第三章圆的基本性质单元测试
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第3章圆的基本性质单元测试卷
（100分，90分钟）
一 、选择题(每题3分，共27分)
1.下列说法：①在同一个圆中，圆心角大的扇形面积大；②半径相等的两个圆叫做等圆；③圆的直径是圆的弦；④小于半圆的弧叫做优弧，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点D是AB边的中点，以点C为圆心，2.4 cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系
是（ ）
A.点D在⊙C上 B.点D在⊙C外
C.点D在⊙C内 D.不能确定
3.（2013，四川成都）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
图1 图2
4.（2013，海南）如图2，在⊙O中，弦BC=1.点A是圆上一点，且
∠BAC=30°，则⊙O的半径是( )
A.1 B.2 C. D.
5.（2013，南平）如图3，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )
A.AD=AB B.∠BOC=2∠D
C.∠D+∠BOC=90° D.∠D=∠B
图3
6. 点A，B，C，D分别是⊙O上不同的四点，∠ABC=65°，∠ADC=( )
A.65° B.115°
C.25° D.65°或115°
7.（2013，浙江嘉兴）如图4，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) 21教育名师原创作品
A. cm B. cm
C. cm D.7π cm
图4 图5
8.如图5，半圆O的直径是6 cm，∠BAC=30°，则阴影部分的面积
是（ ）
A.(12π-9) cm2 B.（3π-）cm2
C.（3π-）cm2 D.（3π-）cm2
9.已知点A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC—CD—DO的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则图6中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（ ）
图6
二、填空题（每题3分，共18分）
10.（2013，湖南邵阳）如图7，弦AB，CD相交 于点O，连结AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们
是______.
图7 图8
11.(2012，烟台)如图8为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为______度(不取近似值).
12.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是______.
13. 如图9，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内的一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合.如果AP=3，那么线段PP′的长是______.21cnjy.com
图9 图10
14.如图10，三角形ABC是等边三角形，以BC为直径作圆交AB，AC于点D，E，若BC=1，则DC=________.www.21-cn-jy.com
15.如图11，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则点B′的坐标是______.21·世纪*教育网
图11
三、解答题（21题12分，22题7分，其余每题6分，共55分）
16.如图12，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径. 求证:∠BAM= ∠CAP.www-2-1-cnjy-com
图12
17.如图13，△ABC中，∠C=45°，AB=2.
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；
图13
（2）求△ABC的外接圆⊙O的直径
18.如图14，在平面直角坐标系中，三角形②，③是由三角形①依次旋转后所得的图形.
图14
(1)在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标;
(2)在图上画出再次旋转后的三角形④.
19.如图15，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，以直线AB为x轴，直线MN为y轴建立坐标系. 21*cnjy*com
(1)试求A，B，C，M，N五点的坐标；
图15
(2)我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，请写出⊙C上的其他整数点的坐标______.
20.如图16，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC=EC.
图16
21. (2012，齐齐哈尔)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图17，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为1个单位长度.【版权所有：21教育】
图17
(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1;
(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2;
(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积.
22.如图18所示，已知⊙O的直径为，AB为⊙O的弦，且AB=4，
P是⊙O上一动点，问是否存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由，若存在，求出这个三角形的面积.
图18
23.如图19所示，⊙O的直径AB=12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在上滑动（点C与A不重合，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.2·1·c·n·j·y
（1）求证：AE=BF；
图19
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出说明，并求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案及点拨
一、1.C 2.B 3.D
4.A点拨：连结OB，OC，先由圆周角定理求得∠BOC=60°，再由OB=OC可判断出△BOC是等边三角形，故可得出结论.21教育网
5.B
6.D点拨：本题用分类讨论思想解答，即分点B、D位于弦AC的同侧和异侧两种情况解答，易忽略点B、D可能位于弦AC的同侧而漏解.
7.B点拨：根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可.由题意可得R=cm，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，可知此弧所对的圆心角为90°，则“蘑菇罐头”字样的长==π（cm）.【来源：21·世纪·教育·网】
8.B点拨：本题用割补法解答，即连结OC、过点O作AC的垂线，构造等腰三角形和扇形求解.主要考查垂径定理、同弧所对的圆周角是圆心角的一半及扇形的面积公式等知识.【出处：21教育名师】
9.C点拨：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大.
二、10.∠A=∠C 点拨：本题属于开放题，答案不唯一.如由对顶角相等，可得到∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；由同弧所对的圆周角相等，可得到∠A=∠C，∠B=∠D.21*cnjy*com
11.点拨：方法一:∵正七边形的内角度数相等，∴每个角的度数为==°.方法二:正七边形的一个外角的度数为，所以一个内角的度数为180°-°=°.
12.
13. 点拨：由旋转的性质，知∠PAP′等于90°，AP′=AP=3，所以PP′= ==.
14.
15. 点拨：在Rt△AOB中，∵∠AOB=30°，∴OA=2AB=2.过点B作BD⊥OA于点D，在Rt△ABD中，AD=，BD=，∴OD=2-=，所以点B的坐标是.将△AOB绕着原点顺时针旋转90°，点B也绕着原点顺时针旋转90°，与点B′重合，所以点B′的坐标是. 21世纪教育网版权所有
答图1
三、16.证明：如答图1，连结BM.∵AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径.∴∠BAM=90°-∠M，∠CAP=90°-∠C.又∵∠M=∠C，∴∠BAM=∠CAP.21·cn·jy·com
17.解：（1）作图略.
（2）作直径AD，连结BD.∵AD是直径，∴∠ABD=90°.∵∠D=∠C=45°，∴AB=BD=2.∴直径AD===.
18.解：（1）旋转中心P的位置如答图2所示.点P的坐标为（0，1）.
答图2
（2）旋转后的三角形④如答图2所示.
19.解：（1）如答图3，连结AC，∵MN是直径，MN⊥AB于点O，AB=8，∴AO=BO=4.∵MN=10，∴AC=MC=CN=5.在Rt△AOC中，OC===3.∴OM=8，ON=2.∴点A，B，C，M，N的坐标分别为（-4，0），（4，0），（0，3），（0，8），（0，-2）.（2）（-4，6），（4，6），（-3，7），（3，7），（-3，-1），（3，-1），（-5，3），（5，3）
答图3 答图4
20.证明：连结AC，如答图4.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
又∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D.
∵C是的中点，∴∠1=∠2，∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，∴∠E=∠D，
∴∠EBC=∠E，∴BC=EC.
21.解：（1）分别将点A，B，C向上平移4个单位得到点，，，连结，，，得到△，如答图5所示.
（2）分别将点B，C绕点A逆时针旋转90°得到点B2，C2，连结AB2，B2C2，AC2，得到△AB2C2，如答图5所示.2-1-c-n-j-y
（3）△ABC向上平移过程中，边AC所扫过的区域为，边长为4个单位，边上的高为2个单位，所以△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域的面积为8个平方单位.【来源：21cnj*y.co*m】
答图5 答图6
22.解：存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形.
如答图6所示，作PD⊥AB于点D，∵当点P在优弧AB上时，PD可能大于⊙O的半径，当点P在劣弧AB上时，PD一定小于⊙O的半径,且AB的长为定值，∴当点P在优弧AB上且为优弧AB的中点时△APB的面积最大，此时PD经过圆心O.作⊙O的直径AC，连结BC，则∠ABC=90°.∴BC===2.∵AO=OC,AD=BD，∴OD为△ABC的中位线，OD==.∴PD=PO+OD=+=.∴=·PD=×4×=.
23.（1）证明：过点O作OH⊥CD于点H，∴H为CD的中点.∵CE⊥CD，DF⊥CD，∴EC∥OH∥FD,则O为EF的中点，OE=OF.又∵AB为直径，∴OA=OB，∴AE=OA-OE=OB-OF=BF,即AE=BF.
（2）解：四边形CDFE的面积为定值，是.理由：∵动弦CD在滑动过程中，条件EC⊥CD，FD⊥CD不变，∴CE∥DF不变.由此可知，四边形CDFE为直角梯形或矩形，∴=OH·CD.连结OC.∴OH===（cm）.又∵CD为定值8 cm,∴=OH·CD=×8=（）,是常数.即四边形CDFE的面积为定值.
（100分，90分钟）
一 、选择题(每题3分，共27分)
1.下列说法：①在同一个圆中，圆心角大的扇形面积大；②半径相等的两个圆叫做等圆；③圆的直径是圆的弦；④小于半圆的弧叫做优弧，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点D是AB边的中点，以点C为圆心，2.4 cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系
是（ ）
A.点D在⊙C上 B.点D在⊙C外
C.点D在⊙C内 D.不能确定
3.（2013，四川成都）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
图1 图2
4.（2013，海南）如图2，在⊙O中，弦BC=1.点A是圆上一点，且
∠BAC=30°，则⊙O的半径是( )
A.1 B.2 C. D.
5.（2013，南平）如图3，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )
A.AD=AB B.∠BOC=2∠D
C.∠D+∠BOC=90° D.∠D=∠B
图3
6. 点A，B，C，D分别是⊙O上不同的四点，∠ABC=65°，∠ADC=( )
A.65° B.115°
C.25° D.65°或115°
7.（2013，浙江嘉兴）如图4，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) 21教育名师原创作品
A. cm B. cm
C. cm D.7π cm
图4 图5
8.如图5，半圆O的直径是6 cm，∠BAC=30°，则阴影部分的面积
是（ ）
A.(12π-9) cm2 B.（3π-）cm2
C.（3π-）cm2 D.（3π-）cm2
9.已知点A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC—CD—DO的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则图6中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（ ）
图6
二、填空题（每题3分，共18分）
10.（2013，湖南邵阳）如图7，弦AB，CD相交 于点O，连结AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们
是______.
图7 图8
11.(2012，烟台)如图8为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为______度(不取近似值).
12.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是______.
13. 如图9，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内的一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合.如果AP=3，那么线段PP′的长是______.21cnjy.com
图9 图10
14.如图10，三角形ABC是等边三角形，以BC为直径作圆交AB，AC于点D，E，若BC=1，则DC=________.www.21-cn-jy.com
15.如图11，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则点B′的坐标是______.21·世纪*教育网
图11
三、解答题（21题12分，22题7分，其余每题6分，共55分）
16.如图12，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径. 求证:∠BAM= ∠CAP.www-2-1-cnjy-com
图12
17.如图13，△ABC中，∠C=45°，AB=2.
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；
图13
（2）求△ABC的外接圆⊙O的直径
18.如图14，在平面直角坐标系中，三角形②，③是由三角形①依次旋转后所得的图形.
图14
(1)在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标;
(2)在图上画出再次旋转后的三角形④.
19.如图15，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，以直线AB为x轴，直线MN为y轴建立坐标系. 21*cnjy*com
(1)试求A，B，C，M，N五点的坐标；
图15
(2)我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，请写出⊙C上的其他整数点的坐标______.
20.如图16，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC=EC.
图16
21. (2012，齐齐哈尔)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图17，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为1个单位长度.【版权所有：21教育】
图17
(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1;
(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2;
(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积.
22.如图18所示，已知⊙O的直径为，AB为⊙O的弦，且AB=4，
P是⊙O上一动点，问是否存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由，若存在，求出这个三角形的面积.
图18
23.如图19所示，⊙O的直径AB=12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在上滑动（点C与A不重合，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.2·1·c·n·j·y
（1）求证：AE=BF；
图19
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出说明，并求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案及点拨
一、1.C 2.B 3.D
4.A点拨：连结OB，OC，先由圆周角定理求得∠BOC=60°，再由OB=OC可判断出△BOC是等边三角形，故可得出结论.21教育网
5.B
6.D点拨：本题用分类讨论思想解答，即分点B、D位于弦AC的同侧和异侧两种情况解答，易忽略点B、D可能位于弦AC的同侧而漏解.
7.B点拨：根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可.由题意可得R=cm，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，可知此弧所对的圆心角为90°，则“蘑菇罐头”字样的长==π（cm）.【来源：21·世纪·教育·网】
8.B点拨：本题用割补法解答，即连结OC、过点O作AC的垂线，构造等腰三角形和扇形求解.主要考查垂径定理、同弧所对的圆周角是圆心角的一半及扇形的面积公式等知识.【出处：21教育名师】
9.C点拨：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大.
二、10.∠A=∠C 点拨：本题属于开放题，答案不唯一.如由对顶角相等，可得到∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；由同弧所对的圆周角相等，可得到∠A=∠C，∠B=∠D.21*cnjy*com
11.点拨：方法一:∵正七边形的内角度数相等，∴每个角的度数为==°.方法二:正七边形的一个外角的度数为，所以一个内角的度数为180°-°=°.
12.
13. 点拨：由旋转的性质，知∠PAP′等于90°，AP′=AP=3，所以PP′= ==.
14.
15. 点拨：在Rt△AOB中，∵∠AOB=30°，∴OA=2AB=2.过点B作BD⊥OA于点D，在Rt△ABD中，AD=，BD=，∴OD=2-=，所以点B的坐标是.将△AOB绕着原点顺时针旋转90°，点B也绕着原点顺时针旋转90°，与点B′重合，所以点B′的坐标是. 21世纪教育网版权所有
答图1
三、16.证明：如答图1，连结BM.∵AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径.∴∠BAM=90°-∠M，∠CAP=90°-∠C.又∵∠M=∠C，∴∠BAM=∠CAP.21·cn·jy·com
17.解：（1）作图略.
（2）作直径AD，连结BD.∵AD是直径，∴∠ABD=90°.∵∠D=∠C=45°，∴AB=BD=2.∴直径AD===.
18.解：（1）旋转中心P的位置如答图2所示.点P的坐标为（0，1）.
答图2
（2）旋转后的三角形④如答图2所示.
19.解：（1）如答图3，连结AC，∵MN是直径，MN⊥AB于点O，AB=8，∴AO=BO=4.∵MN=10，∴AC=MC=CN=5.在Rt△AOC中，OC===3.∴OM=8，ON=2.∴点A，B，C，M，N的坐标分别为（-4，0），（4，0），（0，3），（0，8），（0，-2）.（2）（-4，6），（4，6），（-3，7），（3，7），（-3，-1），（3，-1），（-5，3），（5，3）
答图3 答图4
20.证明：连结AC，如答图4.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
又∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D.
∵C是的中点，∴∠1=∠2，∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，∴∠E=∠D，
∴∠EBC=∠E，∴BC=EC.
21.解：（1）分别将点A，B，C向上平移4个单位得到点，，，连结，，，得到△，如答图5所示.
（2）分别将点B，C绕点A逆时针旋转90°得到点B2，C2，连结AB2，B2C2，AC2，得到△AB2C2，如答图5所示.2-1-c-n-j-y
（3）△ABC向上平移过程中，边AC所扫过的区域为，边长为4个单位，边上的高为2个单位，所以△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域的面积为8个平方单位.【来源：21cnj*y.co*m】
答图5 答图6
22.解：存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形.
如答图6所示，作PD⊥AB于点D，∵当点P在优弧AB上时，PD可能大于⊙O的半径，当点P在劣弧AB上时，PD一定小于⊙O的半径,且AB的长为定值，∴当点P在优弧AB上且为优弧AB的中点时△APB的面积最大，此时PD经过圆心O.作⊙O的直径AC，连结BC，则∠ABC=90°.∴BC===2.∵AO=OC,AD=BD，∴OD为△ABC的中位线，OD==.∴PD=PO+OD=+=.∴=·PD=×4×=.
23.（1）证明：过点O作OH⊥CD于点H，∴H为CD的中点.∵CE⊥CD，DF⊥CD，∴EC∥OH∥FD,则O为EF的中点，OE=OF.又∵AB为直径，∴OA=OB，∴AE=OA-OE=OB-OF=BF,即AE=BF.
（2）解：四边形CDFE的面积为定值，是.理由：∵动弦CD在滑动过程中，条件EC⊥CD，FD⊥CD不变，∴CE∥DF不变.由此可知，四边形CDFE为直角梯形或矩形，∴=OH·CD.连结OC.∴OH===（cm）.又∵CD为定值8 cm,∴=OH·CD=×8=（）,是常数.即四边形CDFE的面积为定值.
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