浙教版八下第6章反比例函数解答题精选30题（含解析·）

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第六章 反比例函数解答题精选30题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1≥y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若∠DAC＝30°，求点C的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出＞的解集；
（3）将直线l1：y＝沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
3．阅读与应用：同学们：你们已经知道（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0．
∴a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号）．
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0
∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
阅读2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：
x+≥2即x+≥2，
∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数y＝a﹣1+（a＞1），则a＝　 　时，函数y＝a﹣1+（a＞1）的最小值为　 　；
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x＝　 　时，周长的最小值为　 　；
问题3：求代数式（m＞﹣1）的最小值．
4．如图，已知一次函数y＝2x﹣4与反比例函数y＝的图象相交于点A（a，2），与x轴相交于点B．
（1）求a和k的值；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求菱形ABCD的面积．
5．如图1，已知直线y＝mx分别与双曲线y＝，y＝（x＞0）交于P，Q两点，且OP＝2OQ，
（1）求k的值；
（2）如图2，若A是双曲线y＝上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y＝（x＞0）于B，C，连接BC，设A点的横坐标为t．
①分别写出A，B，C的坐标，并求△ABC的面积；
②当m＝2时，D为直线y＝2x上的一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求A点坐标．
6．如图，已知点A的坐标为（a，4）（其中a＜﹣3），射线OA与反比例函数y＝的图象交于点P，点B，C分别在函数y＝的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴，连接BO，BP，CP．
（1）当a＝﹣6，求线段AC的长；
（2）当AB＝BO时，求点A的坐标；
（3）求△ABP与△ACP的面积的比值．
7．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．
（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；
（2）求直线BF的解析式；
（3）直接写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），OB＝OA，点E的横坐标为3，反比例函数y＝的图象经过点E．
（1）求k的值；
（2）若直线AB与反比例函数图象上除点E外的另一交点为P，求△ECP的面积；若点R在x轴上，若点S在y轴上，求PR+RS+SE的最小值；
（3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、E、M、N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
9．某科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润，若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值；
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年这种电子产品每件的销售价格x（元/件）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
10．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）求a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
11．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围　 　．
（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求点C的坐标．
14．在直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0），过点A（3，4）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）在x轴上有一点P（1，0），在反比例函数图象上有一个动点Q，以PQ为一边作一个正方形PQRS，当正方形PQRS有两个顶点在坐标轴上时，画出状态图并求出相应S点坐标．
15．在直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A、B在x轴上，矩形ABCD的相邻两边长之比2：1，顶点C在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．
（1）当点A与原点重合，且矩形ABCD的面积为2时，求反比例函数的解析式；
（2）当A点坐标为（1，0）时，点C在反比例函数y＝图象上，且AB＞BC时，求矩形ABCD边AB的长；
（3）当A点坐标为（5，0）时，在反比例函数y＝图象上，符合题意的矩形ABCD有　 　个．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
17．如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点．连接BC．
（1）求k的值；
（2）判断△ABC的形状，并求出它的面积．
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知直线y＝mx+n与反比例函数y＝交于A、B两点，点A在点B的左边，与x轴、y轴分别交于点C、点D，AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F．
（1）若m＝k，n＝0，求A，B两点的坐标（用m表示）．
（2）如图1，若A（x1，y1）、B（x2，y2），写出y1+y2与n的大小关系，并证明．
（3）如图2，M、N分别为反比例函数y＝与y＝图象上的点，AM∥BN∥x轴．若＝，且AM，BN之间的距离为5，则k﹣b＝　 　．
19．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
20．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．
（1）m＝　 　，k1＝　 　；
（2）当x的取值范围是　 　时，k1x+b＞；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S△OAD：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°．点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，4），M是BC边的中点，函数y＝（x＞0）的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），且EF在y轴上，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，求直线DF的表达式．
22．某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金x/万元 产品成本y/（万元/件）
2014 2.5 14.4
2015 3 12
2016 4 9
2017 4.5 8
（1）分下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数标书其变化规律，直接写出y与x的函数关系式：
（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金6万元．
①预计2018年每件产品比2017年降低多少万元？
②若计划在2018年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金多少万元？
23．如图为某种材料温度y（℃）随时间x（min）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系．
（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？
24．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
25．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是　 　．
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ m 2 n …
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y＝﹣时，x＝　 　．
②写出该函数的一条性质　 　．
③若方程x+＝t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是　 　．
26．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当x＜0时，比较y1与y2的大小；
（3）若点P（x，y）也在反比例函数y2＝的图象上，当﹣4≤x≤﹣时，求函数值y的取值范围．
27．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y═（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．
（1）求该反比例函数关系式；
（2）当1≤x≤4时，求y＝的函数值的取值范围；
（3）将直线y＝x﹣2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式mx+n＜的解集；
（3）连接MC，求四边形MBOC的面积．
参考答案与试题解析
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1≥y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若∠DAC＝30°，求点C的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）观察函数图象，由两函数图象的上下位置关系结合两交点的坐标，即可找出y1≥y2时x的取值范围；
（3）由点A，B的纵坐标可得出AD的长度及点D的坐标，在Rt△ADC中，由∠DAC＝30°可得出CD的长度，再结合点D的坐标即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴2＝，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y2＝．
∵点B（﹣2，m）在反比例函数y2＝的图象上，
∴m＝＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1）．
把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y1＝x+1．
（2）由函数图象可知：当﹣2≤x＜0或x≥1时，y1≥y2．
（3）由题意得：AD＝2﹣（﹣1）＝3，点D的坐标为（1，﹣1）．
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，即＝，
解得：CD＝．
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为（1﹣，﹣1）；
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为（1+，﹣1）．
∴当点C的坐标为（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、函数图象以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）由两函数图象的上下位置关系，找出结论；（3）在Rt△ADC中，由特殊角的三角函数值求出CD的长．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）依据直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，
把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，
解得b＝，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为（15，0）．
3．阅读与应用：同学们：你们已经知道（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0．
∴a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号）．
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0
∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
阅读2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：
x+≥2即x+≥2，
∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数y＝a﹣1+（a＞1），则a＝　4　时，函数y＝a﹣1+（a＞1）的最小值为　6　；
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x＝　2　时，周长的最小值为　8　；
问题3：求代数式（m＞﹣1）的最小值．
【分析】（1）由阅读2得到a﹣1＝时，函数y＝a﹣1+（a＞1）取最小值；
（2）同（1）方法x＝2时周长取到最小值；
（3）先将处理成m+1+，同（1）的方法得出结论；
【解答】解：问题1，由阅读2知，a﹣1＝时，
即：a＝4时，函数y＝a﹣1+（a＞1）的最小值是2＝6，
答案为4，6；
问题2，由阅读2知，x＝＝2时，
周长为2（x+）的最小值是2×2＝8，
故答案为2，8；
（3）＝＝＝m+1+，
∴当m+1＝时，即m＝1时，（m＞﹣1）最小值是2＝4．
【点评】此题是反比例函数题，函数极值的确定方法，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
4．如图，已知一次函数y＝2x﹣4与反比例函数y＝的图象相交于点A（a，2），与x轴相交于点B．
（1）求a和k的值；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点A的坐标可得出点E的坐标，进而可得出BE，AE的长度，利用勾股定理可求出AB的长度，由四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质可求出BC的长度，再利用菱形的面积公式即可求出菱形ABCD的面积．
【解答】解：（1）当y＝2时，有2a﹣4＝2，
解得：a＝3，
∴点A的坐标为（3，2）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3×2＝6．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
当y＝0时，有2x﹣4＝0，
解得：x＝2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点A的坐标为（3，2），
∴点E的坐标为（3，0），
∴BE＝3﹣2＝1，AE＝2﹣0＝2，
∴AB＝＝．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝，
∴S菱形ABCD＝BC AE＝2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、菱形的性质以及菱形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出a，k的值；（2）利用菱形的性质及勾股定理求出BC，AE的长度．
5．如图1，已知直线y＝mx分别与双曲线y＝，y＝（x＞0）交于P，Q两点，且OP＝2OQ，
（1）求k的值；
（2）如图2，若A是双曲线y＝上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y＝（x＞0）于B，C，连接BC，设A点的横坐标为t．
①分别写出A，B，C的坐标，并求△ABC的面积；
②当m＝2时，D为直线y＝2x上的一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求A点坐标．
【分析】（1）设Q点坐标为（a，b），则P点的坐标为（2a，2b），利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出2a 2b＝8，进而可求出k＝ab＝2；
（2）①由A点的横坐标可得出A，B，C点的坐标，进而可得出AC，AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
②分AC为边及AC为对角线两种情况考虑：（i）当AC为边时，由平行四边形的性质可得出关于t的方程，解之取其正值，再将其代入点A的坐标即可得出结论；（ii）当AC为对角线时，由平行四边形的性质可得出关于t的方程，解之取其正值，再将其代入点A的坐标即可得出结论．综上，此题得解．
【解答】解：（1）设Q点坐标为（a，b），则P点的坐标为（2a，2b）．
∵P点在双曲线y＝上，Q点在双曲线y＝上，
∴2a 2b＝8，
∴k＝ab＝2．
（2）①∵A点的横坐标为t，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴A点坐标为（t，），C点坐标为（t，），B点坐标为（，），
∴AC＝﹣＝，AB＝t﹣＝，
∴S△ABC＝AC AB＝××＝．
②分两种情况考虑：
（i）当AC为边时，如图3所示．
∵四边形ADBC为平行四边形，
∴AC＝BD，AC∥BD，
∴D点的坐标为（，），
∴BD＝|﹣|＝，即＝或＝，
解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去），t3＝2，t4＝﹣2（舍去），
∴A点的坐标为（2，4）或（2，）；
（ii）当AC为对角线时，如图4所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴D点的坐标为（，），
∴CD＝|﹣t|＝，即＝或＝，
解得：t1＝，t2＝﹣（舍去），t3＝2，t4＝﹣2（舍去），
∴A点坐标为（，4）或（2，4）．
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（2，）或（，4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）①由A点的横坐标，利用含t的代数式表示出AB，AC的长；②分AC为边及AC为对角线两种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的方程．
6．如图，已知点A的坐标为（a，4）（其中a＜﹣3），射线OA与反比例函数y＝﹣的图象交于点P，点B，C分别在函数y＝﹣的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴，连接BO，BP，CP．
（1）当a＝﹣6，求线段AC的长；
（2）当AB＝BO时，求点A的坐标；
（3）求△ABP与△ACP的面积的比值．
【分析】（1）根据平行线的性质和点的坐标与图形的性质求得点C的坐标，易得AC线段的长度；
（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB＝OB，可得A点坐标；
（3）延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，连接CO．结合矩形的性质推知S△AEO＝S△ADO．根据反比例函数系数k的几何意义得到：S△CEO＝S△BDO＝6，易得S△ACP＝×S△ACO，S△ABP＝×S△ABO，据此求得比值为1．
【解答】解：（1）∵AC∥y轴，
∴点A、C的横坐标相等．
∴点C的坐标（﹣6，2）．
∴AC＝4﹣2＝2．
（2）∵AB∥x轴，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点B的坐标（﹣3，4）．
∴AB＝BO＝5．
∴点A（﹣8，4）．
（2）延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，连接CO．
∵AB∥x轴，AC∥y轴，
∴四边形AEOD为平行四边形．
又∵∠DOE＝90°，
∴平行四边形AEOD为矩形．
∴S△AEO＝S△ADO．
又∵S△CEO＝S△BDO＝6，
∵S△ACO＝S△ABO．
又∵S△ACP＝×S△ACO，S△ABP＝×S△ABO，
∴S△ACP＝S△ABP．
∴S△ACP：S△ABP．＝1：1．
即△ABP与△ACP的面积的比值为1．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．
7．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．
（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；
（2）求直线BF的解析式；
（3）直接写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）把C点的坐标代入，即可求出反比例函数的解析式，再求出E点的坐标即可；
（2）求出B、F的坐标，再求出解析式即可；
（3）先求出两函数的交点坐标，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C，C点的坐标为（6，2），
∴k＝6×2＝12，
即反比例函数的解析式是y1＝，
∵矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），
∴点E的纵坐标是2+1＝3，
把y＝3代入y1＝得：x＝4，
即点E的坐标为（4，3）；
（2）∵过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4，
把y＝4代入y1＝得：4＝，
解得：x＝3，
即F点的坐标为（3，4），
∵E（4，3），C（6，2），E为矩形ABCD的边AD的中点，
∴AE＝DE＝6﹣4＝2，
∴B点的横坐标为4﹣2＝2，
即点B的坐标为（2，2），
把B、F点的坐标代入直线y2＝ax+b得：，
解得：a＝2，b＝﹣2，
即直线BF的解析式是y＝2x﹣2；
（3）∵反比例函数在第一象限，F（3，4），
∴当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜3．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、函数的图象、用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式、矩形的性质等知识点，能正确求出两函数的解析式是解此题的关键．
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），OB＝OA，点E的横坐标为3，反比例函数y＝的图象经过点E．
（1）求k的值；
（2）若直线AB与反比例函数图象上除点E外的另一交点为P，求△ECP的面积；若点R在x轴上，若点S在y轴上，求PR+RS+SE的最小值；
（3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、E、M、N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先解一元二次方程，得出OA，OC，即可得，点A，C坐标，进而求出OB，得出B点坐标，进而求出直线AB解析式，即可得出点坐标，即可；
（2）借助（1）的结论，求出点P坐标，再用面积的差求出三角形ECP的面积；作出点P关于x轴的对称点P’，作出点E关于y轴的对称点E'，P'E'就是PR+RS+SE的最小值；
（3）先确定出直线CE解析式，再过点E作直线CE的垂线与坐标轴相较于M，M'，求出MM'的解析式，进而根据矩形的性质，求出直线BN，CN，M'N'最后求直线交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），
∴OC＝6，OA＝12，
∴A（12，0），C（﹣6，0），
∴OB＝OA＝16，
∴B（0，16），
设直线AB解析式为y＝k'x+16，
∴12k'+16＝0，
∴k'＝﹣，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+16，
∵AB与CD相交于点E，点E的横坐标为3，
∴E（3，12），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴k＝3×12＝36，
（2）如图1，
∵点P在直线AB上，
∴设P（m，﹣m+16），
由（1）知，k＝36，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点P还在反比例函数的图象上，
∴m×（﹣m+16）＝36，
∴m＝3（舍）或m＝9，
∴P（9，4），
由（1）知，A（12，0），C（﹣6，0），E（3，12）
∴AC＝18
∴S△ECP＝S△ECA﹣S△PCA＝AC×|yE|﹣AC×|yP|＝AC×（|yE|﹣|yP|）＝×18×（12﹣4）＝72；
如备用图，作点P关于x轴的对称点，
∵P（9，4），
∴P'（9，﹣4），
作点E关于y轴的对称点，
∵E（3，12），
∴E'（﹣3，12），
连接P'E'交x轴于R，交y轴于S，此时，PR+RS+RE最小，
最小值＝P'E'＝＝20
（3）如图2，由（1）知，C（﹣6，0），E（3，12），
∴直线CE解析式为y＝x+8，
∵以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边，
∴过点E作MM'⊥CE，
∴直线MM'的解析式为y＝﹣x+④，
∴M（0，）．M'（19，0），
过点M作MN∥CE，
∴直线MN解析式为y＝x+，①
过点C作CN⊥MN，
∴直线CN的解析式为y＝﹣x﹣②
①联立①②得，x＝﹣9，y＝，
∴N（﹣9，），
②过点M'作M'N'⊥MM'交直线CN于N'
∴直线M'N'的解析式为y＝x﹣③，
联立②③得，x＝10，y＝﹣12，
∴N'（10，﹣12），
③过M''作M''N'⊥CN交MM'于N，
∵直线CN的解析式为y＝﹣x﹣
∴M''N''的解析式为y＝x﹣⑤，
联立④⑤解得，x＝9，y＝，
∴N''（9，）
∴满足条件的N点的坐标为（﹣9，）、（9，）或（10，﹣12）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求直线解析式，三角形的面积的计算方法，解本题的关键确定出直线解析式．
9．某科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润，若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值；
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年这种电子产品每件的销售价格x（元/件）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x＝8时，smax＝﹣80；当x＝16时，smax＝﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，令s＝103，可得方程103＝﹣x2+32x﹣128，解得x1＝11，x2＝21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，
∴y与x之间的函数关系式为y＝；
当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，
综上所述，y＝；
（2）当4≤x≤8时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4） ﹣160＝﹣，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，smax＝﹣＝﹣80；
当8＜x≤28时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣160＝﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x＝16时，smax＝﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，
令s＝103，则103＝﹣x2+32x﹣128，
解得x1＝11，x2＝21，
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
10．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）求a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．
∴a＝﹣2．
∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．
将x＝0代入上式，得y＝2．
∴b＝2．
（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），
由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．
将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得
∴．
∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．
如图1，连接BC、AD．
∵B（0，2）、C（2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2．
∵A（1，0）、D（1，4），
∴AD⊥x轴，AD＝4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．
（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，
如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．
∵∠MCN＝90°，
∴∠MCF+∠NCE＝90°．
∵NE⊥直线l于点E，
∴∠ENC+∠NCE＝90°．
∴∠MCF＝∠ENC．
又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，
∴△NEC≌△CFM（AAS）．
∴CF＝EN＝2，FM＝CE．
∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．
∴xM＝4．
将x＝4代入y＝，得y＝1．
∴点M（4，1）；
②当∠NMC＝90°、MC＝MN时，
如图3，过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF＝xC＝2．
过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG＝yC＝2．
∵∠CMN＝90°，
∴∠CME+∠NMG＝90°．
∵ME⊥直线l于点E，
∴∠ECM+∠CME＝90°．
∴∠NMG＝∠ECM．
又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，
∴△CEM≌△MGN（AAS）．
∴CE＝MG，EM＝NG．
设CE＝MG＝n，则yM＝n，xM＝CF+CE＝2+n．
∴点M（2+n，n）．
将点M（2+n，n）代入y＝，得n＝．
解得n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（因为点M在第一象限，所以n大于0，所以舍去）．
∴xM＝2+n＝+1．
∴点M（+1，﹣1）．
综合①②可知：点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．
11．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n+1|，S△BDP＝×1×|3﹣n|，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，
∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）设点P（n，﹣n+2），
∵A（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∵B（3，﹣1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP﹣xA|＝×3×|n+1|，S△BDP＝BD×|xB﹣xP|＝×1×|3﹣n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n+1|＝×1×|3﹣n|，
∴n＝0或n＝﹣3，
∴P（0，2）或（﹣3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，
∴m＝0，（舍）
②当MA＝AB时，
∴（m+1）2+9＝32，
∴m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍），
∴M（﹣1+，0）
③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，
∴m＝3+或m＝3﹣（舍），
∴M（3+，0）
即：满足条件的M（﹣1+，0）或（3+，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
12．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围　﹣2＜x＜0或x＞2　．
（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．
【分析】（1）在Rt△AOB中，根据tan∠OAB＝求出OB，再求出点A、C坐标即可解决问题．
（2）根据函数图象直接得到答案．
（3）利用方程组求出点M坐标，分别求出三角形OMB与四边形OCDB的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵AB＝3，∠ABO＝90°，
∴tan∠OAB＝＝，
∴OB＝4，
∴点A（4，3），
∵点C是OA中点，
∴点C坐标（2，），
∵反比例函数y1＝的图象的一支经过点C，
∴k＝3，
∴反比例函数解析式为y1＝．
（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C关于原点对称的C′的坐标为（﹣2，﹣），
结合图象得到：当y1＜y2时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故答案是：﹣2＜x＜0或x＞2．
（3）由解得或，
∵点M在第三象限，
∴点M坐标（﹣1，﹣3），
∵点D坐标（4，），
∴S△OBM＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，
∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了反比例函数图象与一次函数图象的交点、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求点C的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用数形结合思想解答；
（3）根据直角三角形的性质得到∠DAC＝30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
∵点B（﹣2，m）在反比例函数y2＝的图象上，
∴m＝＝﹣1，
则点B的坐标为（﹣2，﹣1），
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：y1＝x+1；
（2）由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2；
（3）∵AD⊥BE，AC＝2CD，
∴∠DAC＝30°，
由题意得，AD＝2+1＝3，
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，即＝，
解得，CD＝，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为（1﹣，﹣1），
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为（+1，﹣1），
∴当点C的坐标为（1﹣，﹣1）或（+1，﹣1）时，AC＝2CD．
【点评】本题考查的是一次函数和反比例函数的知识，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
14．在直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0），过点A（3，4）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）在x轴上有一点P（1，0），在反比例函数图象上有一个动点Q，以PQ为一边作一个正方形PQRS，当正方形PQRS有两个顶点在坐标轴上时，画出状态图并求出相应S点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）法四种情形画出图形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0），过点A（3，4），
∴k＝12，
∴y＝．
（2）如图，
∵y＝2时，x＝6，
∴观察图象可知，当y≥2时，自变量x的取值范围为0＜x≤6．
（3）有五种情况：
①如图1中，
∵四边形PQRS是正方形，
∴PS＝PQ，
∵P（1，0），
∴Q（1，12），
∴PQ＝12，
∴PS＝12，
∴OS＝13，
∴S（13，0）．
当S在负半轴设时，S（﹣11，0）．
②如图2中，
∵四边形PQRS是正方形，
∴Q、S关于x轴对称，
设Q（1+m，m）代入y＝中，m（m+1）＝12，
∴m＝3或﹣4（舍弃），
∴Q（4，3），
∴S（4，﹣3）．
③如图3中，作QE⊥x轴于E．
∵四边形PQRS是正方形，
∴PS＝PQ，易证△PQE≌△SPO，
∴EQ＝OP＝1，
∴Q（12，1），
∴PE＝SO＝11，
∴S（0，11），
④如图4中，作QE⊥x轴于E，QF⊥y轴于F．
∵四边形PQRS是正方形，可得△PQE≌△RQF，
∴QE＝QF，RF＝PE，
设Q（n，n），则Q（2，2），
∴R（0，4﹣1），设S（a，b），
则有＝，＝，
∴a＝1﹣2，b＝2﹣1，
∴S（1﹣2，2﹣1）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．在直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A、B在x轴上，矩形ABCD的相邻两边长之比2：1，顶点C在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．
（1）当点A与原点重合，且矩形ABCD的面积为2时，求反比例函数的解析式；
（2）当A点坐标为（1，0）时，点C在反比例函数y＝图象上，且AB＞BC时，求矩形ABCD边AB的长；
（3）当A点坐标为（5，0）时，在反比例函数y＝图象上，符合题意的矩形ABCD有　8　个．
【分析】（1）设出点C坐标，进而表示出AB，BC，最后用矩形的面积为2建立方程求解即可得出结论；
（2）设出点C坐标，进而表示出AB，BC，最后用矩形ABCD的相邻两边长之比2：1，建立方程求解即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）设点C的坐标为（m，），
∵四边形ABCD是矩形，点A与原点重合，
∴AB＝|m|，BC＝||，
∵矩形ABCD的面积为2，
∴AB×BC＝2，
∴|m|×||＝2，
∴|k|＝2，
∵k＞0，
∴k＝2；
（2）∵点C在反比例函数y＝图象上，
∴设C（n，），
∴B（n，0），BC＝||，
∵A（1，0），
∴AB＝|n﹣1|，
∵AB＞BC，矩形ABCD的相邻两边长之比2：1，
∴|n﹣1|＝2||，
∴|n2﹣n|＝6，
∴n＝3或n＝﹣2，
∴AB＝2；
（3）∵点C在反比例函数y＝图象上，
∴设C（n，），
∴B（n，0），BC＝||，
∵A（5，0），
∴AB＝|n﹣5|，
∵矩形ABCD的相邻两边长之比2：1，
∴|n﹣5|＝2||或||＝2|n﹣5|，
①当|n﹣5|＝2||，
∴|n2﹣5n|＝6，
∴Ⅰ、n2﹣5n+6＝0，
∴n＝2或n＝3，
Ⅱ、n2﹣5n﹣6＝0，
∴n＝6或n＝﹣1，
②当||＝2|n﹣5|时，
∴2|n2﹣5n|＝3，
∴Ⅰ、2n2﹣10n+3＝0，
∴n＝
Ⅱ、2n2﹣10n﹣3＝0，
∴n＝，
∴符合题意的矩形ABCD有8个，
故答案为：8．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形性质，矩形的面积公式，坐标轴或平行于坐标轴的直线上的两点间的距离，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y＝kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y＝即可得出m的值，进而得出结论；
（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；
（3）根据菱形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．
（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝＝，PC＝，
∴以BC、PC为边构造菱形，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
167．如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点．连接BC．
（1）求k的值；
（2）判断△ABC的形状，并求出它的面积．
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y＝3x﹣4上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）利用勾股定理逆定理即可判断出三角形ABC是直角三角形，利用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）由SAS易证△AOP≌△ABQ，得出∠OAP＝∠BAQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
【解答】解：（1）如图1，过点A分别作AQ⊥y轴于Q点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AQ＝AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y＝3x﹣4上，
∴a＝3a﹣4，
解得a＝2，
则点A的坐标为（2，2），
∵双曲线y＝也经过A点，
∴k＝4；
（2）由（1）知，A（2，2），
∴B（4，0），
∵直线y＝3x﹣4与y轴的交点为C，
∴C（0，﹣4），
∴AB2+BC2＝（4﹣2）2+22+42+（﹣4）2＝40，AC2＝22+（2+4）2＝40，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
S△ABC＝AB×BC＝××＝8，
（3）如图2，假设双曲线上存在一点M，使得△PAM是等腰直角三角形．
∴∠PAM＝90°＝∠OAB，AP＝AM
连接AM，BM，
由（1）知，k＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
∴∠OAP＝∠BAM，
在△AOP和△ABM中，，
∴△AOP≌△ABM（ASA），
∴∠AOP＝∠ABM，
∴∠OBM＝∠OBA+∠ABM＝90°，
∴点M的横坐标为4，
∴M（4，1）
即：在双曲线上存在一点M（4，1），使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
18．如图，已知直线y＝mx+n与反比例函数y＝交于A、B两点，点A在点B的左边，与x轴、y轴分别交于点C、点D，AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F．
（1）若m＝k，n＝0，求A，B两点的坐标（用m表示）．
（2）如图1，若A（x1，y1）、B（x2，y2），写出y1+y2与n的大小关系，并证明．
（3）如图2，M、N分别为反比例函数y＝与y＝图象上的点，AM∥BN∥x轴．若＝，且AM，BN之间的距离为5，则k﹣b＝　3　．
【分析】（1）首先由题意得y＝mx、y＝（m≠0），然后可得到关于x的一元二次方程，从而可求得x的值，接下来，将x的值代入y＝mx可求得对应的y的值，于是可得到点A和点B的坐标；
（2）联立y＝mx+n与y＝，整理得mx2+nx﹣k＝0，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得x1+x的值，然后由y1+y2＝m（x1+x2）+2n可求得问题的答案；
（3）设N（，m）、B（，m），M （，n）、A （，n），然后可表示出BN、AM的长，然后结合条件+＝，AM、BN之间的距离为5，可求得k﹣b的值．
【解答】解：（1）∵n＝0，
∴y＝mx．
∵m＝k，
∴y＝（m≠0）．
∴mx＝，则x2＝1，解得：x＝1或x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣m，
当x＝1时，y＝m，
∴A（﹣1，﹣m）、B（1，m）．
（2）联立，整理得mx2+nx﹣k＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝
∴y1+y2＝m（x1+x2）+2n＝﹣n+2n＝n．
（3）设N（，m）、B（，m），则BN＝
设M （，n）、A （，n），则AM＝
∵+＝，
∴+＝．
∵AM、BN之间的距离为5，
∴m﹣n＝5
∴k﹣b＝（m﹣n）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，依据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2的值是解答问题（2）的关键；用含字母的式子表示AM、NB的长是解答问题（3）的关键．
19．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PAO＝，构建方程即可解决问题；
（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上
∴k＝12，
∴y＝，
设点P的纵坐标为m（m＞0），
∵S△PAO＝．
∴ OA m＝OA OC ，
∴m＝2，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则2＝，
∴x＝6
∴点P的坐标为（6，2）．
（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．
由（1）知，点P的纵坐标为2，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，
连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，
则PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A＝＝4．
（3）
①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P1（4﹣，2），P2（4+，2），
∴Q1（4﹣，5），Q2（4+，5）．
②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P3（4﹣2，2），P4（4+2，2），
∴Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．
综上所述，点Q的坐标为Q1（4﹣，5），Q2（4+，5），Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
20．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．
（1）m＝　4　，k1＝　　；
（2）当x的取值范围是　﹣8＜x＜0或x＞4　时，k1x+b＞；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S△OAD：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．
【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B点坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例函数的解析式，再将A点坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；
（2）由A与B横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）先求出△OAD的面积，由S△OAD：S△ODE＝3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴k2＝（﹣8）×（﹣2）＝16，
即反比例函数解析式为y2＝，
将点A（4，m）代入y2＝，
得：m＝4，即点A（4，4），
将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+b，
得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y1＝x+2，
故答案为：4，；
（2）∵一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），
∴当k1x+b＞时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，
故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；
（3）点A的坐标是（4，4），AD⊥x轴于点D，
∴OD＝AD＝4，
∴S△OAD＝AD OD＝×4×4＝8，
∵S△OAD：S△ODE＝3：1，
∴S△ODE＝S△OAD＝×8＝，
即 OD DE＝，
∴DE＝．
∴点E的坐标为（4，）．
又点E在直线OP上，
∴直线OP的解析式是y＝x，
∴直线OP与y2＝的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4，）．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°．点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，4），M是BC边的中点，函数y＝（x＞0）的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），且EF在y轴上，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，求直线DF的表达式．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M的坐标，将其代入反比例函数解析式求得k的值；
（2）根据旋转的性质推知：△DEF≌△ABC．故其对应边、角相等：DE＝AB，EF＝BC，∠DEF＝∠ABC＝90°．由函数图象上点的坐标特征得到：D（2，3）． E（0，3）．结合EF＝BC＝4得到F（0，﹣1）． 利用待定系数法求得结果．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，点C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3，0），CB＝4．
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为（3，2）．
∵函数（x＞0）的图象经过点M，
∴k＝3×2＝6．
（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE＝AB，EF＝BC，∠DEF＝∠ABC＝90°．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝2．
∴DE＝2．
∵EF在y轴上，
∴点D的横坐标为2．
∵点D在函数（x＞0）的图象上，
当x＝2时，y＝3．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴点E的坐标为（0，3）．
∵EF＝BC＝4，
∴点F的坐标为（0，﹣1）．
设直线DF的表达式为y＝ax+b，将点D，F的坐标代入，
得 解得
∴直线DF的表达式为y＝2x﹣1．
【点评】考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，解题时，注意函数思想和数形结合数学思想的应用．
22．某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金x/万元 产品成本y/（万元/件）
2014 2.5 14.4
2015 3 12
2016 4 9
2017 4.5 8
（1）分下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数标书其变化规律，直接写出y与x的函数关系式：
（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金6万元．
①预计2018年每件产品比2017年降低多少万元？
②若计划在2018年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金多少万元？
【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，进而得出答案；
（2）①利用所求函数解析式进而利用x＝6时求出y的值即可得出答案；
②利用y＝5代入进而得出答案．
【解答】解：（1）根据已知数据可得：能用反比例函数表示其变化规律，
y与x的函数关系式是：y＝；
（2）①当x＝6时，y＝6，
则8﹣6＝2（万元），
答：预计2018年每件产品成本比2017年降低2万元；
②当y＝5时，x＝7.2，
7.2﹣6＝1.2（万元），
答：还需投入技改资金1.2万元．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
23．如图为某种材料温度y（℃）随时间x（min）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系．
（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；
（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，
由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），
所以，
解得：，
所以y＝9x+15，
当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，
由于图象过点（5，60），所以m＝300．
则y＝；
（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，
因为y随x的增大而增大，所以x＞，
当x≥5时，y＝＝30，
得x＝10，因为y随x的增大而减小，
所以x＜10，
10﹣＝，
答：可加工min．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
24．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y＝10即可．
【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2＝200
∴双曲线CD解析式为：y＝（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
y＝
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y＝10代入y＝中，解得，x＝20
∴20﹣10＝10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
25．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是　x≠0　．
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　　，n＝　　；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ m 2 n …
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y＝﹣时，x＝　﹣4或﹣　．
②写出该函数的一条性质　函数图象在第一、三象限且关于原点对称　．
③若方程x+＝t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是　t＜﹣2或t＞2　．
【分析】（1）由x在分母上，可得出x≠0；
（2）代入x＝、3求出m、n的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①代入y＝﹣，求出x值；
②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象，找出当x+＝t有两个不相等的实数根时t的取值范围（亦可用根的判别式去求解）．
【解答】解：（1）∵x在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x＝时，y＝x+＝；
当x＝3时，y＝x+＝．
故答案为：；．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当y＝﹣时，有x+＝﹣，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣．
故答案为：﹣4或﹣．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵x+＝t有两个不相等的实数根，
∴t＜﹣2或t＞2．
故答案为：t＜﹣2或t＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例函数图象，解题的关键是：（1）由x在分母上找出x≠0；（2）代入x＝、3求出m、n的值；（3）连点成线，画出函数图象；（4）①将﹣化成﹣4﹣；②观察函数图象找出函数性质；③观察函数图象找出t的取值范围．
26．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当x＜0时，比较y1与y2的大小；
（3）若点P（x，y）也在反比例函数y2＝的图象上，当﹣4≤x≤﹣时，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）将A（﹣3，1）代入y2＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；根据△AOB的面积是6，求出b，得到B点坐标，将A、B两点的坐标代入y1＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）把（1）中的两函数解析式联立，组成方程组，求出方程组的解得到点C的坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题；
（3）分别求出x＝﹣4和x＝﹣时对应的y值，再利用反比例函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）反比例函数y2＝（m≠0，x＜0）的图象过点A（﹣3，1），
∴1＝，得m＝﹣3，
即反比例函数的解析式为y2＝﹣．
∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6，
∴＝6，得b＝4，
∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣3，1）与点B（0，4），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y1＝x+4；
（2）由，解得，，
∴点C的坐标为（﹣1，3），
∴当﹣1＜x＜0或x＜﹣3时，y1＜y2，
当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2，
当x＝﹣1或x＝﹣3时，y1＝y2；
（3）∵点P（x，y）在反比例函数y2＝﹣的图象上，
∴当x＝﹣4时，y＝；当x＝﹣时，y＝2，
∴当﹣4≤x≤﹣时，函数值y的取值范围是≤y≤2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解则两者无交点．也考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及数形结合的思想．
27.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y═（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
【分析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，把x＝4代入y＝﹣x+，得y＝，可求点M的坐标为（4，），把y＝2代入y＝﹣x+，得x＝1，可求点N的坐标为（1，2），根据待定系数法可求函数y＝（x＞0）的解析式，再图象过点M，把N（1，2）代入y＝，即得作出判断；
（2）设直线M'N′的解析式为y＝﹣x+b，由得x2﹣2bx+4＝0，再根据判别式即可求解．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），
∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，
把x＝4代入y＝﹣x+，得y＝，
∴点M的坐标为（4，），
把y＝2代入y＝﹣x+，得x＝1，
∴点N的坐标为（1，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象过点M，
∴k＝4×＝2，
∴y＝（x＞0），
把N（1，2）代入y＝，得2＝2，
∴点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）设直线M'N′的解析式为y＝﹣x+b，
由得x2﹣2bx+4＝0，
∵直线y＝﹣x+b与函数y═（x＞0）的图象仅有一个交点，
∴（﹣2b）2﹣4×4＝0，
解得b＝2，b2＝﹣2（舍去），
∴直线M'N′的解析式为y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．
（1）求该反比例函数关系式；
（2）当1≤x≤4时，求y＝的函数值的取值范围；
（3）将直线y＝x﹣2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．
【分析】（1）先求出B点的坐标，即可求出答案；
（2）分别把x＝1和x＝4代入函数解析式，求出对应的y值，即可得出答案；
（3）先设出C、D的坐标，求出CD，再根据三角形面积公式求出b值，即可求出答案．
【解答】解：（1）把B（m，2）代入y＝x﹣2得：m﹣2＝2，
解得：m＝4，
所以B（4，2），
把B点坐标代入y＝得：k＝8，
所以反比例函数关系式是y＝；
（2）把x＝1代入y＝得：y＝8，
把x＝4代入y＝得：y＝2，
由图象可知：当1≤x≤4时，y＝的函数值的取值范围是2≤y≤8；
（3）过点C作CD∥y轴，交线段AB与点D，
设平移后的直线的解析式是y＝x+b，
∵点C在直线y＝x+b上，D在直线y＝x﹣2上，
∴可设C（t，t+b），则D（t，t﹣2），则CD＝（t+b）﹣（t﹣2）＝b+2，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ADB，
∴18＝（b+2）×4，
解得：b＝7，
∴平移后的直线的函数关系式是y＝x+7．
【点评】本题考查了三角形的面积，平移的性质，用待定系数法求出反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标特征等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）求出C点的坐标，即可求出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质求出即可；
（3）根据面积求出P点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可．
【解答】解：（1）
过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB＝90°，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴CO＝2，∠COE＝45°，
∴CE＝OE＝＝2，
即k＝﹣2×（﹣2）＝4，
所以反比例函数的解析式是y＝；
（2）把y＝﹣2代入y＝得：x＝﹣2，
所以当函数值y＞﹣2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0；
（3）设P点的纵坐标为a，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴由勾股定理得：OB＝＝4，
∵△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，
∴×4×|a|＝2，
解得：a＝±4，
即P点的纵坐标是4或﹣4，
代入y＝得：x＝1或﹣1，
即P点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式mx+n＜的解集；
（3）连接MC，求四边形MBOC的面积．
【分析】（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）利用mx+n＜的解集，结合函数图象得出答案；
（3）利用四边形MBOC的面积＝S△CMO+S△BMO，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
BM＝OM，OB＝2，
∴BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y＝，
则﹣2＝，
得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，
得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得：，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）不等式mx+n＜的解集为：0＜x＜1或﹣2＞x；
（3）∵y＝2x+2与y轴交与点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），
∴OM＝2，OC＝2，MB＝2，
∴四边形MBOC的面积是：+＝+＝4．
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