1.3 二次函数的性质-课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
1.3二次函数的性质
浙教版九年级上册
函数 y=ax2+bx+c基本性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，
齐声朗读
.
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y最大值是____.
当x____0时,y<0
(0,0)
直线x=0
对称轴左
<
对称轴右
>
0
0
齐声朗读
0
y= -2x2
x
y

.
新知导入
0
x
y
y=- x +2x-
y=- x + x-6
(1)当自变量增大时，函数的值将怎样变化？
顶点是图象的最高点还是最低点？
当x≤ - ,y随着自变量x的增大而增大，
当x≥ - ,y随着自变量x的增大而减小,
顶点是图象的最高点.
(2)判别这些函数有没有最大值或最小值，
是由表达式中哪一个系数决定的？
有最大值，由二次项系数a决定
先增大，后减小.
x=-
x=-
新知导入
二次函数y=ax +bx+c的性质：
0
y
x
（1）a<0时
图象开口向下
抛物线的对称轴是
直线x=
顶点坐标（ ， ）
当x≤ 时，
y随着x的增大而增大；
当x≥ 时，
y随着x的增大而减小；
函数达到最大值________.
无最小值.
先增大，后减小.
x=-
ymax=
.
当x= 时，
.
0
y= 2x2
y
x
抛物线y= 2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y最小值是____.
当x____0时,y>0
(0,0)
直线x=0
对称轴左
<
对称轴右
>
0
0

齐声朗读

.
新知导入
0
x
y
y= x -3x
y=2x +4x-6
(1)当自变量增大时，函数的值将怎样变化？ 顶点是图象的最高点还是最低点？
当x≤- ，y随着自变量x的增大而减小，
当x≥- ，y随着自变量x的增大而增大,
顶点是图象的最低点.
(2)判别这些函数有没有最大值或最小值，
是由表达式中哪一个系数决定的？
有最小值，由二次项系数a决定
先减小，后增大.
x=-
x=-
新知导入
二次函数y=ax +bx+c的性质：
抛物线的对称轴是
直线x=
顶点坐标（ ， ）
当x≤ 时，
y随着x的增大而减少；
当x≥ 时，
y随着x的增大而增大；
当x= 时，
函数达到最小值________.
无最大值.
先减小，后增大.
0
y
x
（2）a>0时
图象开口向上
x=-
ymin=
.
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。
x轴：直线y=0-------
x轴上任意一点的纵坐标为0
齐声朗读
方程=0(a≠0)与函数 (a≠0)有什么关系？
如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此 x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）
x1，0
x2，0
O
A
B
x1
x2
y
新知讲解
例 已知函数
（1） 求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，
并画出函数的大致图象.
解 （1）∵a=- ,b=-7,c=
顶点坐标是（-7，32）
对称轴是直线x=-7
由x=0，得 y= ，所以图象与y轴的交点是（0， ）
由y=0，得 ，
解得
所以图象与x轴的交点是（-15，0 ）, （1，0 ）.
x
y
0
10
-10
-20
-10
10
20
30
（-7，32）
（-15,0）
（1，0）
（0， ）
（-14， ）
（2） 自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？ 并求出函数的最大值或最小值.
(2)由图可知，当x≤-7时，y随x的增大而增大；当x≥-7时，y随x的增大而减小。当x=-7时，函数y有最大值32.
.
.
课堂总结
条件 图象 增减性 最大(小)值
a>0
a<0
二次函数的性质：
当x≤-时，y随x的增大而减小；
当x≥-时，y随x的增大而增大.
.
当x=-时，y达到最小值；
当y=时，无最大值.
.
当x≤-时，y随x的增大而增大；
当x≥-时，y随x的增大而减小.
.
当x=-时，y达到最大值；
当y=时，无最小值.
.
五点法:
x
o
y
(0,c)
y=ax2+bx+c
水平线：直线 y=c
铅垂线：x= -
x1+x2=
x1+x2= -
.
.
韦达定理+中点平均数
1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：
⑴ y=2x2－8x＋1；
⑵ y=－3x2－5x＋1
解： ⑴ ∵y=2x2－8x＋1＝2(x－2)2－7
∴当x=2时,y有最小值,为－7
⑵ ∵a=－3＞0且b=－5,c=1;
故:当x= 时，y有最小值，为
夯实基础，稳扎稳打
2.求下列二次函数的图像与x轴交点的坐标
(1) y=
(2) y=
方程ax2+bx+c=0 (aax2+bx+c (a
ax2+bx+c (a方程ax2+bx+c=0 (a
令y=0,
.
(0,0），（9，0）
a=
b2-4a
32 - 4
=25
令y=0,
=0
=0
.
(,0），（-2，0）
.
3.求二次函数y=的图像与坐标轴的交点坐标
令x=0,
令y=0,
=0
a=
b2-4a
(-2)2 - 4
.
二次函数y=的图像与y轴的交点坐标: (0,8)
.
二次函数y=的图像与x轴的交点坐标:(4,0），（-2，0）
.
（3） y = x2 – x+ 1
x
y
o
解：当 y = 0 时，
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
所以与 x 轴没有交点。
x
y
o
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时，
（2x－1）2 = 0
（1） y = 2x2＋x－3
x
y
o
当y=0时，
解得：，
与 x 轴有交点，有两个交点。
分别是(，0)，(1,0)
4.求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标。
x 1 = x 2 =
.
5、已知函数y=x2－3x－4. ⑴求函数图像的顶点坐标、
与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；
解：∵ y=x2－3x－4 ＝(x－1.5)2－6.25, ∴图象顶点坐标为(1.5, －6.25);
当y=0时，x2－3x－4＝0，x1＝－1，x2＝4。
则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0)
⑵记当x1=3.5,x2= ,x3= 时
对应的函数值分别为y1,y2,y3,
试比较y1,y2,y3的大小
与y轴的交点为(0, －4)
O
y
x
(－1,0)
(4,0)
(1.5, －6.25)
(0, －4)
x=1.5
解:⑵如右图可知:
y2＞ y1 ＞ y3
x=
( ,y2)
x=
( ,y3)
(3.5,y1)
y2
y3
y1
连续递推，豁然开朗
6.已知二次函数的图象经过点(－1，－8)，顶点坐标为(2，1)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标．
解：(1)设这个二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋1(a≠0)．
把(－1，－8)代入，得－8＝9a＋1，解得a＝－1，
所以这个二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋1＝－x2＋4x－3.
(2)令y＝0，则－x＋4x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
所以这个二次函数的图象与x轴的交点坐标是(1，0)，(3，0)．
令x＝0，则y＝－3，
所以这个二次函数的图象与y轴的交点坐标是(0，－3)．
谢谢
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