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5.1.2 矩形 随堂练习
1、如图,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连结AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 ( A )
A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
2、如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是 ∠A=90°(答案不唯一) .
3、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠ABC=90°,∠2=60°,则∠1= 30 °.
4、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连结MN,则线段MN的长的最小值为 .
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5、如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 10_ s后，四边ABPQ成为矩形.
6、如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.
证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OB=OC=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴EO=FO=GO=HO,
∴四边形EFGH是平行四边形,EG=HF,
∴四边形EFGH是矩形.
7、如图，在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,BD=CD,E是BC的中点.
求证:四边形ABED是矩形.
证明:∵BD=CD,E是BC的中点,
∴DE⊥BC,
∴∠DEB=90°.
又∵∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABED是矩形.
8.如图，四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
解：(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD,
∴∠DAO=∠ADO,∴AO=DO,
∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,
∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3,∴∠ABO=54°,
∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.
9、如图，在 ABCD中,AC⊥AD,作∠ECA=∠ACD,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连结BE.
(1)求证:四边形ACBE是矩形;
(2)连结OD,若AB=4,∠ACD=60°,求OD的长.
解：(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AC⊥AD,∴∠EAC=∠DAC=90°,
∵∠ECA=∠ACD,∴∠AEC=∠ADC,
∴CE=CD,∴AE=AD=BC,
∵AE∥BC,∴四边形ACBE是平行四边形,
∵∠EAC=90°,∴四边形ACBE是矩形.
(2)如图,过点O作OF⊥DE于F,∴∠OFA=90°.
由(1)知四边形ACBE是矩形,
∴OA=OC=OB=OE,
∵OF⊥DE,∴AF=EF,∴OF=AC,
∵∠ACD=∠ACO=60°,
∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA=2,
∴OF=1,∴AF=,∴EF=,∴AD=AE=2,
∴DF=AF+AD=,
∴OD=.
（第5题）
（第6题）
（第7题）
（第8题）
（第9题）
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5.1.2 矩形 随堂练习
1、如图,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连结AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 ( )
A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
2、如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是 .
3、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠ABC=90°,∠2=60°,则∠1= °.
4、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连结MN,则线段MN的长的最小值为 .
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5、如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 _ s后，四边ABPQ成为矩形.
6、如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.
7、如图，在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,BD=CD,E是BC的中点.
求证:四边形ABED是矩形.
8.如图，四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
9、如图，在 ABCD中,AC⊥AD,作∠ECA=∠ACD,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连结BE.
(1)求证:四边形ACBE是矩形;
(2)连结OD,若AB=4,∠ACD=60°,求OD的长.
（第5题）
（第6题）
（第7题）
（第8题）
（第9题）
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