浙教版八下第4章平行四边形好题精选30题（含解析）

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第四章 平行四边形好题精选30题
一．选择题（共12小题）
1．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　）
A．10和34 B．18和20 C．14和10 D．10和12
2．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　）
A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则 ABCD的面积是（　　）
A．8 B． C．2 D．4
4．如图， ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．如图，在 ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3， ABCD的周长为40，则AB的长为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．15
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
7．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　）
A．50° B．25° C．15° D．20
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（　　）个．
A．10 B．12 C．14 D．23
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10．如图，A，B，C，D为一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标不可能为（　　）
A．（3，0） B．（5，4） C．（﹣1，2） D．（6，4）
11．如图所示，线段EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB＝4，BC＝5，EF＝3．那么四边形EFCD的周长是（　　）
A．14 B．12 C．16 D．10
12．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（　　）
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
二．填空题（共10小题）
13．已知：在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝13cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　cm．
第13题图 第14题图
14．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在 ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝2，则AF＝　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是　 　．
16．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B20A21B21的顶点A21的坐标是　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是　 　．
第17题图 第18题图 第19题图
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为　 　秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于　 　．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．若点Q在x轴上，点P在直线AB上，要使以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的坐标为　 　．
三．解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）判断四边形BDEF的形状，并说明理由；
（2）若∠C＝45°，BD＝2，求D，F两点的距离．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．
（1）求平行四边形ABCD的面积S；
（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．
（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．
24．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　 　．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
25．在平行四边形ABCD中，A＝60°，AB＝5，AD＝8．动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿线段AD运动到点D，点F以每秒3个单位长度的速度沿线段A﹣B﹣C﹣D的运动线路到点D，当其中一个动点先到达点D，所有运动均停．
（1）动点　 　先到达点D，运动时间为　 　秒；
（2）若运动时间为t秒，△AEF的面积为S，用含有t的代数式表示S（代数式化简成最简形式），并直接写出t的取值范围．
26．如图， ABCD中，∠C＝60°，BC＝6，DC＝3，E是AD中点，F是DC边上任意一点，M，N分别为EF和BF中点．求MN的长．
27．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，F是AD上的一点，连接BO和FO．
（1）当点E为AB中点时，求EO的长度；
（2）求线段AO的取值范围；
（3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF．
28．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝18cm，BC＝20cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）经过多少时间，四边形ABQP能成为平行四边形？
（2）在（1）的条件下，连结AQ、BP、AQ和BP垂直吗，为什么？
30．如图，某环形路ABCD是平行四边形，AB＝1000米，BC＝3000米，现有1号、2号两车分别从A地同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿此环形路连续循环行驶，环形路上的人员可以随时乘车（上、下车的时间忽略不计）．由于地段上人员的稠密程度，车的行驶速度不同，在BC这段路上行驶时，速度足200米/分；在AB，AD，CD这段路上行驶时，速度是400米/分．小明和小华在BC路段上的学校E地要去地铁口C地，此时恰好1号车经过E地．
探究 从A地到C地，1号车用时　 　分，2号车用时　 　分；各自行驶一周用时　 　分．
发现 在E地小明乘坐了1号车，小华步行，步行速度为50米/分，结果两人同时到达C地，求EC的长．
拓展 若两人在E地等候并乘2号车去往C地，最快到达C地需要多长时间（包括等候和乘车时间）？
平行四边形好题精选30题 参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　）
A．10和34 B．18和20 C．14和10 D．10和12
【分析】作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行判断，即可得出结论．
【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB＝CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE＝BD，BE＝CD＝AB，
∴在△ACE中，AE＝2AB＝24＜AC+CE，
∴四个选项中只有A，B符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，通过作一条对角线的平行线，将两条对角线转化到一个三角形，利用三角形的三边关系解题是关键．
2．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　）
A．只与AB、CD的长有关
B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，
∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中位线定理理． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则 ABCD的面积是（　　）
A．8 B． C．2 D．4
【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．
【解答】解：∵在 ABCD中，
∴AB＝DC，
∵α＝60°．AB＝OD＝2，
∴△DOC是等边三角形，
∴△DOC的面积＝，
∴ ABCD的面积＝4△DOC的面积＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
4．如图， ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3cm，
同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，
则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
5．如图，在 ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3， ABCD的周长为40，则AB的长为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．15
【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC+CD＝40÷2＝20，
根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．
∴BC＝12，CD＝8，
∴AB＝CD＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．
6．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．解题时还要注意两只蚂蚁速度相同且同时出发，才能得到甲、乙所用的时间相同且甲、乙同时到达终点．
7．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　）
A．50° B．25° C．15° D．20
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，
∴∠PMN＝＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故选：D．
9．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（　　）个．
A．10 B．12 C．14 D．23
【分析】观察图形，根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可．
【解答】解：
一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共6个，
一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN共6个，
还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN、AQSN，共11个，
6+6+11＝23个，
故选：D．
10．如图，A，B，C，D为一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标不可能为（　　）
A．（3，0） B．（5，4） C．（﹣1，2） D．（6，4）
【解答】解：当点D的坐标为（3，0）时，A，B，C，D为一个平行四边形；
当点D的坐标为（5，4）时，A，B，C，D为一个平行四边形；
当点D的坐标为（﹣1，2）时，A，B，C，D为一个平行四边形；
但当点D的坐标为（6，4）时，AC不能与BD平行，所以不是平行四边形；
故选：D．
11．如图所示，线段EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB＝4，BC＝5，EF＝3．那么四边形EFCD的周长是（　　）
A．14 B．12 C．16 D．10
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，
根据平行四边形的对边相等，得
CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，
故四边形EFCD的周长＝EF+FC+ED+CD，
＝OE+OF+AE+ED+CD，
＝1.5+1.5+5+4＝12．
故选：B．
12．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（　　）
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
【解答】解：连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：：m＝3：2：1
故选：B．
二．填空题（共8小题）
13．已知：在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝13cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝　5　cm．
【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，AD＝BC＝13cm，AB＝CD＝8cm，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝13cm，
∴DF＝CF﹣CD＝13﹣8＝5cm，
故答案为5．
14．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在 ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝2，则AF＝　2　．
【解答】解：如图2，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴∠EAH＝∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝BF＝CF＝AD＝4，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝2，AP＝PF，
在△AEH和△CFH中，，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH＝FH，
∴EP，AH分别是△AFE的中线，
由a2+b2＝5c2得：AF2+EF2＝5AE2，
∴AF2＝5×42﹣（2）2＝40，
∴AF＝2．
故答案为：2．
16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是　（﹣a，b）　．
【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于原点对称后在第二象限，
点A第三次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每3次对称为一个循环组依次循环，
∵2018÷3＝672余2，
∴经过第2018次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）．
16．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B20A21B21的顶点A21的坐标是　（41，）　．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，），
∴△B20A21B21的顶点A21的坐标（41，）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是　6　．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，∠B＝90°，
∴OD∥AB，
又∵平行四边形ADCE中，OC＝OA，DE＝2OD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB，AB＝2OD，
∴DE＝AB．
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB＝＝6，
∴DE＝6．
故答案为6．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为　2或　秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t，
∴t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝4﹣t+4，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6，
∴4﹣t+4＝2t﹣6，
解得：t＝，
∴当运动时间t为2或秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或
19．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于　：　．
【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝a，BN＝BF＝a，FN＝a，CM＝a，
∴AF＝＝a，
∵F是BC的中点，
∴S△DFA＝S平行四边形ABCD，
即AF×DP＝CD×CM，
∴PD＝，
∴DP：DC＝：．
故答案为：：．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．若点Q在x轴上，点P在直线AB上，要使以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的坐标为　（﹣1.5，2）或（﹣3.5，﹣2）或（﹣0.5，4）　．
【解答】解：∵点Q在x轴上，点P在直线AB上，以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，
当A1C1为平行四边形的边时，
∴PQ＝A1C1＝2，
∵P点在直线y＝2x+5上，
∴令y＝2时，2x+5＝2，解得x＝﹣1.5，
令y＝﹣2时，2x+5＝﹣2，解得x＝﹣3.5，
当A1C1为平行四边形的对角线时，
∵A1C1的中点坐标为（3，2），
∴P的纵坐标为4，
代入y＝2x+5得，4＝2x+5，
解得x＝﹣0.5，
∴P（﹣0.5，4），
故P为（﹣1.5，2）或（﹣3.5，﹣2）或（﹣0.5，4）．
故答案为：（﹣1.5，2）或（﹣3.5，﹣2）或（﹣0.5，4）．
三．解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）判断四边形BDEF的形状，并说明理由；
（2）若∠C＝45°，BD＝2，求D，F两点的距离．
【解答】（1）解：四边形BDEF为平行四边形，理由如下：
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形．
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，
即D，F两点间的距离是．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．
（1）求平行四边形ABCD的面积S；
（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．
【解答】（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，
∴AD＝2AM＝8．在 ABCD的面积中，BC＝CD＝8，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝4，
∴AB＝6，CE＝4，
∴ ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠N，
在△AEM和△DNM中
∵，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，
∴∠N＝∠MCN，
∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．
（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD＝DB，DE∥BC，
∴AE＝EC，
∵EF∥AB，
∴BF＝CF，∵AD＝DB，
∴DF∥AC，∵EF∥AB，
∴四边形DFEA是平行四边形．
（2）情形1：当点D是AB的中点，由（1）可知：DE∥BC，DF∥EC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠EDF＝90°，△DEF是直角三角形，此时AD＝AB＝×＝5．
情形2：如图，当∠DFE＝90°时，设AD＝x．
则AE＝x．BD＝10﹣x，EC＝8﹣x，BF＝（10﹣x），CF＝（8﹣x），
∵BF+CF＝6，
∴（10﹣x）+（8﹣x）＝6
∴x＝，
综上所述，AD的值为5或．
24．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　＝　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　45°　．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　∠P＝90°﹣∠A　．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．
故答案为：＝．
（2）∠2﹣∠C＝45°．
理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2﹣∠C+135°＝180°，
∴∠2﹣∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90°﹣∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．
故答案为：∠P＝90°﹣∠A，
（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，
∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），
∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．
25．在平行四边形ABCD中，A＝60°，AB＝5，AD＝8．动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿线段AD运动到点D，点F以每秒3个单位长度的速度沿线段A﹣B﹣C﹣D的运动线路到点D，当其中一个动点先到达点D，所有运动均停．
（1）动点　E　先到达点D，运动时间为　6　秒；
（2）若运动时间为t秒，△AEF的面积为S，用含有t的代数式表示S（代数式化简成最简形式），并直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）（5+8+5）÷3＝6（秒），
8÷1＝8（秒），
故动点E先到达点D，运动时间为6秒；
（2）S＝t×3t×＝t2（0＜t≤）；
S＝t×5×＝t（（＜t≤）；
S＝t×（5+8+5﹣3t）×＝（﹣t2+6t）（＜t＜6）．
故答案为：E，6．
26．如图， ABCD中，∠C＝60°，BC＝6，DC＝3，E是AD中点，F是DC边上任意一点，M，N分别为EF和BF中点．求MN的长．
【解答】解：连接BE，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，DC＝AB＝3，
∠A＝∠C＝60°，
∵E是AD中点，
∴AE＝AD＝3，
∴AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝3，
∵M，N分别为EF和BF中点，
∴MN＝BE＝．
27．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，F是AD上的一点，连接BO和FO．
（1）当点E为AB中点时，求EO的长度；
（2）求线段AO的取值范围；
（3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝3，OA＝OC，
∵点E为AB中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）解：在△ABC中，∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC，
而OA＝OC，
∴5﹣3＜2AO＜5+3，
∴2＜AO＜4；
（3）证明：延长FO交BC于G点，连接EG，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，BC∥AD，
∴∠OBG＝∠ODF，
在△OBG和△ODF中
，
∴△OBG≌△ODF，
∴BG＝DF，OG＝OF，
∵EO⊥OF，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+FD＞EF．
28．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BD＝EF，
∴OD＝OB＝OE＝OF＝BD，
∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝18cm，BC＝20cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）经过多少时间，四边形ABQP能成为平行四边形？
（2）在（1）的条件下，连结AQ、BP、AQ和BP垂直吗，为什么？
【解答】解：设点P、Q运动时间为t秒，
则AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝BC﹣CQ＝20﹣3t，
（1）∵AD∥BC
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为平行四边形，
∴2t＝20﹣3t，解得t＝4s
即运动4s时，四边形ABQP为平行四边形
（2）在（1）中，当运动时间为4s时，四边形ABQP为平行四边形，
这时AP＝2tcm＝8cm，则有AP＝AB
∴四边形ABQP为菱形，
∴AQ⊥BP
30．如图，某环形路ABCD是平行四边形，AB＝1000米，BC＝3000米，现有1号、2号两车分别从A地同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿此环形路连续循环行驶，环形路上的人员可以随时乘车（上、下车的时间忽略不计）．由于地段上人员的稠密程度，车的行驶速度不同，在BC这段路上行驶时，速度足200米/分；在AB，AD，CD这段路上行驶时，速度是400米/分．小明和小华在BC路段上的学校E地要去地铁口C地，此时恰好1号车经过E地．
探究 从A地到C地，1号车用时　10　分，2号车用时　17.5　分；各自行驶一周用时　27.5　分．
发现 在E地小明乘坐了1号车，小华步行，步行速度为50米/分，结果两人同时到达C地，求EC的长．
拓展 若两人在E地等候并乘2号车去往C地，最快到达C地需要多长时间（包括等候和乘车时间）？
【解答】解：探究：从A地到C地，1号车用时+＝10分，2号车用时+＝17.5分；各自行驶一周用时27.5分；
发现：设EC的长为x米，由题意得到：
＝+，
解得x＝1100，
即EC＝1100米；
拓展：1号车从A到E的时间＝10+＝15.5分，
这时2号车行驶到BC段，到达C地需要：17.5﹣15.5＝2分，
所以2号车再到达E地的时间＝2++＝24分，
乘坐2号车从E到C的时间＝＝5.5分，
所以，两人在E地等候并乘2号车去往C地，最快到达C地需要29.5分钟．
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