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5.3.1 正方形 随堂练习
1、要使矩形ABCD为正方形，需要添加的条件是（ A ）
A. AB=BC B. AD=BC C. AB=CD D. AC=BD
2、如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，则AC的值为（ D ）
A. B. C. 2 D.
4、如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，顺次连接E、F、G、H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是（ C ）
A. 四边形EFGH一定是平行四边形 B. 当AB=CD时，四边形EFGH是菱形
C. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形 D. 四边形EFGH可能是正方形
（第2题） （第3题） （第4题）
5、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件 AC=BC ，使四边形BECF是正方形.
6、如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB：AD= 1：2 时，四边形MENF是正方形．
（第5题） （第6题）
7、如图，将Rt△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△ABE，射线EB与DF相交于点C， ∠D=90°，求证：四边形ABCD为正方形．
证明：∵将 绕着点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，
∵∠D=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
8、如图,在平行四边形ABCD中,F是对角线的交点,E是边BC的中点,连结EF.
(1)求证:2EF=CD.
(2)当EF与BC满足什么关系时,四边形ABCD是正方形 并证明你的结论.
解：(1)证明:在平行四边形ABCD中,BF=FD,
E是边BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线,
∴2EF=CD.
(2)当EF⊥BC,且BC=2EF时,四边形ABCD是正方形.
证明:∵EF⊥BC,E是BC的中点,
∴EF垂直平分BC,∴FB=FC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴FB=FD,FA=FC,∴FB=FC=FD=FA,
∴四边形ABCD是矩形,
∵CD=2EF,BC=2EF,∴BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
9、如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件 ．则四边形AFBD是正方形．
解：（1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥BF，
∴AD∥BF，
∵AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形
（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形
（3）∠BAC＝90°
10、已知:矩形ABCD中,点P、Q分别在AD、BC上,且AP=CQ,连结CP、DQ、AQ、BP,CP与DQ交于点M,BP与AQ交于点N.
(1)求证:四边形PMQN是平行四边形.
(2)如果AB=2,BC=5,问:AP、BQ的长为多少时,四边形PMQN是矩形
(3)在(2)的条件下,四边形PMQN能否为菱形 正方形
解：(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AP=CQ,∴PD=BQ,
∴四边形AQCP和四边形BQDP是平行四边形,
∴AQ∥PC,BP∥DQ,
∴四边形PMQN是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAP=∠CDP=90°,AD=BC=5,CD=AB=2,
若四边形PMQN是矩形,则∠BPC=90°,
设AP=x,则CQ=x,BQ=DP=5-x,
由勾股定理得BP2=AB2+AP2,CP2=CD2+DP2,BP2+CP2=BC2,
∴22+x2+22+(5-x)2=52,
解得x=1或x=4,
∴AP=1,BQ=4或AP=4,BQ=1.
∴当AP=1,BQ=4或AP=4,BQ=1时,四边形PMQN是矩形.
(3)当P为AD的中点,Q为BC的中点时,四边形PMQN为菱形.
∵P为AD的中点,Q为BC的中点,
∴AP=BQ=CQ=DP=.
连结PQ(图略),
易得四边形ABQP与四边形DPQC是矩形,
则PN=NQ,PM=MQ,
∵四边形PMQN为平行四边形,
∴四边形PMQN为菱形.
由(2)可知,AP=1,BQ=4或AP=4,BQ=1时,四边形PMQN是矩形,
∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形,
∴四边形PMQN不可能为正方形.
（第7题）
（第8题）
（第9题）
（第10题）
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5.3.1 正方形 随堂练习
1、要使矩形ABCD为正方形，需要添加的条件是（ ）
A. AB=BC B. AD=BC C. AB=CD D. AC=BD
2、如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，则AC的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
4、如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，顺次连接E、F、G、H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是（ ）
A. 四边形EFGH一定是平行四边形 B. 当AB=CD时，四边形EFGH是菱形
C. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形 D. 四边形EFGH可能是正方形
（第2题） （第3题） （第4题）
5、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形.
6、如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
（第5题） （第6题）
7、如图，将Rt△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△ABE，射线EB与DF相交于点C， ∠D=90°，求证：四边形ABCD为正方形．
8、如图,在平行四边形ABCD中,F是对角线的交点,E是边BC的中点,连结EF.
(1)求证:2EF=CD.
(2)当EF与BC满足什么关系时,四边形ABCD是正方形 并证明你的结论.
9、如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件 ．则四边形AFBD是正方形．
10、已知:矩形ABCD中,点P、Q分别在AD、BC上,且AP=CQ,连结CP、DQ、AQ、BP,CP与DQ交于点M,BP与AQ交于点N.
(1)求证:四边形PMQN是平行四边形.
(2)如果AB=2,BC=5,问:AP、BQ的长为多少时,四边形PMQN是矩形
(3)在(2)的条件下,四边形PMQN能否为菱形 正方形
（第7题）
（第8题）
（第9题）
（第10题）
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