，
∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠HGM＝90°，
∴∠FEG＝∠HGM，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG＝MH，GM＝EF，
∵a和c的面积分别为5和11，
∴EF2＝5，HM2＝11，
∴b的面积为EG＝EF2+FG2＝EF2+HM2＝5+11＝16，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出FG＝MH，题目比较典型，难度适中．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，也可能是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
4．如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝4，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接DE，先证明△ABE≌△ADE，得出DE＝BE，从而得出DE＝EF＝4，证明∠DEF＝180°﹣∠AED﹣∠CEF＝90°，说明△DEF为直角三角形，根据勾股定理求出结果即可．
【解答】解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴DE＝BE，
∵BE＝EF＝4，
∴DE＝EF＝4，
∵AB＝AE，
∴AD＝AE，
∴，
∴∠EBF＝90°﹣∠ABE＝22.5°，
∵BE＝EF，
∴∠BFE＝∠EBF＝22.5°，
∴∠CEF＝∠BCA﹣∠BFE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠DEF＝180°﹣∠AED﹣∠CEF＝90°，
∴△DEF为直角三角形，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△DEF为直角三角形．
5．如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）
【分析】根据点A和点B的坐标，分别求出每个长方形的长和宽，即可求解．
【解答】解：如图，∵A（2，9），B（6，3），
∴D（6，9），
∴AD＝6﹣2＝4，BD＝9﹣3＝6，
∴每个长方形的长为6÷3＝2，宽为4÷4＝1，
∴点C的坐标为：（2+1×2，9﹣2×2），即（4，5），
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，正确求出长方形的长和宽是解题的关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2.5
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵s菱形ABCD＝AC BD＝24，
∴，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（ ）
A．3 B．2.5 C． D．2
【分析】根据菱形的面积公式求出BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出OE．
【解答】解：菱形ABCD的面积为，，
可得AC＝8，解得BD＝4，
在Rt△BDE中，．
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质和直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半是解题关键．
8．如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
【分析】过D作DH⊥x轴于H，由在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，得AB＝＝，∠BAO＝45°，根据四边形ABCD是正方形，可得D（3，1），又将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，知每旋转8次回到初始位置，第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，即可得到答案．
【解答】解：过D作DH⊥x轴于H，如图：
∵在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，
∴AB＝＝，∠BAO＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝＝1，
∴OH＝OA+AH＝3，
∴D（3，1），
∵将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，
∴每旋转8次回到初始位置，
∵98÷8＝12......2，
∴第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，
∴第98次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，3），
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及旋转变换，解题的关键是掌握正方形的性质，找到旋转的规律．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
【分析】连接AD．由勾股定理可求出BC＝10，又易证四边形AMDN为矩形，即得出AD＝MN，说明当AD最小时，MN最小．又可知当AD⊥BC时，AD最小，结合等积法求出AD的值，即可求出线段MN的最小值．
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴四边形AMDN为矩形，
∴AD＝MN，
∴当AD最小时，MN最小．
当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB AC＝AD BC，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8，
∴线段MN的最小值为4.8．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，并结合矩形的判定和性质理解当AD最小时，MN最小是解题关键．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，G是AD边中点，F在AB边上，且∠GCF＝45°，则FB的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】如图，过点C作CE⊥CG于C，交AB的延长线于E，证明△DCG≌△BCE和△FCG≌△FCE（SAS），设BF＝x，则AF＝4﹣x，FG＝FE＝2+x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥CG于C，交AB的延长线于E，
∵G是AD的中点，AD＝4，
∴DG＝AG＝2，
∵∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝45°＝∠FCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBE＝90°＝∠D，
∵∠DCG+∠BCG＝∠BCG+∠BCE＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∴△DCG≌△BCE（ASA），
∴DG＝BE＝2，CG＝CE，
∵CF＝CF，
∴△FCG≌△FCE（SAS），
∴FG＝FE，
设BF＝x，则AF＝4﹣x，FG＝FE＝2+x，
在Rt△AFG中，FG2＝AG2+AF2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴BF＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若OH＝1，，则DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理证明△ADB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点O是BD中点，
∵DH⊥AB，OH＝1，
∴BD＝2，
∴OD＝1，
∵，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：，
∴AD＝BD＝AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴AH＝1，
∴Rt△AHD中，由勾股定理得：；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
12．如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就能要求△AEC的面积（ ）
A．△ABE与△BEC面积之差 B．△ADE与△BEC面积之差
C．△DEC与△BEC面积之差 D．△ADC与△DEC面积之差
【分析】过E作EM⊥AB于M，延长ME交CD于N，由四边形ABCD是矩形，得到AB∥DC，AB＝DC，由△EAB的面积＝AB EM，△ECD的面积＝DC EN，推出△EAB的面积+△ECD的面积＝△ABC的面积，而△AEC的面积＝△ABC的面积﹣△ABE的面积﹣△BEC的面积，于是即可得到答案．
【解答】解：过E作EM⊥AB于M，延长ME交CD于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴EN⊥DC，
∵△EAB的面积＝AB EM，△ECD的面积＝DC EN，
∴△EAB的面积+△ECD的面积＝AB （EM+EN）＝AB MN＝矩形ABCD的面积×，
∵△ABC的面积＝矩形ABCD的面积×，
∴△EAB的面积+△ECD的面积＝△ABC的面积，
∵△AEC的面积＝△ABC的面积﹣△ABE的面积﹣△BEC的面积，
∴△AEC的面积＝△EAB的面积+△ECD的面积﹣△ABE的面积﹣△BEC的面积＝△ECD的面积﹣△BEC的面积．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出△EAB的面积+△ECD的面积＝△ABC的面积．
13．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．45° D．72°
【分析】由矩形的性质得到∠BAD＝90°，OA＝OB，得到∠ABO＝∠BAO，由∠DAE：∠BAE＝3：1，求出∠BAE的度数，即可求出∠BAO的度数，从而求出∠EAO的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD 矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝×90°＝22.5°
∵AE⊥BO，
∴∠ABO+∠BAE＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，
∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是掌握矩形的性质．
14．如图，正方形ABCD的边长为a，E为AB边上的动点，连接CE，点B关于直线CE的对称点是B'，连接AB'、B'D，下列说法：①∠DB'B＝135°；②∠ECB+∠ADB'的度数保持不变；③当AB'＝B'D时，AE＝（1﹣）a；④若AE＝2BE，则DB'＝2AB'．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】①连接B′C，根据正方形的性质可得CB＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°，再由轴对称的性质可得CB′＝CB＝CD，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理即可判断①；
②在①的基础上可推出∠ADB′＝∠B′CD，再由轴对称性质可得∠ECB＝∠BCB′，即可判断②；
③先证明△BAB′≌△CDB′（SAS），再证得△BCB′是等边三角形，推出∠ECB＝∠BCB′＝30°，再运用解直角三角形即可判断③；
④连接CB′，设CE交BB′于G，延长BB′交AD于H，过点B′作B′F∥CE交AB于F，由B′F∥CE，可得＝＝1，推出BE＝a，AE＝a，AF＝EF＝BE＝a，BF＝a，利用解直角三角形可得出＝，结合∠DHB′＝∠AFB′，可证得△DHB′∽△AFB′，即可判断④．
【解答】解：①如图1，连接B′C，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵点B关于直线CE的对称点是B'，
∴CB′＝CB＝CD，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝（180°﹣∠BCB′），∠CB′D＝∠CDB′＝（180°﹣∠B′CD），
∴∠DB′B＝∠CB′D+∠CB′B
＝（180°﹣∠B′CD）+（180°﹣∠BCB′）
＝180°﹣（∠BCB′+∠B′CD）
＝180°﹣∠BCD
＝180°﹣×90°
＝135°，
故①正确；
②由①得：∠CBB′＝∠CB′B＝（180°﹣∠BCB′），∠CB′D＝∠CDB′＝（180°﹣∠B′CD），
∴∠BCB′＝90°﹣∠CB′B，∠B′CD+∠CDB′＝90°，
∵∠ADB′+∠CDB′＝90°，
∴∠ADB′＝∠B′CD，
∵点B关于直线CE的对称点是B'，
∴∠ECB＝∠BCB′，
∴∠ECB+∠ADB'＝∠BCB′+∠B′CD＝（∠BCB′+∠B′CD）＝∠BCD＝45°，
即∠ECB+∠ADB'的度数为45°保持不变，故②正确；
③如图2，
∵AB'＝B'D，
∴∠B′AD＝∠B′DA，
∴90°﹣∠B′AD＝90°﹣∠B′DA，
即∠BAB′＝∠CDB′，
在△BAB′和△CDB′中，
，
∴△BAB′≌△CDB′（SAS），
∴BB′＝CB′，
∴CB′＝BC，
∴CB′＝BC＝BB′＝a，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ECB＝∠BCB′＝30°，
∴BE＝BC tan∠ECB＝a tan30°＝a，
∴AE＝AB﹣BE＝a﹣a＝（1﹣）a，
故③错误；
④如图3，连接CB′，设CE交BB′于G，延长BB′交AD于H，过点B′作B′F∥CE交AB于F，
∵点B关于直线CE的对称点是B'，
∴G是BB′的中点，BG＝B′G，BB′⊥CE，
∵B′F∥CE，
∴＝＝1，
∴BE＝EF，
∵AE＝2BE，AB＝a，
∴BE＝a，AE＝a，
∴AF＝EF＝BE＝a，BF＝a，
∵∠ECB+∠CBG＝∠HBA+∠CBG＝90°，
∴∠HBA＝∠ECB，
∵∠BAH＝∠CBE＝90°，AB＝BC＝a，
∴△BHA≌△CEB（ASA），
∴∠BHA＝∠CEB，BH＝CE，AH＝BE＝a，
∴DH＝AD﹣AH＝a﹣a＝a，
∵B′F∥CE，
∴∠CEB＝∠BFB′，∠BB′F＝∠CGB′＝90°，
∴∠BHA＝∠BFB′，
∴180°﹣∠BHA＝180°﹣∠BFB′，
即∠DHB′＝∠AFB′，
由勾股定理得：BH＝CE＝＝＝a，
∵sin∠CEB＝sin∠BFB′，
∴＝，即＝，
∴BB′＝a，
∴B′H＝BH﹣BB′＝a﹣a＝a，
∵cos∠CEB＝cos∠BFB′，
∴＝，即＝，
∴B′F＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠DHB′＝∠AFB′，
∴△DHB′∽△AFB′，
∴＝＝＝2，
∴DB′＝2AB′，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，涉及知识点较多，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4，其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据已知条件可得EF＝AE+FC，即可判断①，进而推出∠EDF＝45°，判断②正确，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，证明△GMN是直角三角形，结合勾股定理验证③．
【解答】解：∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，
∴BE+BF+EF＝AB+BC，
∴EF＝AE+FC，
若AE＝2，CF＝3，则EF＝2+3＝5，故①错误；
如图，在BA的延长线上取点H，使得AH＝CF，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，
在△AHD和△CFD中，
，
∴△AHD≌△CFD（SAS），
∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，
又∵EF＝AE+CF，
∴EF＝AE+AH＝EH，
在△DEH和△DEF中，
，
∴△DEH≌△DEF（SSS），
∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°
∴∠EDF＝∠HDE＝45°，
∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，
∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFC+∠EDF+∠DEF＝180°，
则∠EFN+∠EMN＝180°，故②正确；
如图，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，
在△AED和△GED中，
，
∴△AED≌△GED（AAS），
同理，△GDF≌△CDF（AAS），
∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，
∴点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称，
∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，
∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，
若AM＝2，CN＝3，
∴GM＝2，GN＝3，
在Rt△GMN中，MN＝＝，故③错误；
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
二．填空题（共20小题）
16．如图，在菱形ABCD中，连接AC，AC＝10，∠B＝45°，则菱形的面积为 ．
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°，根据∠B＝45°，进一步可得BH＝AH，设BH＝AH＝x，根据勾股定理，可得AB的长，根据菱形的性质可得BC的长，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程，可得x2＝50+25，根据菱形ABCD的面积为BC AH＝求解即可．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BAH＝45°，
∴BH＝AH，
设BH＝AH＝x，
根据勾股定理，得AB＝＝，
在菱形ABCD中，BC＝AB＝，
∴CH＝﹣x，
∵AC＝10，
在Rt△ACH中，根据勾股定理，得，
∴x2＝50+25，
∴菱形ABCD的面积为BC AH＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
17．如图，四边形ABCD为长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，满足AC＝AG＝GF，则∠DAC与∠ECB的比值为 3 ．
【分析】由AC＝AG，得∠ACG＝∠AGC；由AG＝GF，得∠GAF＝∠F，则∠ACG＝∠AGC＝2∠F；由矩形的性质得AD∥CB，则∠F＝∠ECB，所以∠ACG＝2∠ECB，则∠DAC＝∠ACB＝3∠ECB，所以∠DAC与∠ECB的比值为3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC＝AG，
∴∠ACG＝∠AGC，
∵AG＝GF，
∴∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝∠BAF+∠F＝2∠F，
∴∠ACG＝2∠F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠F＝∠ECB，
∴∠ACG＝2∠ECB，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝3∠ECB，
∴＝3，
故答案为：3．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、矩形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACG＝2∠F是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C（2，），则点A的坐标为 （﹣，2） ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据点C的坐标求出OE、CE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形的性质可得OD＝CE，AD＝OE，然后写出点A的坐标即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵C点坐标为（2，），
∴OE＝2，CE＝，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠AOD+∠COE＝90°
∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OD＝CE＝，AD＝OE＝2，
∴点A（﹣，2）；
故答案为：（﹣，2）．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
【分析】取AB的中点O，连接OC，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且OC和OG的长度是定值，因此当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，根据勾股定理求出OC，则CG的最小值为OC﹣OG．
【解答】解：取AB的中点O，连接OC，如图，
根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，
∵OC和OG的长度是定值，
∴当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝OG＝＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝，
∴CG的最小值为OC﹣OG＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理，根据题意得出点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值是解题关键．
20．如图，在正方形ABCD的CD边上取一点E（不与点C，D重合），以线段CE为边在CD的右侧作正方形ECGF，分别连接AF，DG且相交于O，则∠AOD度数为 45° ．
【分析】连接AC，FC，由四边形ABCD，四边形ECGF是正方形，可得＝，∠ACF＝90°＝∠DCG，故△ACF∽△DCG，可得∠CAF＝∠CDG，即知∠DAF+∠CDG＝45°，从而∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣（∠DAF+∠CDG）＝45°．
【解答】解：连接AC，FC，如图：
∵四边形ABCD，四边形ECGF是正方形，
∴＝，∠DAC＝∠DCA＝45°，＝，∠ECF＝∠GCF＝45°，
∴＝，∠ACF＝90°＝∠DCG，
∴△ACF∽△DCG，
∴∠CAF＝∠CDG，
∵∠DAF+∠CAF＝45°，
∴∠DAF+∠CDG＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣（∠DAF+∠CDG）＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 AE⊥BC（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：这个条件可以是AE⊥BC，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，
即CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形，
故答案为：AE⊥BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
22．如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE＝1，CD＝6，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BF＝DE，连接AF，EF，过点A作AG⊥FE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为 ．
【分析】如图，连接CG，过点G作GH⊥CF于H，先用勾股定理计算AE＝，证明△ADE≌△ABF（SAS），得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，则△AEF是等腰三角形，EF＝AE＝，利用直角三角形斜边中线可得CG的长，由三角形中位线定理可得GH的长，最后用勾股定理可得结论．
【解答】解：如图，连接CG，过点G作GH⊥CF于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵DE＝1，AD＝CD＝6，
∴AE＝＝，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，
∵AG⊥EF，
∴EG＝FG，
∵GH∥CE，
∴FH＝CH＝，
∴GH是△FEC的中位线．
∴GH＝CE＝，
∴BH＝6﹣＝，
∴BG＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF＝90°．若OE＝3，OF＝2，则BE的长为 2 ．
【分析】如图，连接AE，OF是△ACE的中位线，则，OF∥AE，AE＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，由勾股定理求AO的值，由矩形的性质可得OB＝OA，根据BE＝OB﹣OE，求解BE的值即可．
【解答】解：如图，连接AE，
由题意知，OF是△ACE的中位线，
∴，OF∥AE，
∴AE＝4，∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得，
由矩形的性质可得OB＝OA＝5，
∴BE＝OB﹣OE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．
24．如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线上BD的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：
①存在无数个平行四边形MENF； ②存在无数个矩形MENF； ③存在无数个菱形MENF； ④存在两个正方形MENF．其中正确的结论是 ①②③ （填写序号）．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
25．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④．
其中正确的是 ①③④ ．
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
在△AEB和△APD中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）故①正确；
③△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，AE＝1，
在Rt△ABF中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，GF⊥EF交AB于G，作矩形EFGH，当F点到达B点时停止运动，E点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当阴影部分的面积为10时，t的值为 1或3 ．
【分析】利用S矩形ABCD﹣S△ECF﹣S△GBF﹣S△AHG﹣S△DHE表示出阴影部分的面积，列出方程进行求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝4cm，∠B＝∠C＝90°，
∵点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，运动时间为t秒，
∴CE＝CF＝tcm，BF＝（4﹣t）cm，DE＝（6﹣t）cm，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，，
∵矩形EFGH，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠HGF＝90°，
∴∠BFG＝45°，∠HED＝45°，
∴∠BGF＝45°＝∠BFG，∠AGH＝45°，
∴BG＝BF＝（4﹣t）cm，
∴，AG＝AB﹣BG＝（t+2）cm，
过点H作HM⊥AG，HN⊥DE，垂足为：M，N，
则：∠HNE＝90°，∠HMG＝90°，
∴∠MHG＝45°＝∠MGH，∠NHE＝45°＝∠DEH，
∴NE＝NH＝EH＝（4﹣t）cm，HM＝MG＝GH＝tcm，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S△ECF﹣S△GBF﹣S△AHG﹣S△DHE
＝
＝﹣2t2+8t+4，
当阴影部分的面积为10时，
10＝﹣2t2+8t+4，
解得：t1＝1，t2＝3，
∵当F点到达B点时停止运动，
∴0≤t≤4，
∴t1＝1，t2＝3，均满足题意；
故答案为：1或3．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，用含t的代数式表示出阴影部分的面积，是解题的关键．
27．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 AB＝CD（答案不唯一） ．
【分析】根据三角形的中位线定理，得到：，根据四边相等的四边形是菱形，可以得到当AB＝CD时，即可得到四边形EGFH是菱形．
【解答】解：∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，
∴，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴当AB＝CD时，FH＝GE＝GF＝EH，
此时四边形EGFH是菱形；
∴可添加的条件为：AB＝CD；
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定．熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四边相等的四边形是菱形，是解题的关键．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连接OC．若，则另一条直角边BC的长为 5 ．
【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，可得四边形ACFM为矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，根据正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF＝4，求出BF，即可求出答案．
【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝3，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴CF＝OF＝4，
∴BF＝OM＝OF﹣FM＝4﹣3＝1，
∴BC＝CF+BF＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形，掌握等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ACOB和正方形GFEO的面积分别是1与2，正方形GFEO沿x轴向右平移，若平移后正方形GFEO与正方形ACOB重叠部分的面积为，则F点移动后的坐标是 或 ．
【分析】先由题意得出两个正方形的边长，然后再由平移后的正方形GFEO沿x轴向右平移与正方形ACOB重叠部分的面积为，分两种情况进行讨论，即可得出所求点的坐标．
【解答】解：∵正方形ACOB与正方形GFEO的面积为1和2，
∴，
设平移后的正方形为G1F1E1O1，
分两种情况：
如图1，当O1在正方形OB中点时，重叠部分的面积为，
此时，则；
如图2，当E1在OB中点时，，重叠部分的面积为，
此时，则，
故答案为：或．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化平移，运用分类讨论、数形结合是解题的关键．
30．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则构成等腰三角形EFP的个数为 3 ，其中一个等腰三角形边EP最长是 cm．
【分析】分三种情况当P1E＝EF，△EFP1是等腰三角形时，当P2F＝EF，△EFP2是等腰三角形时，当P3F＝P3E，△EFP3是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AE＝1，BF＝3，AB＝8，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4，BE＝EF+BF＝7，
如图所示，当P1E＝EF，△EFP1是等腰三角形时，则P1E＝EF＝4；
如图所示，当P2F＝EF，△EFP2是等腰三角形时，则P2F＝EF＝4；
在Rt△P2BF中，由勾股定理得，
在Rt△P2BE中，由勾股定理得；
如图所示，当P3F＝P3E，△EFP3是等腰三角形时，过点P3作P3H⊥EF于H，则四边形ADP3H是矩形，
∴AD＝P3H＝6，
∴，
在Rt△EP3H中，由勾股定理得，
综上所述，EP长是4或或，最长的为．
故答案为：3，．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．则下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为．其中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】连接BE，交FG于点O，由题意得∠EFB＝∠EGB＝90°，即可得四边形EFBG为矩形，得FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，用SAS即可得△ABE≌△ADE，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得∠BFG＝∠ADE，即可判断②，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，根据题意和角之间的关系得DE⊥FG，即可判断③，根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理得，即可得FG的最小值为，即可判断④．
【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴DE＝FG，
即①正确；
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠BFG＝∠ADE，
即②正确，
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由①得，∠ABE＝∠ADE，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠OFB＝∠ADE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°，
∴∠OFB+∠AHD＝90°，
即∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG，
即③正确；
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE最小，
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴，
∴，
由①知，FG＝DE，
∴FG的最小值为，
即④不正确，
综上，①②③正确，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
32．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝1，BC＝2，P是线段BC上一动点，M是线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，△ADM是 直角 （填“锐角、直角、钝角”）三角形；BM长的最小值为 ﹣1 ．
【分析】取AD的中点O，连接OB，OM，证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝1，
∴OM＝AD＝1，
∵OB＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣1，
∴BM的最小值为﹣1．
故答案为：直角，﹣1．
【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
33．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别为AD，AB上一点，且DE＝BF，连接BE，CF，则BE+CF的最小值为 ．
【分析】如图所示，作D关于直线AB的对称点D′，连接D′F，DF，先证明△ABE≌△ADF得到BE＝DF，则BE＝D′F，从而推出当C、F、D′三点共线时，CF+D′F有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为CD′，由此求解即可．
【解答】解：如图所示，作D关于直线AB的对称点D′，连接D′F，DF，
∴D′F＝DF，AD′＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵DE＝BF，
∴AE＝AF，
又∵∠FAD＝∠EAB，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，
∴BE＝D′F，
∴BE+CF＝CF+D′F，
∴当C、F、D′三点共线时，CF+D′F有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为CD′，
在Rt△D′DC中，CD′＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
34．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为点F．若DF＝4，则BD＝ 8 ．
【分析】连接AC交BD于点O，由菱形的性质得CD∥AB，AC⊥BD，BC＝DC，则∠DCE＝∠ABC＝80°，所以∠DCF＝∠DCE﹣∠ECM＝50°，因为DF⊥CM于点F，所以∠BOC＝∠DFC＝90°，∠CDF＝90°﹣∠DCF＝40°，而∠CBO＝∠ABC＝40°，则∠CBO＝∠CDF，即可证明△CBO≌△CDF，则BO＝DF＝4，所以BD＝2BO＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，BC＝DC，
∴∠DCE＝∠ABC＝80°，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECM＝80°﹣30°＝50°，
∵DF⊥CM于点F，
∴∠BOC＝∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣50°＝40°，
在△CBD和△ABD中，
，
∴△CBD≌△ABD（SSS），
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC＝×80°＝40°，
∴∠CBO＝∠CDF，
在△CBO和△CDF中，
，
∴△CBO≌△CDF（AAS），
∴BO＝DF＝4，
∴BD＝2BO＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明正确地作出辅助线并且证明△CBO≌△CDF是解题的关键．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【分析】连接DP，利用勾股定理列式求出AC，判断出四边形DEPF是矩形；根据矩形的对角线相等可得EF＝DP，再根据垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接DP．
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵PF⊥DC于点E，PE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形DEPF是矩形；
∴EF＝DP，
由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ADC＝DC AD＝AC DP，
即×4×3＝×5 DP，
解得DP＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出DP⊥AC时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
三．解答题（共25小题）
36．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t．
（1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
（2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
【分析】（1）①如图1，当点P在BC上时，由DQ＝PC，建立方程解出t即可；如图2，当点P在BC的延长线上时，PC＝3t﹣10，由DQ＝PC，建立方程解出t即可．
（2）①如图1，当点P在BC上时，若四边形PCDQ是菱形则DQ＝PC＝CD＝6，建立方程求出m，n的关系即可；②如图2，当点P在BC的延长线上时，先证明四边形ACPQ是平行四边形，得到PQ＝AC＝8，再求出DQ＝PD＝5，建立方程求出m，n的关系．
【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时，
DQ＝t，PC＝10﹣3t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DQ∥PC，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC，
∴t＝10﹣3t，
∴t＝2.5（秒）．
②如图2，当点P在BC的延长线上时，
PC＝3t﹣10，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC，
∴t＝3t﹣10，
∴t＝5（秒）．
综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形．
（2）①如图1，当点P在BC上时，
若四边形PCDQ是菱形，
则DQ＝PC＝CD＝6，
∴nt＝10﹣mt＝6，
∴mt＝4，
∴＝，
∴3m＝2n．
②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形PCDQ是菱形，
∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE，
∴PQ∥AC，
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴PQ＝AC＝8，
∴QE＝PE＝4，
∴DQ＝PD＝＝＝5，
∴nt＝mt﹣10＝5，
∴m＝3n．
综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，又是动点问题，有一定的难度，正确画出图形，合理进行分类讨论是解题关键．
37．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：BD＝CF；
（2）连接CD，BF．如果D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形CDBF是矩形？证明你的结论．
【分析】（1）证明△BDE≌△CFE（AAS），进而结论得证；
（2）由BD＝CF，CF∥AB，可证四边形CDBF是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知∠CDB＝90°，进而可得AC，BC的数量关系．
【解答】（1）证明：由题意得BE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCE，∠BDE＝∠F，
在△BDF和△CFE中，
，
∴△BDE≌△CFE（AAS），
∴BD＝CF；
（2）解：AC＝BC时，四边形CDBF是矩形，证明如下：如图，
∵BD＝CF，CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形，
当AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，
∵D是AB的中点，
∴∠CDB＝90°，
∴四边形CDBF是矩形，
∴AC＝BC时，四边形CDBF是矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
38．如图，四边形ABCD为矩形，延长DC至E，使CE＝CB，连接AE交BD于点G，交BC于点F，且CD＝CF．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求证：EG﹣BG＝CG．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCD≌△ECF，可得∠E＝∠CBD，由余角的性质可得结论；
（2）由“ASA”可证△CEH≌△CBG，可得BG＝EH，GC＝CH，即可求解．
【解答】证明：（1）在△BCD和△ECF中，
，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠E＝∠CBD，
∵∠CBD+∠BDC＝90°，
∴∠E+∠BDC＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴BD⊥AE；
（2）如图，过点C作CH⊥CG，交AE于H，
∴∠GCH＝90°＝∠FCE，
∴∠BCG＝∠ECH，
又∵BC＝CE，∠E＝∠CBD，
∴△CEH≌△CBG（ASA），
∴BG＝EH，GC＝CH，
∴GH＝GC，
∴EG﹣BG＝EG﹣EH＝GH＝GC．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
39．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点，BE＝DF，求证：EC＝FC．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，BC＝CD，
在△BCE与△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴EC＝FC．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
40．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）请对△ABC的边或角添加一个条件，使得四边形ADCF成为菱形，并进行证明．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形；
（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD＝DC，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，则AF＝DC，
∴AD＝AF，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
41．已知：点C在线段AB上（BC＜AC），分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图1，判断AF与BD的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点H在AC上（点H不与点C重合），且∠EHG＝90°，求证：四边形AFGH是平行四边形．
【分析】（1）延长AF交BD于点F．由正方形的性质易证△ACF≌△DCB（SAS），即得出AF＝BD，∠CAF＝∠CDB．再根据∠CAF+∠CFA＝90°，∠CFA＝∠DFM，即得出∠CDM+∠DFM＝90°，即∠DMF＝90°，即证明AF⊥BD；
（2）连接CG，在AE上截取AP＝AH，连接PH．由正方形的性质易证△EPH≌△HCG（ASA），即得出EH＝HG，从而可证△EAH≌△HBG（AAS），即得出AH＝BG，进而得出AH＝FG，结合AH∥FG，即证明四边形AFGH是平行四边形．
【解答】（1）AF＝BD，AF⊥BD．
证明：如图1，延长AF交BD于点F．
∵四边形ACDE和BCFG，都是正方形，
∴AC＝DC，FC＝BC，∠ACF＝∠DCB＝90°，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB．
∵∠ACF＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°．
∵∠CFA＝∠DFM（对顶角相等），
∴∠CDM+∠DFM＝90°，
∴∠DMF＝90°，
∴AF⊥BD；
（2）证明：如图2，连接CG，在AE上截取AP＝AH，连接PH．
∵四边形ACDE是正方形，
∴AE＝AC，∠EAH＝90°，
∴∠AEH+∠AHE＝90°．
∵∠EHG＝90°，
∴∠BHG+∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝∠BHG．
∵AP＝AH，
∴∠APH＝∠AHP＝45°，AE﹣AP＝AC﹣AH，即PE＝CH，
∴∠EPH＝180°﹣∠APH＝180°﹣45°＝135°．
∵四边形BCFG是正方形，
∴BG＝FG，∠CBG＝90°，BC∥FG，∠BCG＝45°，
∴∠HCG＝180°﹣∠BCG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EPH＝∠HCG．
在△EPH和△HCG中，
，
∴△EPH≌△HCG（ASA），
∴EH＝HG．
在△EAH和△HBG中，
，
∴△EAH≌△HBG（AAS），
∴AH＝BG．
∵BG＝FG，
∴AH＝FG，
又∵BC∥FG，即AH∥FG，
∴四边形AFGH是平行四边形．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定．正确的作出辅助线是解题关键．
42．已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E，F．CE＝4，CF＝2．
（1）求证：四边形PFCE为矩形；
（2）求AP的长．
【分析】（1）由矩形的判定可证四边形PFCE为矩形；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP＝CP，由矩形的性质和勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形；
（2）解：在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∵四边形PFCE为矩形，
∴CE＝PF＝4，
∴PC＝＝＝2，
∴AP＝PC＝2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
43．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，点F在正方形的外角平分线上，且∠AEF＝90°，点G为边AB的中点，求证：EG＝CF．
【分析】由正方形的性质可知AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，可得∠AGE＝∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，由“ASA”可证△AGE≌△ECF，得出结论．
【解答】证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE＝180°﹣45°＝135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴EG＝CF．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质寻找判定三角形全等的条件．
44．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 正确 ，琪琪的思路 正确 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
【分析】（1）嘉嘉通过先证明四边形是平行四边形，再通过“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来证明矩形，琪琪通过“三个角是直角的四边形是矩形”来证明矩形，都是正确的，
（2）按照嘉嘉的方法，先通过菱形的性质，得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据AF＝CE，得到BF＝DE，且BF∥DE，得到四边形DFBE是平行四边形，通过BE⊥CD，得到角为90°，得到矩形．
【解答】解：（1）故答案为：正确，正确；
（2）我选择嘉嘉思路：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵FA＝EC，
∴BF＝DE．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵CD⊥BE，
∴∠BED＝90°
∴四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查菱形的性质和矩形的判定方法，通过不同的判定方法均可判定四边形是矩形．
45．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE＝OC，OF＝OC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
【解答】解：（1）OE＝EF；
理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OF＝OC，
∴OE＝OF．
（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE＝OF＝OC＝OA，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用．
46．如图1，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于点M，交BC边于点N，ME⊥AB，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AEMF是正方形；
（2）如图2，过点C作CG∥MN，若AB＝2，BC＝5，求四边形ANCG的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，根据AAS证明△AEM与△AFM全等，进而利用全等三角形的性质和正方形的判定解答即可；
（2）根据矩形的性质得出AD∥BC，进而利用等角对等边得出AB＝BN，进而利用平行四边形的面积解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵ME⊥AB，MF⊥AD，
∴∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM与△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AEMF是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAN＝∠ANB，
∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M，
∴∠DAN＝∠BAN，
∴∠BAN＝∠ANB，
∴AB＝BN＝2，
∴NC＝BC﹣BN＝5﹣2＝3，
∴四边形ANCG的面积＝NC AB＝3×2＝6．
【点评】此题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
47．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF＝，求∠ACD的度数及BD的长．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得∠BDC＝∠DBC，则BC＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BO＝DO，∠DCA＝∠BCA＝∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，再证∠DCA＝∠DCM，然后由角平分线的性质得DO＝DF＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，∠DCA＝∠BCA＝∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∠DCE＝∠ABC＝70°，
∴∠DCA＝∠BCD＝55°，
∵∠ECM＝15°，
∴∠DCM＝∠DCE﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，
∴∠DCA＝∠DCM，
∵DF⊥CM，BD⊥AC，
∴DO＝DF＝，
∴BD＝2DO＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
48．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．
（1）如图1，求证：AP＝AQ；
（2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角．
【分析】（1）证明AP和AQ所在的△ABP和△ADQ全等即可；
（2）证明△ABC是等边三角形，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵P、Q分别是边BC、CD的中点，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ；
（2）解：连接AC．
∵BP＝PC，AP⊥BC，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AC，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP＝30°，
∵△ABP≌△ADQ，
∴∠DAQ＝∠BAP＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠PCQ＝180°﹣∠B＝120°，
∵CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝30°，
∴∠BAP＝∠DAQ＝∠CPQ＝∠CQP＝30°．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判断和性质以及等腰三角形的判定，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解答本题的关键．
50．如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．
【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可；
（2）设BH的长度为x，根据菱形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）四边形FBHD为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠HBD，
∵E为BD中点
∴BE＝DE，
∵FH⊥BD，
∴∠FED＝∠HEB，
∴△FED≌△HEB（ASA），
∴FE＝HE，
又BE＝DE，
∴四边形FBHD为平行四边形，
∵FH⊥BD，
∴平行四边形FBHD为菱形；
（2）设BH的长度为x，
由（1）得四边形FBHD为菱形，
∴BH＝FD＝BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝12，AD＝18，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
∴122+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝13，
∴BH的长度为13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
51．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠DBC＝180°．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，a＝ ．（直接写出答案）
【分析】（1）先证明四边形OBEC是平行四边形，再由已知结合三角形内角和定理推出OB＝OC，即可得到结论；
（2）证明平行四边形ABCD是矩形，推出△OAB是边长为4的等边三角形，利用勾股定理求得BC的长，利用矩形的面积公式即可求解；
（3）连接OP，利用，，代入数据即可求解．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，又OB＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵∠AOB＝60°，AB＝4，
∴△OAB是边长为4的等边三角形，
∴AC＝2AB＝8，，
∴四边形ABCD的面积为；
（3）解：如图，连接OP，FG⊥OA，FH⊥OD，由题意得a＝FG+FH，
∵OA＝OD＝4，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
52．已知：如图，四边形ABCD是矩形，分别延长AD，CD到点E，F，使DE＝AD，DF＝CD，连接AC，AF，EF，EC．
（1）求证：四边形ACEF是菱形；
（2）连接BE，如果四边形ACEF的周长是，CF＝2，求BE的长．
【分析】（1）根据DE＝AD，DF＝CD，可知四边形ACEF是平行四边形，根据矩形的性质可得∠ADC＝90°，即可得证；
（2）根据菱形的性质可得CD＝1，AC＝，根据勾股定理，可得AD的长，进一步可得AE的长，根据矩形的性质可得AB＝CD＝1，再根据勾股定理可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵DE＝AD，DF＝CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴四边形ACEF是菱形；
（2）解：在菱形ACEF中，CD＝DF，
∵四边形ACEF的周长是，
∴AC＝，
∵CF＝2，
∴CD＝1，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD＝＝2，
∴AE＝2AD＝4，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝CD＝1，
根据勾股定理，得BE＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若AC＝3cm，BC＝4cm，求线段DG的长度．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAE＝∠BAE，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°，等量代换可得∠CEA＝∠AGD＝∠CGE，即可证明CG＝CE；
（2）先证△AGC≌△AGF（ASA），推出CG＝FG，结合（1）中结论可得CE＝FG，结合GF∥BC可证四边形CGFE是平行四边形，结合CG＝CE可证CGFE是菱形；
（3）根据勾股定理可得AB＝5cm，根据△AGC≌△AGF可得AF＝AC＝3cm，进而求出BF＝2cm，再根据菱形的性质推出EF∥CG，进而证明EF⊥AB，设CE＝EF＝CG＝GF＝x，用勾股定理解Rt△EFB求出x，再利用面积法求出CD，即可求出DG的长度．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°，
∴∠CEA＝∠AGD，
又∵∠CGE＝∠AGD，
∴∠CEA＝∠CGE，
∴CG＝CE；
（2）解：四边形CGFE是菱形，理由如下：
∵GF∥BC，
∴∠CEG＝∠EGF，
由（1）知∠CEA＝∠CGE，
∴∠CGE＝∠EGF，
∴∠AGC＝∠AGF，
又∵AG＝AG，∠CAE＝∠BAE，
∴△AGC≌△AGF（ASA），
∴CG＝FG，
由（1）知CG＝CE，
∴CE＝FG，
又∵GF∥BC，
∴CE∥FG，
∴四边形CGFE是平行四边形，
又∵CG＝CE，
∴四边形CGFE是菱形；
（3）解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴，
由（2）知△AGC≌△AGF，
∴AF＝AC＝3cm，
∴BF＝AB﹣AF＝2cm，
∵四边形CGFE是菱形，
∴EF∥CG，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
设CE＝EF＝CG＝GF＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法，能够通过勾股定理列方程．
54．如图1，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，OA＝2，OC＝4，点B在第一象限．
（1）点B的坐标为 B（4，2） ；
（2）如图2，点P是线段CB延长线上的点，连接AP，OP，则∠POC，∠APO，∠PAB三个角满足的关系是什么？并说明理由；
（3）在（2）的基础上，已知：∠PAB＝20°，∠POC＝50°，在第一象限内取一点F，连接OF，AF，满足∠PAB＝2∠FAP，∠POC＝2∠FOP，请直接写出的值．
【分析】（1）根据长方形求出各边长，从而得到点B坐标；
（2）设OP与AB交于D，根据平行线的性质得到∠PDB＝∠POC，再利用外角的性质求解；
（3）分当F在OP上方时和当F在OP下方时，求出相应角的度数，可得结果．
【解答】解：（1）在长方形OABC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝4，
∵点B在第一象限，
∴B（4，2）；
（2）∠POC＝∠APO+∠PAB，理由是：
设OP与AB交于D，
∵AB∥OC，
∴∠PDB＝∠POC，
∵∠PDB＝∠APO+∠PAB，
∴∠POC＝∠APO+∠PAB；
（3）当F在OP上方时，
∵∠PAB＝20°，
∴，
∵∠POC＝∠APO+∠PAB，
∴50°＝∠APO+20°，即∠APO＝30°，
∴∠BAF＝∠FAP+∠PAB＝30°＝∠APO，
∵∠POC＝2∠FOP，∠POC＝50°，
∴∠FOP＝25°，
∴∠FOC＝∠FOP+∠POC＝75°，
同（2）可得：∠FOC＝∠F+∠FAB，即75°＝∠F+30°，
∴∠F＝45°，
∴；
当F在OP下方时，∠PAB＝20°，∠APO＝30°，∠POC＝50°，
∵，
∴∠FAB＝10°，
∵，
∴∠FOC＝∠POC﹣∠POF＝25°，
∴∠F＝∠FOC﹣∠BAF＝15°，
∴．
综上：的值为或2．
【点评】本题考查了坐标与图形，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是分类讨论，理清角的关系．
55．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；
②过点E作MN⊥BC，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解答】（1）①证明：方法一：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE）SAS），
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
②解：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴，
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝a．
（2）解：如图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝a，
∴CN＝a，
∴EN＝BN＝a，
∴DE＝a．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的方法是解题的关键．
56．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．
（1）求证：∠BAE＝∠DAF；
（2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，根据全等三角形的判定和性质得到∠BAE＝∠DAF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，根据等腰三角形的性质得到AM⊥EF，求得∠AME＝∠AMF＝90°，根据菱形的性质得到∠B+∠C＝180°，求得∠AEC＝∠AFC，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△BAE与△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF；
（2）解：由（1）知，△BAE≌△DAF，
∴AE＝AF，
∵M是EF中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AME＝∠AMF＝90°，
∴△AME，△AMF是直角三角形，
∵∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠EAF，
∴∠EAF+∠C＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠AEB＝∠AFD，
∴∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC+∠AFC＝180°＝90°，
∴△AEB和△AFD是直角三角形，
故图中的所有直角三角形是△AME，△AMF，△AEB，△AFD．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
57．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
【分析】（1）由折叠性质得AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）解：MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．
58．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．
（1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数；
（2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长；
（3）当AE＝时，求BP的长．
【分析】（1）先利用正方形的性质和∠DAE＝25°，求出∠AEB＝70°，再通过△DAE≌△DCE得到∠AEB＝∠CEB，从而得出结论；
（2）通过已知条件可以证明△DEP是等腰直角三角形，根据DP＝4，可以DE＝DP＝2，再在Rt△EBP中求出求出BE，从而求出正方形对角线BD＝2+2即可；
（3）先通过△BAE≌△BCE，得出EC＝AE＝，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE＝OC，再通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和证明出EO⊥OC，然后在Rt△OCE中求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
又∵∠DAE＝25°，
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝45°+25°＝70°，
在△DAE和△DCE中，
，
∴△DAE≌△DCE（SAS），
∴∠DEA＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AEC＝2∠AEB＝2×70°＝140°；
（2）∵∠PBC＝15°，
∴∠PBD＝30°，∠BPC＝75°，
∵PE⊥BD，
∴∠BPE＝60°，
∴∠DPE＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵DP＝4，∠DPE＝∠EDP＝45°，
∴DE＝EP＝DP＝2，
在Rt△EBP中，∠EBP＝30°，
∴BE＝EP＝2，
∴DB＝2+2，
∴DC＝DB＝2+2；
（3）连接OC，
在△BAE和△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（SAS），
∴EC＝AE＝，
在Rt△EBP中，O为BP中点，
∴EO＝BO＝OP，
同理：OC＝OB＝OP，
∴OE＝OC，
∵∠EBP＝45°﹣∠PBC，OE＝OB，
∴∠EOP＝2（45°﹣∠PBC）＝90°﹣2∠PBC，
又∵∠POC＝2∠PBC，
∴∠EOC＝90°﹣2∠PBC+2∠PBC＝90°，
∴EO⊥OC，
在△OCE中，OC＝OE，OE⊥OC，
∴OE＝OC＝EC＝×＝，
∴BP＝2OE＝2．
【点评】本题考查正方形的性质、全
第5章特殊平行四边形好题精选60题
一．选择题（共15小题）
1．在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线l上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．16 C．41 D．55
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
4．如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝4，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2.5
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（ ）
A．3 B．2.5 C． D．2
8．如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，G是AD边中点，F在AB边上，且∠GCF＝45°，则FB的长是（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若OH＝1，，则DH的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就能要求△AEC的面积（ ）
A．△ABE与△BEC面积之差 B．△ADE与△BEC面积之差
C．△DEC与△BEC面积之差 D．△ADC与△DEC面积之差
13．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．45° D．72°
14．如图，正方形ABCD的边长为a，E为AB边上的动点，连接CE，点B关于直线CE的对称点是B'，连接AB'、B'D，下列说法：①∠DB'B＝135°；②∠ECB+∠ADB'的度数保持不变；③当AB'＝B'D时，AE＝（1﹣）a；④若AE＝2BE，则DB'＝2AB'．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4，其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共20小题）
16．如图，在菱形ABCD中，连接AC，AC＝10，∠B＝45°，则菱形的面积为 ．
17．如图，四边形ABCD为长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，满足AC＝AG＝GF，则∠DAC与∠ECB的比值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C（2，），则点A的坐标为 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
20．如图，在正方形ABCD的CD边上取一点E（不与点C，D重合），以线段CE为边在CD的右侧作正方形ECGF，分别连接AF，DG且相交于O，则∠AOD度数为 ．
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
22．如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE＝1，CD＝6，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BF＝DE，连接AF，EF，过点A作AG⊥FE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为 ．
23．如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF＝90°．若OE＝3，OF＝2，则BE的长为 ．
24．如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线上BD的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：
①存在无数个平行四边形MENF； ②存在无数个矩形MENF； ③存在无数个菱形MENF； ④存在两个正方形MENF．其中正确的结论是 （填写序号）．
25．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④．
其中正确的是 ．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，GF⊥EF交AB于G，作矩形EFGH，当F点到达B点时停止运动，E点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当阴影部分的面积为10时，t的值为 ．
27．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连接OC．若，则另一条直角边BC的长为 ．
29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ACOB和正方形GFEO的面积分别是1与2，正方形GFEO沿x轴向右平移，若平移后正方形GFEO与正方形ACOB重叠部分的面积为，则F点移动后的坐标是 ．
30．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则构成等腰三角形EFP的个数为 ，其中一个等腰三角形边EP最长是 cm．
31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．则下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为．其中正确的是 ．（填写序号）
32．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝1，BC＝2，P是线段BC上一动点，M是线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，△ADM是 （填“锐角、直角、钝角”）三角形；BM长的最小值为 ．
33．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别为AD，AB上一点，且DE＝BF，连接BE，CF，则BE+CF的最小值为 ．
34．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为点F．若DF＝4，则BD＝ ．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
三．解答题（共25小题）
36．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t．
（1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
（2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
37．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：BD＝CF；
（2）连接CD，BF．如果D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形CDBF是矩形？证明你的结论．
38．如图，四边形ABCD为矩形，延长DC至E，使CE＝CB，连接AE交BD于点G，交BC于点F，且CD＝CF．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求证：EG﹣BG＝CG．
39．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点，BE＝DF，求证：EC＝FC．
40．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）请对△ABC的边或角添加一个条件，使得四边形ADCF成为菱形，并进行证明．
41．已知：点C在线段AB上（BC＜AC），分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图1，判断AF与BD的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点H在AC上（点H不与点C重合），且∠EHG＝90°，求证：四边形AFGH是平行四边形．
42．已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E，F．CE＝4，CF＝2．
（1）求证：四边形PFCE为矩形；
（2）求AP的长．
43．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，点F在正方形的外角平分线上，且∠AEF＝90°，点G为边AB的中点，求证：EG＝CF．
44．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 ，琪琪的思路 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
45．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
46．如图1，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于点M，交BC边于点N，ME⊥AB，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AEMF是正方形；
（2）如图2，过点C作CG∥MN，若AB＝2，BC＝5，求四边形ANCG的面积．
47．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF＝，求∠ACD的度数及BD的长．
48．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．
（1）如图1，求证：AP＝AQ；
（2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
50．如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．
51．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠DBC＝180°．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，a＝ ．（直接写出答案）
52．已知：如图，四边形ABCD是矩形，分别延长AD，CD到点E，F，使DE＝AD，DF＝CD，连接AC，AF，EF，EC．
（1）求证：四边形ACEF是菱形；
（2）连接BE，如果四边形ACEF的周长是，CF＝2，求BE的长．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若AC＝3cm，BC＝4cm，求线段DG的长度．
54．如图1，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，OA＝2，OC＝4，点B在第一象限．
（1）点B的坐标为 ；
（2）如图2，点P是线段CB延长线上的点，连接AP，OP，则∠POC，∠APO，∠PAB三个角满足的关系是什么？并说明理由；
（3）在（2）的基础上，已知：∠PAB＝20°，∠POC＝50°，在第一象限内取一点F，连接OF，AF，满足∠PAB＝2∠FAP，∠POC＝2∠FOP，请直接写出的值．
55．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
56．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．
（1）求证：∠BAE＝∠DAF；
（2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
57．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
58．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．
（1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数；
（2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长；
（3）当AE＝时，求BP的长．
59．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
60．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．在平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC＝5，AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得∠BOC＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴，，
∵BC＝5，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°是解题的关键．
2．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线l上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．16 C．41 D．55
【分析】根据正方形的性质得出∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，求出∠FEG＝∠HGM，证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH，GM＝EF，求出EF2＝7，HM2＝15，求出B的面积为EG＝EF2+FG2＝EF2+HM2，代入求出即可．
【解答】解：根据正方形的性质得出∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，
∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠HGM＝90°，
∴∠FEG＝∠HGM，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG＝MH，GM＝EF，
∵a和c的面积分别为5和11，
∴EF2＝5，HM2＝11，
∴b的面积为EG＝EF2+FG2＝EF2+HM2＝5+11＝16，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出FG＝MH，题目比较典型，难度适中．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，也可能是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
4．如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，EF，DF．若AB＝AE，EB＝EF＝4，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接DE，先证明△ABE≌△ADE，得出DE＝BE，从而得出DE＝EF＝4，证明∠DEF＝180°﹣∠AED﹣∠CEF＝90°，说明△DEF为直角三角形，根据勾股定理求出结果即可．
【解答】解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴DE＝BE，
∵BE＝EF＝4，
∴DE＝EF＝4，
∵AB＝AE，
∴AD＝AE，
∴，
∴∠EBF＝90°﹣∠ABE＝22.5°，
∵BE＝EF，
∴∠BFE＝∠EBF＝22.5°，
∴∠CEF＝∠BCA﹣∠BFE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠DEF＝180°﹣∠AED﹣∠CEF＝90°，
∴△DEF为直角三角形，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△DEF为直角三角形．
5．如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）
【分析】根据点A和点B的坐标，分别求出每个长方形的长和宽，即可求解．
【解答】解：如图，∵A（2，9），B（6，3），
∴D（6，9），
∴AD＝6﹣2＝4，BD＝9﹣3＝6，
∴每个长方形的长为6÷3＝2，宽为4÷4＝1，
∴点C的坐标为：（2+1×2，9﹣2×2），即（4，5），
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，正确求出长方形的长和宽是解题的关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2.5
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵s菱形ABCD＝AC BD＝24，
∴，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（ ）
A．3 B．2.5 C． D．2
【分析】根据菱形的面积公式求出BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出OE．
【解答】解：菱形ABCD的面积为，，
可得AC＝8，解得BD＝4，
在Rt△BDE中，．
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质和直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半是解题关键．
8．如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2+） D．（1，3）
【分析】过D作DH⊥x轴于H，由在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，得AB＝＝，∠BAO＝45°，根据四边形ABCD是正方形，可得D（3，1），又将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，知每旋转8次回到初始位置，第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，即可得到答案．
【解答】解：过D作DH⊥x轴于H，如图：
∵在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，
∴AB＝＝，∠BAO＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝＝1，
∴OH＝OA+AH＝3，
∴D（3，1），
∵将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，
∴每旋转8次回到初始位置，
∵98÷8＝12......2，
∴第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，
∴第98次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，3），
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及旋转变换，解题的关键是掌握正方形的性质，找到旋转的规律．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
【分析】连接AD．由勾股定理可求出BC＝10，又易证四边形AMDN为矩形，即得出AD＝MN，说明当AD最小时，MN最小．又可知当AD⊥BC时，AD最小，结合等积法求出AD的值，即可求出线段MN的最小值．
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴四边形AMDN为矩形，
∴AD＝MN，
∴当AD最小时，MN最小．
当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB AC＝AD BC，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8，
∴线段MN的最小值为4.8．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，并结合矩形的判定和性质理解当AD最小时，MN最小是解题关键．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，G是AD边中点，F在AB边上，且∠GCF＝45°，则FB的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】如图，过点C作CE⊥CG于C，交AB的延长线于E，证明△DCG≌△BCE和△FCG≌△FCE（SAS），设BF＝x，则AF＝4﹣x，FG＝FE＝2+x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥CG于C，交AB的延长线于E，
∵G是AD的中点，AD＝4，
∴DG＝AG＝2，
∵∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝45°＝∠FCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBE＝90°＝∠D，
∵∠DCG+∠BCG＝∠BCG+∠BCE＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∴△DCG≌△BCE（ASA），
∴DG＝BE＝2，CG＝CE，
∵CF＝CF，
∴△FCG≌△FCE（SAS），
∴FG＝FE，
设BF＝x，则AF＝4﹣x，FG＝FE＝2+x，
在Rt△AFG中，FG2＝AG2+AF2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴BF＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若OH＝1，，则DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理证明△ADB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点O是BD中点，
∵DH⊥AB，OH＝1，
∴BD＝2，
∴OD＝1，
∵，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：，
∴AD＝BD＝AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴AH＝1，
∴Rt△AHD中，由勾股定理得：；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
12．如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就能要求△AEC的面积（ ）
A．△ABE与△BEC面积之差 B．△ADE与△BEC面积之差
C．△DEC与△BEC面积之差 D．△ADC与△DEC面积之差
【分析】过E作EM⊥AB于M，延长ME交CD于N，由四边形ABCD是矩形，得到AB∥DC，AB＝DC，由△EAB的面积＝AB EM，△ECD的面积＝DC EN，推出△EAB的面积+△ECD的面积＝△ABC的面积，而△AEC的面积＝△ABC的面积﹣△ABE的面积﹣△BEC的面积，于是即可得到答案．
【解答】解：过E作EM⊥AB于M，延长ME交CD于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴EN⊥DC，
∵△EAB的面积＝AB EM，△ECD的面积＝DC EN，
∴△EAB的面积+△ECD的面积＝AB （EM+EN）＝AB MN＝矩形ABCD的面积×，
∵△ABC的面积＝矩形ABCD的面积×，
∴△EAB的面积+△ECD的面积＝△ABC的面积，
∵△AEC的面积＝△ABC的面积﹣△ABE的面积﹣△BEC的面积，
∴△AEC的面积＝△EAB的面积+△ECD的面积﹣△ABE的面积﹣△BEC的面积＝△ECD的面积﹣△BEC的面积．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出△EAB的面积+△ECD的面积＝△ABC的面积．
13．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．45° D．72°
【分析】由矩形的性质得到∠BAD＝90°，OA＝OB，得到∠ABO＝∠BAO，由∠DAE：∠BAE＝3：1，求出∠BAE的度数，即可求出∠BAO的度数，从而求出∠EAO的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD 矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝×90°＝22.5°
∵AE⊥BO，
∴∠ABO+∠BAE＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，
∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是掌握矩形的性质．
14．如图，正方形ABCD的边长为a，E为AB边上的动点，连接CE，点B关于直线CE的对称点是B'，连接AB'、B'D，下列说法：①∠DB'B＝135°；②∠ECB+∠ADB'的度数保持不变；③当AB'＝B'D时，AE＝（1﹣）a；④若AE＝2BE，则DB'＝2AB'．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】①连接B′C，根据正方形的性质可得CB＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°，再由轴对称的性质可得CB′＝CB＝CD，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理即可判断①；
②在①的基础上可推出∠ADB′＝∠B′CD，再由轴对称性质可得∠ECB＝∠BCB′，即可判断②；
③先证明△BAB′≌△CDB′（SAS），再证得△BCB′是等边三角形，推出∠ECB＝∠BCB′＝30°，再运用解直角三角形即可判断③；
④连接CB′，设CE交BB′于G，延长BB′交AD于H，过点B′作B′F∥CE交AB于F，由B′F∥CE，可得＝＝1，推出BE＝a，AE＝a，AF＝EF＝BE＝a，BF＝a，利用解直角三角形可得出＝，结合∠DHB′＝∠AFB′，可证得△DHB′∽△AFB′，即可判断④．
【解答】解：①如图1，连接B′C，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵点B关于直线CE的对称点是B'，
∴CB′＝CB＝CD，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝（180°﹣∠BCB′），∠CB′D＝∠CDB′＝（180°﹣∠B′CD），
∴∠DB′B＝∠CB′D+∠CB′B
＝（180°﹣∠B′CD）+（180°﹣∠BCB′）
＝180°﹣（∠BCB′+∠B′CD）
＝180°﹣∠BCD
＝180°﹣×90°
＝135°，
故①正确；
②由①得：∠CBB′＝∠CB′B＝（180°﹣∠BCB′），∠CB′D＝∠CDB′＝（180°﹣∠B′CD），
∴∠BCB′＝90°﹣∠CB′B，∠B′CD+∠CDB′＝90°，
∵∠ADB′+∠CDB′＝90°，
∴∠ADB′＝∠B′CD，
∵点B关于直线CE的对称点是B'，
∴∠ECB＝∠BCB′，
∴∠ECB+∠ADB'＝∠BCB′+∠B′CD＝（∠BCB′+∠B′CD）＝∠BCD＝45°，
即∠ECB+∠ADB'的度数为45°保持不变，故②正确；
③如图2，
∵AB'＝B'D，
∴∠B′AD＝∠B′DA，
∴90°﹣∠B′AD＝90°﹣∠B′DA，
即∠BAB′＝∠CDB′，
在△BAB′和△CDB′中，
，
∴△BAB′≌△CDB′（SAS），
∴BB′＝CB′，
∴CB′＝BC，
∴CB′＝BC＝BB′＝a，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ECB＝∠BCB′＝30°，
∴BE＝BC tan∠ECB＝a tan30°＝a，
∴AE＝AB﹣BE＝a﹣a＝（1﹣）a，
故③错误；
④如图3，连接CB′，设CE交BB′于G，延长BB′交AD于H，过点B′作B′F∥CE交AB于F，
∵点B关于直线CE的对称点是B'，
∴G是BB′的中点，BG＝B′G，BB′⊥CE，
∵B′F∥CE，
∴＝＝1，
∴BE＝EF，
∵AE＝2BE，AB＝a，
∴BE＝a，AE＝a，
∴AF＝EF＝BE＝a，BF＝a，
∵∠ECB+∠CBG＝∠HBA+∠CBG＝90°，
∴∠HBA＝∠ECB，
∵∠BAH＝∠CBE＝90°，AB＝BC＝a，
∴△BHA≌△CEB（ASA），
∴∠BHA＝∠CEB，BH＝CE，AH＝BE＝a，
∴DH＝AD﹣AH＝a﹣a＝a，
∵B′F∥CE，
∴∠CEB＝∠BFB′，∠BB′F＝∠CGB′＝90°，
∴∠BHA＝∠BFB′，
∴180°﹣∠BHA＝180°﹣∠BFB′，
即∠DHB′＝∠AFB′，
由勾股定理得：BH＝CE＝＝＝a，
∵sin∠CEB＝sin∠BFB′，
∴＝，即＝，
∴BB′＝a，
∴B′H＝BH﹣BB′＝a﹣a＝a，
∵cos∠CEB＝cos∠BFB′，
∴＝，即＝，
∴B′F＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠DHB′＝∠AFB′，
∴△DHB′∽△AFB′，
∴＝＝＝2，
∴DB′＝2AB′，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，涉及知识点较多，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4，其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据已知条件可得EF＝AE+FC，即可判断①，进而推出∠EDF＝45°，判断②正确，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，证明△GMN是直角三角形，结合勾股定理验证③．
【解答】解：∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，
∴BE+BF+EF＝AB+BC，
∴EF＝AE+FC，
若AE＝2，CF＝3，则EF＝2+3＝5，故①错误；
如图，在BA的延长线上取点H，使得AH＝CF，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，
在△AHD和△CFD中，
，
∴△AHD≌△CFD（SAS），
∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，
又∵EF＝AE+CF，
∴EF＝AE+AH＝EH，
在△DEH和△DEF中，
，
∴△DEH≌△DEF（SSS），
∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°
∴∠EDF＝∠HDE＝45°，
∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，
∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFC+∠EDF+∠DEF＝180°，
则∠EFN+∠EMN＝180°，故②正确；
如图，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，
在△AED和△GED中，
，
∴△AED≌△GED（AAS），
同理，△GDF≌△CDF（AAS），
∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，
∴点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称，
∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，
∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，
若AM＝2，CN＝3，
∴GM＝2，GN＝3，
在Rt△GMN中，MN＝＝，故③错误；
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
二．填空题（共20小题）
16．如图，在菱形ABCD中，连接AC，AC＝10，∠B＝45°，则菱形的面积为 ．
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°，根据∠B＝45°，进一步可得BH＝AH，设BH＝AH＝x，根据勾股定理，可得AB的长，根据菱形的性质可得BC的长，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程，可得x2＝50+25，根据菱形ABCD的面积为BC AH＝求解即可．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BAH＝45°，
∴BH＝AH，
设BH＝AH＝x，
根据勾股定理，得AB＝＝，
在菱形ABCD中，BC＝AB＝，
∴CH＝﹣x，
∵AC＝10，
在Rt△ACH中，根据勾股定理，得，
∴x2＝50+25，
∴菱形ABCD的面积为BC AH＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
17．如图，四边形ABCD为长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，满足AC＝AG＝GF，则∠DAC与∠ECB的比值为 3 ．
【分析】由AC＝AG，得∠ACG＝∠AGC；由AG＝GF，得∠GAF＝∠F，则∠ACG＝∠AGC＝2∠F；由矩形的性质得AD∥CB，则∠F＝∠ECB，所以∠ACG＝2∠ECB，则∠DAC＝∠ACB＝3∠ECB，所以∠DAC与∠ECB的比值为3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC＝AG，
∴∠ACG＝∠AGC，
∵AG＝GF，
∴∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝∠BAF+∠F＝2∠F，
∴∠ACG＝2∠F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠F＝∠ECB，
∴∠ACG＝2∠ECB，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝3∠ECB，
∴＝3，
故答案为：3．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、矩形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACG＝2∠F是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C（2，），则点A的坐标为 （﹣，2） ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据点C的坐标求出OE、CE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形的性质可得OD＝CE，AD＝OE，然后写出点A的坐标即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵C点坐标为（2，），
∴OE＝2，CE＝，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠AOD+∠COE＝90°
∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OD＝CE＝，AD＝OE＝2，
∴点A（﹣，2）；
故答案为：（﹣，2）．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
【分析】取AB的中点O，连接OC，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且OC和OG的长度是定值，因此当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，根据勾股定理求出OC，则CG的最小值为OC﹣OG．
【解答】解：取AB的中点O，连接OC，如图，
根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，
∵OC和OG的长度是定值，
∴当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝OG＝＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝，
∴CG的最小值为OC﹣OG＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理，根据题意得出点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值是解题关键．
20．如图，在正方形ABCD的CD边上取一点E（不与点C，D重合），以线段CE为边在CD的右侧作正方形ECGF，分别连接AF，DG且相交于O，则∠AOD度数为 45° ．
【分析】连接AC，FC，由四边形ABCD，四边形ECGF是正方形，可得＝，∠ACF＝90°＝∠DCG，故△ACF∽△DCG，可得∠CAF＝∠CDG，即知∠DAF+∠CDG＝45°，从而∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣（∠DAF+∠CDG）＝45°．
【解答】解：连接AC，FC，如图：
∵四边形ABCD，四边形ECGF是正方形，
∴＝，∠DAC＝∠DCA＝45°，＝，∠ECF＝∠GCF＝45°，
∴＝，∠ACF＝90°＝∠DCG，
∴△ACF∽△DCG，
∴∠CAF＝∠CDG，
∵∠DAF+∠CAF＝45°，
∴∠DAF+∠CDG＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣（∠DAF+∠CDG）＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 AE⊥BC（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：这个条件可以是AE⊥BC，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，
即CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形，
故答案为：AE⊥BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
22．如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE＝1，CD＝6，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BF＝DE，连接AF，EF，过点A作AG⊥FE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为 ．
【分析】如图，连接CG，过点G作GH⊥CF于H，先用勾股定理计算AE＝，证明△ADE≌△ABF（SAS），得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，则△AEF是等腰三角形，EF＝AE＝，利用直角三角形斜边中线可得CG的长，由三角形中位线定理可得GH的长，最后用勾股定理可得结论．
【解答】解：如图，连接CG，过点G作GH⊥CF于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵DE＝1，AD＝CD＝6，
∴AE＝＝，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，
∵AG⊥EF，
∴EG＝FG，
∵GH∥CE，
∴FH＝CH＝，
∴GH是△FEC的中位线．
∴GH＝CE＝，
∴BH＝6﹣＝，
∴BG＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF＝90°．若OE＝3，OF＝2，则BE的长为 2 ．
【分析】如图，连接AE，OF是△ACE的中位线，则，OF∥AE，AE＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，由勾股定理求AO的值，由矩形的性质可得OB＝OA，根据BE＝OB﹣OE，求解BE的值即可．
【解答】解：如图，连接AE，
由题意知，OF是△ACE的中位线，
∴，OF∥AE，
∴AE＝4，∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得，
由矩形的性质可得OB＝OA＝5，
∴BE＝OB﹣OE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．
24．如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线上BD的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四个结论：
①存在无数个平行四边形MENF； ②存在无数个矩形MENF； ③存在无数个菱形MENF； ④存在两个正方形MENF．其中正确的结论是 ①②③ （填写序号）．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
25．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④．
其中正确的是 ①③④ ．
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
在△AEB和△APD中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）故①正确；
③△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，AE＝1，
在Rt△ABF中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，GF⊥EF交AB于G，作矩形EFGH，当F点到达B点时停止运动，E点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当阴影部分的面积为10时，t的值为 1或3 ．
【分析】利用S矩形ABCD﹣S△ECF﹣S△GBF﹣S△AHG﹣S△DHE表示出阴影部分的面积，列出方程进行求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝4cm，∠B＝∠C＝90°，
∵点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，运动时间为t秒，
∴CE＝CF＝tcm，BF＝（4﹣t）cm，DE＝（6﹣t）cm，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，，
∵矩形EFGH，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠HGF＝90°，
∴∠BFG＝45°，∠HED＝45°，
∴∠BGF＝45°＝∠BFG，∠AGH＝45°，
∴BG＝BF＝（4﹣t）cm，
∴，AG＝AB﹣BG＝（t+2）cm，
过点H作HM⊥AG，HN⊥DE，垂足为：M，N，
则：∠HNE＝90°，∠HMG＝90°，
∴∠MHG＝45°＝∠MGH，∠NHE＝45°＝∠DEH，
∴NE＝NH＝EH＝（4﹣t）cm，HM＝MG＝GH＝tcm，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S△ECF﹣S△GBF﹣S△AHG﹣S△DHE
＝
＝﹣2t2+8t+4，
当阴影部分的面积为10时，
10＝﹣2t2+8t+4，
解得：t1＝1，t2＝3，
∵当F点到达B点时停止运动，
∴0≤t≤4，
∴t1＝1，t2＝3，均满足题意；
故答案为：1或3．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，用含t的代数式表示出阴影部分的面积，是解题的关键．
27．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 AB＝CD（答案不唯一） ．
【分析】根据三角形的中位线定理，得到：，根据四边相等的四边形是菱形，可以得到当AB＝CD时，即可得到四边形EGFH是菱形．
【解答】解：∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，
∴，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴当AB＝CD时，FH＝GE＝GF＝EH，
此时四边形EGFH是菱形；
∴可添加的条件为：AB＝CD；
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定．熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四边相等的四边形是菱形，是解题的关键．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连接OC．若，则另一条直角边BC的长为 5 ．
【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，可得四边形ACFM为矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，根据正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF＝4，求出BF，即可求出答案．
【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝3，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴CF＝OF＝4，
∴BF＝OM＝OF﹣FM＝4﹣3＝1，
∴BC＝CF+BF＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形，掌握等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ACOB和正方形GFEO的面积分别是1与2，正方形GFEO沿x轴向右平移，若平移后正方形GFEO与正方形ACOB重叠部分的面积为，则F点移动后的坐标是 或 ．
【分析】先由题意得出两个正方形的边长，然后再由平移后的正方形GFEO沿x轴向右平移与正方形ACOB重叠部分的面积为，分两种情况进行讨论，即可得出所求点的坐标．
【解答】解：∵正方形ACOB与正方形GFEO的面积为1和2，
∴，
设平移后的正方形为G1F1E1O1，
分两种情况：
如图1，当O1在正方形OB中点时，重叠部分的面积为，
此时，则；
如图2，当E1在OB中点时，，重叠部分的面积为，
此时，则，
故答案为：或．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化平移，运用分类讨论、数形结合是解题的关键．
30．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8cm，AD＝6cm，点E、F在AB上，AE＝1cm，BF＝3cm，现要剪下一张等腰三角形纸片（△EFP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则构成等腰三角形EFP的个数为 3 ，其中一个等腰三角形边EP最长是 cm．
【分析】分三种情况当P1E＝EF，△EFP1是等腰三角形时，当P2F＝EF，△EFP2是等腰三角形时，当P3F＝P3E，△EFP3是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AE＝1，BF＝3，AB＝8，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4，BE＝EF+BF＝7，
如图所示，当P1E＝EF，△EFP1是等腰三角形时，则P1E＝EF＝4；
如图所示，当P2F＝EF，△EFP2是等腰三角形时，则P2F＝EF＝4；
在Rt△P2BF中，由勾股定理得，
在Rt△P2BE中，由勾股定理得；
如图所示，当P3F＝P3E，△EFP3是等腰三角形时，过点P3作P3H⊥EF于H，则四边形ADP3H是矩形，
∴AD＝P3H＝6，
∴，
在Rt△EP3H中，由勾股定理得，
综上所述，EP长是4或或，最长的为．
故答案为：3，．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．则下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为．其中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】连接BE，交FG于点O，由题意得∠EFB＝∠EGB＝90°，即可得四边形EFBG为矩形，得FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，用SAS即可得△ABE≌△ADE，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得∠BFG＝∠ADE，即可判断②，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，根据题意和角之间的关系得DE⊥FG，即可判断③，根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理得，即可得FG的最小值为，即可判断④．
【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴DE＝FG，
即①正确；
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠BFG＝∠ADE，
即②正确，
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由①得，∠ABE＝∠ADE，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠OFB＝∠ADE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°，
∴∠OFB+∠AHD＝90°，
即∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG，
即③正确；
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE最小，
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴，
∴，
由①知，FG＝DE，
∴FG的最小值为，
即④不正确，
综上，①②③正确，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
32．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝1，BC＝2，P是线段BC上一动点，M是线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，△ADM是 直角 （填“锐角、直角、钝角”）三角形；BM长的最小值为 ﹣1 ．
【分析】取AD的中点O，连接OB，OM，证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝1，
∴OM＝AD＝1，
∵OB＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣1，
∴BM的最小值为﹣1．
故答案为：直角，﹣1．
【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
33．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别为AD，AB上一点，且DE＝BF，连接BE，CF，则BE+CF的最小值为 ．
【分析】如图所示，作D关于直线AB的对称点D′，连接D′F，DF，先证明△ABE≌△ADF得到BE＝DF，则BE＝D′F，从而推出当C、F、D′三点共线时，CF+D′F有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为CD′，由此求解即可．
【解答】解：如图所示，作D关于直线AB的对称点D′，连接D′F，DF，
∴D′F＝DF，AD′＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵DE＝BF，
∴AE＝AF，
又∵∠FAD＝∠EAB，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，
∴BE＝D′F，
∴BE+CF＝CF+D′F，
∴当C、F、D′三点共线时，CF+D′F有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为CD′，
在Rt△D′DC中，CD′＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
34．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为点F．若DF＝4，则BD＝ 8 ．
【分析】连接AC交BD于点O，由菱形的性质得CD∥AB，AC⊥BD，BC＝DC，则∠DCE＝∠ABC＝80°，所以∠DCF＝∠DCE﹣∠ECM＝50°，因为DF⊥CM于点F，所以∠BOC＝∠DFC＝90°，∠CDF＝90°﹣∠DCF＝40°，而∠CBO＝∠ABC＝40°，则∠CBO＝∠CDF，即可证明△CBO≌△CDF，则BO＝DF＝4，所以BD＝2BO＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，BC＝DC，
∴∠DCE＝∠ABC＝80°，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECM＝80°﹣30°＝50°，
∵DF⊥CM于点F，
∴∠BOC＝∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣50°＝40°，
在△CBD和△ABD中，
，
∴△CBD≌△ABD（SSS），
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC＝×80°＝40°，
∴∠CBO＝∠CDF，
在△CBO和△CDF中，
，
∴△CBO≌△CDF（AAS），
∴BO＝DF＝4，
∴BD＝2BO＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明正确地作出辅助线并且证明△CBO≌△CDF是解题的关键．
35．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【分析】连接DP，利用勾股定理列式求出AC，判断出四边形DEPF是矩形；根据矩形的对角线相等可得EF＝DP，再根据垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接DP．
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵PF⊥DC于点E，PE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形DEPF是矩形；
∴EF＝DP，
由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ADC＝DC AD＝AC DP，
即×4×3＝×5 DP，
解得DP＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出DP⊥AC时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
三．解答题（共25小题）
36．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t．
（1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
（2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
【分析】（1）①如图1，当点P在BC上时，由DQ＝PC，建立方程解出t即可；如图2，当点P在BC的延长线上时，PC＝3t﹣10，由DQ＝PC，建立方程解出t即可．
（2）①如图1，当点P在BC上时，若四边形PCDQ是菱形则DQ＝PC＝CD＝6，建立方程求出m，n的关系即可；②如图2，当点P在BC的延长线上时，先证明四边形ACPQ是平行四边形，得到PQ＝AC＝8，再求出DQ＝PD＝5，建立方程求出m，n的关系．
【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时，
DQ＝t，PC＝10﹣3t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DQ∥PC，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC，
∴t＝10﹣3t，
∴t＝2.5（秒）．
②如图2，当点P在BC的延长线上时，
PC＝3t﹣10，
若四边形PCDQ是平行四边形，
则DQ＝PC，
∴t＝3t﹣10，
∴t＝5（秒）．
综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形．
（2）①如图1，当点P在BC上时，
若四边形PCDQ是菱形，
则DQ＝PC＝CD＝6，
∴nt＝10﹣mt＝6，
∴mt＝4，
∴＝，
∴3m＝2n．
②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形PCDQ是菱形，
∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE，
∴PQ∥AC，
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴PQ＝AC＝8，
∴QE＝PE＝4，
∴DQ＝PD＝＝＝5，
∴nt＝mt﹣10＝5，
∴m＝3n．
综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，又是动点问题，有一定的难度，正确画出图形，合理进行分类讨论是解题关键．
37．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：BD＝CF；
（2）连接CD，BF．如果D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形CDBF是矩形？证明你的结论．
【分析】（1）证明△BDE≌△CFE（AAS），进而结论得证；
（2）由BD＝CF，CF∥AB，可证四边形CDBF是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知∠CDB＝90°，进而可得AC，BC的数量关系．
【解答】（1）证明：由题意得BE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCE，∠BDE＝∠F，
在△BDF和△CFE中，
，
∴△BDE≌△CFE（AAS），
∴BD＝CF；
（2）解：AC＝BC时，四边形CDBF是矩形，证明如下：如图，
∵BD＝CF，CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形，
当AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，
∵D是AB的中点，
∴∠CDB＝90°，
∴四边形CDBF是矩形，
∴AC＝BC时，四边形CDBF是矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
38．如图，四边形ABCD为矩形，延长DC至E，使CE＝CB，连接AE交BD于点G，交BC于点F，且CD＝CF．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求证：EG﹣BG＝CG．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCD≌△ECF，可得∠E＝∠CBD，由余角的性质可得结论；
（2）由“ASA”可证△CEH≌△CBG，可得BG＝EH，GC＝CH，即可求解．
【解答】证明：（1）在△BCD和△ECF中，
，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠E＝∠CBD，
∵∠CBD+∠BDC＝90°，
∴∠E+∠BDC＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴BD⊥AE；
（2）如图，过点C作CH⊥CG，交AE于H，
∴∠GCH＝90°＝∠FCE，
∴∠BCG＝∠ECH，
又∵BC＝CE，∠E＝∠CBD，
∴△CEH≌△CBG（ASA），
∴BG＝EH，GC＝CH，
∴GH＝GC，
∴EG﹣BG＝EG﹣EH＝GH＝GC．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
39．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点，BE＝DF，求证：EC＝FC．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，BC＝CD，
在△BCE与△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴EC＝FC．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
40．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（2）请对△ABC的边或角添加一个条件，使得四边形ADCF成为菱形，并进行证明．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形；
（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD＝DC，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，则AF＝DC，
∴AD＝AF，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
41．已知：点C在线段AB上（BC＜AC），分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图1，判断AF与BD的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点H在AC上（点H不与点C重合），且∠EHG＝90°，求证：四边形AFGH是平行四边形．
【分析】（1）延长AF交BD于点F．由正方形的性质易证△ACF≌△DCB（SAS），即得出AF＝BD，∠CAF＝∠CDB．再根据∠CAF+∠CFA＝90°，∠CFA＝∠DFM，即得出∠CDM+∠DFM＝90°，即∠DMF＝90°，即证明AF⊥BD；
（2）连接CG，在AE上截取AP＝AH，连接PH．由正方形的性质易证△EPH≌△HCG（ASA），即得出EH＝HG，从而可证△EAH≌△HBG（AAS），即得出AH＝BG，进而得出AH＝FG，结合AH∥FG，即证明四边形AFGH是平行四边形．
【解答】（1）AF＝BD，AF⊥BD．
证明：如图1，延长AF交BD于点F．
∵四边形ACDE和BCFG，都是正方形，
∴AC＝DC，FC＝BC，∠ACF＝∠DCB＝90°，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB．
∵∠ACF＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°．
∵∠CFA＝∠DFM（对顶角相等），
∴∠CDM+∠DFM＝90°，
∴∠DMF＝90°，
∴AF⊥BD；
（2）证明：如图2，连接CG，在AE上截取AP＝AH，连接PH．
∵四边形ACDE是正方形，
∴AE＝AC，∠EAH＝90°，
∴∠AEH+∠AHE＝90°．
∵∠EHG＝90°，
∴∠BHG+∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝∠BHG．
∵AP＝AH，
∴∠APH＝∠AHP＝45°，AE﹣AP＝AC﹣AH，即PE＝CH，
∴∠EPH＝180°﹣∠APH＝180°﹣45°＝135°．
∵四边形BCFG是正方形，
∴BG＝FG，∠CBG＝90°，BC∥FG，∠BCG＝45°，
∴∠HCG＝180°﹣∠BCG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EPH＝∠HCG．
在△EPH和△HCG中，
，
∴△EPH≌△HCG（ASA），
∴EH＝HG．
在△EAH和△HBG中，
，
∴△EAH≌△HBG（AAS），
∴AH＝BG．
∵BG＝FG，
∴AH＝FG，
又∵BC∥FG，即AH∥FG，
∴四边形AFGH是平行四边形．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定．正确的作出辅助线是解题关键．
42．已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E，F．CE＝4，CF＝2．
（1）求证：四边形PFCE为矩形；
（2）求AP的长．
【分析】（1）由矩形的判定可证四边形PFCE为矩形；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP＝CP，由矩形的性质和勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形；
（2）解：在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∵四边形PFCE为矩形，
∴CE＝PF＝4，
∴PC＝＝＝2，
∴AP＝PC＝2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
43．如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，点F在正方形的外角平分线上，且∠AEF＝90°，点G为边AB的中点，求证：EG＝CF．
【分析】由正方形的性质可知AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，可得∠AGE＝∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，由“ASA”可证△AGE≌△ECF，得出结论．
【解答】证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE＝180°﹣45°＝135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴EG＝CF．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质寻找判定三角形全等的条件．
44．下面是多媒体上的一道试题：
在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．求证：四边形BFDE是矩形．
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
（1）嘉嘉的思路 正确 ，琪琪的思路 正确 ；（均选填“正确”或“错误”）
（2）请按照你认为的正确思路进行解答．
【分析】（1）嘉嘉通过先证明四边形是平行四边形，再通过“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来证明矩形，琪琪通过“三个角是直角的四边形是矩形”来证明矩形，都是正确的，
（2）按照嘉嘉的方法，先通过菱形的性质，得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据AF＝CE，得到BF＝DE，且BF∥DE，得到四边形DFBE是平行四边形，通过BE⊥CD，得到角为90°，得到矩形．
【解答】解：（1）故答案为：正确，正确；
（2）我选择嘉嘉思路：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵FA＝EC，
∴BF＝DE．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵CD⊥BE，
∴∠BED＝90°
∴四边形DFBE是矩形．
【点评】本题考查菱形的性质和矩形的判定方法，通过不同的判定方法均可判定四边形是矩形．
45．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE＝OC，OF＝OC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
【解答】解：（1）OE＝EF；
理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OF＝OC，
∴OE＝OF．
（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE＝OF＝OC＝OA，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用．
46．如图1，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于点M，交BC边于点N，ME⊥AB，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AEMF是正方形；
（2）如图2，过点C作CG∥MN，若AB＝2，BC＝5，求四边形ANCG的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，根据AAS证明△AEM与△AFM全等，进而利用全等三角形的性质和正方形的判定解答即可；
（2）根据矩形的性质得出AD∥BC，进而利用等角对等边得出AB＝BN，进而利用平行四边形的面积解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵ME⊥AB，MF⊥AD，
∴∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM与△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AEMF是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAN＝∠ANB，
∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M，
∴∠DAN＝∠BAN，
∴∠BAN＝∠ANB，
∴AB＝BN＝2，
∴NC＝BC﹣BN＝5﹣2＝3，
∴四边形ANCG的面积＝NC AB＝3×2＝6．
【点评】此题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
47．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若∠ABC＝70°，DF＝，求∠ACD的度数及BD的长．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得∠BDC＝∠DBC，则BC＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BO＝DO，∠DCA＝∠BCA＝∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，再证∠DCA＝∠DCM，然后由角平分线的性质得DO＝DF＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，∠DCA＝∠BCA＝∠BCD，AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∠DCE＝∠ABC＝70°，
∴∠DCA＝∠BCD＝55°，
∵∠ECM＝15°，
∴∠DCM＝∠DCE﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，
∴∠DCA＝∠DCM，
∵DF⊥CM，BD⊥AC，
∴DO＝DF＝，
∴BD＝2DO＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
48．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．
（1）如图1，求证：AP＝AQ；
（2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角．
【分析】（1）证明AP和AQ所在的△ABP和△ADQ全等即可；
（2）证明△ABC是等边三角形，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵P、Q分别是边BC、CD的中点，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ；
（2）解：连接AC．
∵BP＝PC，AP⊥BC，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AC，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP＝30°，
∵△ABP≌△ADQ，
∴∠DAQ＝∠BAP＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠PCQ＝180°﹣∠B＝120°，
∵CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝30°，
∴∠BAP＝∠DAQ＝∠CPQ＝∠CQP＝30°．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判断和性质以及等腰三角形的判定，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解答本题的关键．
50．如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．
【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可；
（2）设BH的长度为x，根据菱形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）四边形FBHD为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠HBD，
∵E为BD中点
∴BE＝DE，
∵FH⊥BD，
∴∠FED＝∠HEB，
∴△FED≌△HEB（ASA），
∴FE＝HE，
又BE＝DE，
∴四边形FBHD为平行四边形，
∵FH⊥BD，
∴平行四边形FBHD为菱形；
（2）设BH的长度为x，
由（1）得四边形FBHD为菱形，
∴BH＝FD＝BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝12，AD＝18，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
∴122+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝13，
∴BH的长度为13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
51．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠DBC＝180°．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）在（2）的条件下，若点F为边AD上的一个动点，点F到AC与BD的距离之和为a，a＝ ．（直接写出答案）
【分析】（1）先证明四边形OBEC是平行四边形，再由已知结合三角形内角和定理推出OB＝OC，即可得到结论；
（2）证明平行四边形ABCD是矩形，推出△OAB是边长为4的等边三角形，利用勾股定理求得BC的长，利用矩形的面积公式即可求解；
（3）连接OP，利用，，代入数据即可求解．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，又OB＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵∠AOB＝60°，AB＝4，
∴△OAB是边长为4的等边三角形，
∴AC＝2AB＝8，，
∴四边形ABCD的面积为；
（3）解：如图，连接OP，FG⊥OA，FH⊥OD，由题意得a＝FG+FH，
∵OA＝OD＝4，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
52．已知：如图，四边形ABCD是矩形，分别延长AD，CD到点E，F，使DE＝AD，DF＝CD，连接AC，AF，EF，EC．
（1）求证：四边形ACEF是菱形；
（2）连接BE，如果四边形ACEF的周长是，CF＝2，求BE的长．
【分析】（1）根据DE＝AD，DF＝CD，可知四边形ACEF是平行四边形，根据矩形的性质可得∠ADC＝90°，即可得证；
（2）根据菱形的性质可得CD＝1，AC＝，根据勾股定理，可得AD的长，进一步可得AE的长，根据矩形的性质可得AB＝CD＝1，再根据勾股定理可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵DE＝AD，DF＝CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴四边形ACEF是菱形；
（2）解：在菱形ACEF中，CD＝DF，
∵四边形ACEF的周长是，
∴AC＝，
∵CF＝2，
∴CD＝1，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD＝＝2，
∴AE＝2AD＝4，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝CD＝1，
根据勾股定理，得BE＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若AC＝3cm，BC＝4cm，求线段DG的长度．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAE＝∠BAE，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°，等量代换可得∠CEA＝∠AGD＝∠CGE，即可证明CG＝CE；
（2）先证△AGC≌△AGF（ASA），推出CG＝FG，结合（1）中结论可得CE＝FG，结合GF∥BC可证四边形CGFE是平行四边形，结合CG＝CE可证CGFE是菱形；
（3）根据勾股定理可得AB＝5cm，根据△AGC≌△AGF可得AF＝AC＝3cm，进而求出BF＝2cm，再根据菱形的性质推出EF∥CG，进而证明EF⊥AB，设CE＝EF＝CG＝GF＝x，用勾股定理解Rt△EFB求出x，再利用面积法求出CD，即可求出DG的长度．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°，
∴∠CEA＝∠AGD，
又∵∠CGE＝∠AGD，
∴∠CEA＝∠CGE，
∴CG＝CE；
（2）解：四边形CGFE是菱形，理由如下：
∵GF∥BC，
∴∠CEG＝∠EGF，
由（1）知∠CEA＝∠CGE，
∴∠CGE＝∠EGF，
∴∠AGC＝∠AGF，
又∵AG＝AG，∠CAE＝∠BAE，
∴△AGC≌△AGF（ASA），
∴CG＝FG，
由（1）知CG＝CE，
∴CE＝FG，
又∵GF∥BC，
∴CE∥FG，
∴四边形CGFE是平行四边形，
又∵CG＝CE，
∴四边形CGFE是菱形；
（3）解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴，
由（2）知△AGC≌△AGF，
∴AF＝AC＝3cm，
∴BF＝AB﹣AF＝2cm，
∵四边形CGFE是菱形，
∴EF∥CG，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
设CE＝EF＝CG＝GF＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法，能够通过勾股定理列方程．
54．如图1，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，OA＝2，OC＝4，点B在第一象限．
（1）点B的坐标为 B（4，2） ；
（2）如图2，点P是线段CB延长线上的点，连接AP，OP，则∠POC，∠APO，∠PAB三个角满足的关系是什么？并说明理由；
（3）在（2）的基础上，已知：∠PAB＝20°，∠POC＝50°，在第一象限内取一点F，连接OF，AF，满足∠PAB＝2∠FAP，∠POC＝2∠FOP，请直接写出的值．
【分析】（1）根据长方形求出各边长，从而得到点B坐标；
（2）设OP与AB交于D，根据平行线的性质得到∠PDB＝∠POC，再利用外角的性质求解；
（3）分当F在OP上方时和当F在OP下方时，求出相应角的度数，可得结果．
【解答】解：（1）在长方形OABC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝4，
∵点B在第一象限，
∴B（4，2）；
（2）∠POC＝∠APO+∠PAB，理由是：
设OP与AB交于D，
∵AB∥OC，
∴∠PDB＝∠POC，
∵∠PDB＝∠APO+∠PAB，
∴∠POC＝∠APO+∠PAB；
（3）当F在OP上方时，
∵∠PAB＝20°，
∴，
∵∠POC＝∠APO+∠PAB，
∴50°＝∠APO+20°，即∠APO＝30°，
∴∠BAF＝∠FAP+∠PAB＝30°＝∠APO，
∵∠POC＝2∠FOP，∠POC＝50°，
∴∠FOP＝25°，
∴∠FOC＝∠FOP+∠POC＝75°，
同（2）可得：∠FOC＝∠F+∠FAB，即75°＝∠F+30°，
∴∠F＝45°，
∴；
当F在OP下方时，∠PAB＝20°，∠APO＝30°，∠POC＝50°，
∵，
∴∠FAB＝10°，
∵，
∴∠FOC＝∠POC﹣∠POF＝25°，
∴∠F＝∠FOC﹣∠BAF＝15°，
∴．
综上：的值为或2．
【点评】本题考查了坐标与图形，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是分类讨论，理清角的关系．
55．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；
②过点E作MN⊥BC，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解答】（1）①证明：方法一：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE）SAS），
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
②解：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴，
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝a．
（2）解：如图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝a，
∴CN＝a，
∴EN＝BN＝a，
∴DE＝a．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的方法是解题的关键．
56．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF．
（1）求证：∠BAE＝∠DAF；
（2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，根据全等三角形的判定和性质得到∠BAE＝∠DAF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，根据等腰三角形的性质得到AM⊥EF，求得∠AME＝∠AMF＝90°，根据菱形的性质得到∠B+∠C＝180°，求得∠AEC＝∠AFC，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△BAE与△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF；
（2）解：由（1）知，△BAE≌△DAF，
∴AE＝AF，
∵M是EF中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AME＝∠AMF＝90°，
∴△AME，△AMF是直角三角形，
∵∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠EAF，
∴∠EAF+∠C＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠AEB＝∠AFD，
∴∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC+∠AFC＝180°＝90°，
∴△AEB和△AFD是直角三角形，
故图中的所有直角三角形是△AME，△AMF，△AEB，△AFD．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
57．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
【分析】（1）由折叠性质得AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）解：MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．
58．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．
（1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数；
（2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长；
（3）当AE＝时，求BP的长．
【分析】（1）先利用正方形的性质和∠DAE＝25°，求出∠AEB＝70°，再通过△DAE≌△DCE得到∠AEB＝∠CEB，从而得出结论；
（2）通过已知条件可以证明△DEP是等腰直角三角形，根据DP＝4，可以DE＝DP＝2，再在Rt△EBP中求出求出BE，从而求出正方形对角线BD＝2+2即可；
（3）先通过△BAE≌△BCE，得出EC＝AE＝，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE＝OC，再通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和证明出EO⊥OC，然后在Rt△OCE中求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
又∵∠DAE＝25°，
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝45°+25°＝70°，
在△DAE和△DCE中，
，
∴△DAE≌△DCE（SAS），
∴∠DEA＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AEC＝2∠AEB＝2×70°＝140°；
（2）∵∠PBC＝15°，
∴∠PBD＝30°，∠BPC＝75°，
∵PE⊥BD，
∴∠BPE＝60°，
∴∠DPE＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵DP＝4，∠DPE＝∠EDP＝45°，
∴DE＝EP＝DP＝2，
在Rt△EBP中，∠EBP＝30°，
∴BE＝EP＝2，
∴DB＝2+2，
∴DC＝DB＝2+2；
（3）连接OC，
在△BAE和△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（SAS），
∴EC＝AE＝，
在Rt△EBP中，O为BP中点，
∴EO＝BO＝OP，
同理：OC＝OB＝OP，
∴OE＝OC，
∵∠EBP＝45°﹣∠PBC，OE＝OB，
∴∠EOP＝2（45°﹣∠PBC）＝90°﹣2∠PBC，
又∵∠POC＝2∠PBC，
∴∠EOC＝90°﹣2∠PBC+2∠PBC＝90°，
∴EO⊥OC，
在△OCE中，OC＝OE，OE⊥OC，
∴OE＝OC＝EC＝×＝，
∴BP＝2OE＝2．
【点评】本题考查正方形的性质、全
同课章节目录
- 第一章 二次根式
- 1.1 二次根式
- 1.2 二次根式的性质
- 1.3 二次根式的运算
- 第二章 一元二次方程
- 2.1 一元二次方程
- 2.2 一元二次方程的解法
- 2.3 一元二次方程的应用
- 2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）
- 第三章 数据分析初步
- 3.1 平均数
- 3.2 中位数和众数
- 3.3 方差和标准差
- 第四章 平行四边形
- 4.1 多边形
- 4.2 平行四边形
- 4.3 中心对称
- 4.4 平行四边形的判定
- 4.5 三角形的中位线
- 4.6 反证法
- 第五章 特殊平行四边形
- 5.1 矩形
- 5.2 菱形
- 5.3 正方形
- 第六章 反比例函数
- 6.1 反比例函数
- 6.2 反比例函数的图象和性质
- 6.3 反比例函数的应用