2014九上第三章 圆的基本性质综合测试(附答案)
文档属性
| 名称 | 2014九上第三章 圆的基本性质综合测试(附答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 359.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-08-10 17:14:33 | ||
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文档简介
【章节训练】第3章 圆的基本性质
一、选择题（共10小题）
1．（2014 重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 70°
2．（2014 台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC=EG，OG=1，AG=2，则与两弧长的和为何？（ ）
A． π B． C． D．
3．（2014 云南）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． 2π C． 3π D． 12π
4．（2014 长春）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A． 3 B． 4 C． D． 5
5．（2014 台湾）有一直圆柱状的木棍，今将此木棍分成甲、乙两段直圆柱状木棍，且甲的高为乙的高的9倍．若甲、乙的表面积分别为S1、S2，甲、乙的体积分别为V1、V2，则下列关系何者正确？（ ）
A． S1＞9S2 B． S1＜9S2 C． V1＞9V2 D． V1＜9V2
6．（2014 铜仁）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（ ）
A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°
7．（2014 莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2014 宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． 6π B． 8π C． 12π D． 16π
9．（2014 自贡）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A． 60° B． 120° C． 150° D． 180°
10．（2014 岳阳）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A． B． π C． D．
二、填空题（共6小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2014 遂宁）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 _________ （结果保留π）．
12．（2014 长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= _________ 度．
13．（2014 巴中）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是 _________ ．
14．（2014 大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为 _________ ．
15．（2014 巴中）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 _________ ．
16．（2014 泰州）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 _________ cm2．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
17．（2014 南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
18．（2014 厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
19．（2014 哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
20．（2014 丽水）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
21．（2014 大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
22．（2014 黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
23．（2014 莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
24．（2014 无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
25．（2014 天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
26．（2014 安徽名校一模）如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连接CB，BD是⊙O的直径，∠D=40°，求：∠AO1B，∠ACB和∠CAD的度数．
【章节训练】第3章 圆的基本性质-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2014 重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 70°
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答： 解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选C．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2014 台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC=EG，OG=1，AG=2，则与两弧长的和为何？（ ）
A． π B． C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 设AC=EG=a，用a表示出CE=2﹣2a，CO=3﹣a，EO=1+a，利用扇形弧长公式计算即可．
解答： 解：设AC=EG=a，CE=2﹣2a，CO=3﹣a，EO=1+a，+=2π（3﹣a）×+2π（1+a）×=（3﹣a+1+a）=． 故选B．
点评： 本题考查了弧长的计算，熟悉弧长的计算公式是解题的关键．
3．（2014 云南）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． 2π C． 3π D． 12π
考点： 弧长的计算．
分析： 根据弧长公式l=，代入相应数值进行计算即可．
解答： 解：根据弧长公式：l==3π，故选：C．
点评： 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=．
4．（2014 长春）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A． 3 B． 4 C． D． 5
考点： 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
分析： 首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
解答： 解：连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C=90°，∵AB=5，BC=3，∴AC==4，∵点P是上任意一点．∴4≤AP≤5．故选A．
点评： 此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2014 台湾）有一直圆柱状的木棍，今将此木棍分成甲、乙两段直圆柱状木棍，且甲的高为乙的高的9倍．若甲、乙的表面积分别为S1、S2，甲、乙的体积分别为V1、V2，则下列关系何者正确？（ ）
A． S1＞9S2 B． S1＜9S2 C． V1＞9V2 D． V1＜9V2
考点： 圆柱的计算．
分析： 根据两圆柱的底面积相同，且甲的高为乙的高的9倍设圆柱的底面半径为r，乙圆柱的高为h，从而得到甲圆柱的高为9h，然后利用圆柱的体积和表面积的计算方法即可得到正确的选项．
解答： 解：∵两圆柱的底面积相同，且甲的高为乙的高的9倍，∴设圆柱的底面半径为r，乙圆柱的高为h，∴甲圆柱的高为9h，∴甲圆柱的表面积S1为2πr×9h+2πr2=2πr（9h+r），体积V1为9πr2h；甲圆柱的表面积S2为2πrh+2πr2=2πr（h+r），体积V1为πr2h；∴S1＜9S2，V1=9V2，故选B．
点评： 本题考查了圆柱的计算，了解圆柱的表面积和体积的计算方法是解答本题的关键．
6．（2014 铜仁）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（ ）
A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理直接解答即可．
解答： 解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．
点评： 本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．
7．（2014 莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．
解答： 解：连接OA、OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴的长为：=，故选：C．
点评： 本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=．
8．（2014 宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． 6π B． 8π C． 12π D． 16π
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
解答： 解：此圆锥的侧面积= 4 2π 2=8π．故选：B．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．（2014 自贡）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A． 60° B． 120° C． 150° D． 180°
考点： 弧长的计算．
分析： 首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，再解方程即可．
解答： 解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，解得：n=120°，故选：B．
点评： 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式：l=．
10．（2014 岳阳）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A． B． π C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 利用弧长公式l=即可直接求解．
解答： 解：弧长是：=．故选：D．
点评： 本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键．
二、填空题（共6小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2014 遂宁）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 20π （结果保留π）．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答： 解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长=8π，∴侧面面积=×8π×5=20π．故答案为：20π．
点评： 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
12．（2014 长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 50 度．
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理即可直接求解．
解答： 解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故答案是：50．
点评： 此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（2014 巴中）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是 180° ．
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为4π，扇形的半径为4，再根据弧长公式求解．
解答： 解：∵轴截面是一个边长为4的等边三角形，∴母线长为4，圆锥底面直径为4，∴底面周长为4π，即扇形弧长为4π．设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为n，根据题意得4π=，解得n=180°．故答案为：180°．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2014 大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为 2 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 先由直径是圆中最长的弦得出BD=4，再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD，则四边形ABCD的面积=AC BD．
解答： 解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=AC BD=×1×4=2．故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理，四边形的面积，难度适中．得出BD是直径是解题的关键．
15．（2014 巴中）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 70° ．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．
解答： 解：∵AC⊥BO，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，∴∠BOC=2∠A=70°．故答案为：70°．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．（2014 泰州）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 60π cm2．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解答： 解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2．
点评： 本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
17．（2014 南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．
点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
18．（2014 厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析： （1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（2）作直径DE，连接CE、BE．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCE=∠DBE=90°，则BE∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得，则CE=AB．根据勾股定理即可求解．
解答： 解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（2）作直径DE，连接CE、BE．∵DE是直径，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE∥AC，∴，∴CE=AB．根据勾股定理，得CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20，∴DE=，∴OD=，即⊙O的半径为．
点评： 此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．
19．（2014 哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
考点： 三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （1）首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
解答： （1）证明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB=60°；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
20．（2014 丽水）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算．
分析： （1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．
解答： 解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π．
点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
21．（2014 大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
分析： （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
解答： 解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=，∵∠PBC=∠C=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：=．
点评： 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．
22．（2014 黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析： （1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．
23．（2014 莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
专题： 证明题．
分析： （1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到ED=BD=，然后根据扇形的面积公式求解．
解答： （1）证明：∵点D是线段BC的中点，∴BD=CD，∵AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BE=CE；（2）解：∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=30°，∴∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，∴ED=BD tan30°=BD=，∴阴影部分（扇形）的面积==π．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式．
24．（2014 无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考点： 圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
分析： （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答： 解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
25．（2014 天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．
点评： 本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
26．（2014 安徽名校一模）如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连接CB，BD是⊙O的直径，∠D=40°，求：∠AO1B，∠ACB和∠CAD的度数．
考点： 圆周角定理；圆内接四边形的性质．
分析： 本题用到的知识点为：圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
解答： 解：连接OA．∵∠D=40°，∠AO1B=180°﹣∠D=140°；∴∠ACB=∠AO1B=70°；∵OA=OD；∴∠OAD=∠D=40°，∠CAD=∠DAO+∠CAO=130°．
点评： 注意把所求角分割成和半径与切线的夹角有关的角．
一、选择题（共10小题）
1．（2014 重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 70°
2．（2014 台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC=EG，OG=1，AG=2，则与两弧长的和为何？（ ）
A． π B． C． D．
3．（2014 云南）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． 2π C． 3π D． 12π
4．（2014 长春）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A． 3 B． 4 C． D． 5
5．（2014 台湾）有一直圆柱状的木棍，今将此木棍分成甲、乙两段直圆柱状木棍，且甲的高为乙的高的9倍．若甲、乙的表面积分别为S1、S2，甲、乙的体积分别为V1、V2，则下列关系何者正确？（ ）
A． S1＞9S2 B． S1＜9S2 C． V1＞9V2 D． V1＜9V2
6．（2014 铜仁）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（ ）
A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°
7．（2014 莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2014 宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． 6π B． 8π C． 12π D． 16π
9．（2014 自贡）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A． 60° B． 120° C． 150° D． 180°
10．（2014 岳阳）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A． B． π C． D．
二、填空题（共6小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2014 遂宁）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 _________ （结果保留π）．
12．（2014 长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= _________ 度．
13．（2014 巴中）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是 _________ ．
14．（2014 大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为 _________ ．
15．（2014 巴中）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 _________ ．
16．（2014 泰州）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 _________ cm2．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
17．（2014 南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
18．（2014 厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
19．（2014 哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
20．（2014 丽水）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
21．（2014 大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
22．（2014 黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
23．（2014 莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
24．（2014 无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
25．（2014 天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
26．（2014 安徽名校一模）如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连接CB，BD是⊙O的直径，∠D=40°，求：∠AO1B，∠ACB和∠CAD的度数．
【章节训练】第3章 圆的基本性质-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2014 重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 70°
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答： 解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选C．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2014 台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC=EG，OG=1，AG=2，则与两弧长的和为何？（ ）
A． π B． C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 设AC=EG=a，用a表示出CE=2﹣2a，CO=3﹣a，EO=1+a，利用扇形弧长公式计算即可．
解答： 解：设AC=EG=a，CE=2﹣2a，CO=3﹣a，EO=1+a，+=2π（3﹣a）×+2π（1+a）×=（3﹣a+1+a）=． 故选B．
点评： 本题考查了弧长的计算，熟悉弧长的计算公式是解题的关键．
3．（2014 云南）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． 2π C． 3π D． 12π
考点： 弧长的计算．
分析： 根据弧长公式l=，代入相应数值进行计算即可．
解答： 解：根据弧长公式：l==3π，故选：C．
点评： 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=．
4．（2014 长春）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A． 3 B． 4 C． D． 5
考点： 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
分析： 首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
解答： 解：连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C=90°，∵AB=5，BC=3，∴AC==4，∵点P是上任意一点．∴4≤AP≤5．故选A．
点评： 此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2014 台湾）有一直圆柱状的木棍，今将此木棍分成甲、乙两段直圆柱状木棍，且甲的高为乙的高的9倍．若甲、乙的表面积分别为S1、S2，甲、乙的体积分别为V1、V2，则下列关系何者正确？（ ）
A． S1＞9S2 B． S1＜9S2 C． V1＞9V2 D． V1＜9V2
考点： 圆柱的计算．
分析： 根据两圆柱的底面积相同，且甲的高为乙的高的9倍设圆柱的底面半径为r，乙圆柱的高为h，从而得到甲圆柱的高为9h，然后利用圆柱的体积和表面积的计算方法即可得到正确的选项．
解答： 解：∵两圆柱的底面积相同，且甲的高为乙的高的9倍，∴设圆柱的底面半径为r，乙圆柱的高为h，∴甲圆柱的高为9h，∴甲圆柱的表面积S1为2πr×9h+2πr2=2πr（9h+r），体积V1为9πr2h；甲圆柱的表面积S2为2πrh+2πr2=2πr（h+r），体积V1为πr2h；∴S1＜9S2，V1=9V2，故选B．
点评： 本题考查了圆柱的计算，了解圆柱的表面积和体积的计算方法是解答本题的关键．
6．（2014 铜仁）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（ ）
A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理直接解答即可．
解答： 解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．
点评： 本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．
7．（2014 莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．
解答： 解：连接OA、OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴的长为：=，故选：C．
点评： 本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=．
8．（2014 宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． 6π B． 8π C． 12π D． 16π
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
解答： 解：此圆锥的侧面积= 4 2π 2=8π．故选：B．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．（2014 自贡）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A． 60° B． 120° C． 150° D． 180°
考点： 弧长的计算．
分析： 首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，再解方程即可．
解答： 解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，解得：n=120°，故选：B．
点评： 此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式：l=．
10．（2014 岳阳）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A． B． π C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 利用弧长公式l=即可直接求解．
解答： 解：弧长是：=．故选：D．
点评： 本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键．
二、填空题（共6小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2014 遂宁）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 20π （结果保留π）．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答： 解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长=8π，∴侧面面积=×8π×5=20π．故答案为：20π．
点评： 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
12．（2014 长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 50 度．
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理即可直接求解．
解答： 解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故答案是：50．
点评： 此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（2014 巴中）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是 180° ．
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为4π，扇形的半径为4，再根据弧长公式求解．
解答： 解：∵轴截面是一个边长为4的等边三角形，∴母线长为4，圆锥底面直径为4，∴底面周长为4π，即扇形弧长为4π．设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为n，根据题意得4π=，解得n=180°．故答案为：180°．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2014 大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为 2 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 先由直径是圆中最长的弦得出BD=4，再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD，则四边形ABCD的面积=AC BD．
解答： 解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=AC BD=×1×4=2．故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理，四边形的面积，难度适中．得出BD是直径是解题的关键．
15．（2014 巴中）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 70° ．
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．
解答： 解：∵AC⊥BO，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，∴∠BOC=2∠A=70°．故答案为：70°．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．（2014 泰州）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 60π cm2．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解答： 解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2．
点评： 本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
17．（2014 南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．
点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
18．（2014 厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析： （1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（2）作直径DE，连接CE、BE．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCE=∠DBE=90°，则BE∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得，则CE=AB．根据勾股定理即可求解．
解答： 解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（2）作直径DE，连接CE、BE．∵DE是直径，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE∥AC，∴，∴CE=AB．根据勾股定理，得CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20，∴DE=，∴OD=，即⊙O的半径为．
点评： 此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．
19．（2014 哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
考点： 三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （1）首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
解答： （1）证明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB=60°；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
20．（2014 丽水）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算．
分析： （1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．
解答： 解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π．
点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
21．（2014 大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
分析： （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
解答： 解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=，∵∠PBC=∠C=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：=．
点评： 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．
22．（2014 黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析： （1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．
23．（2014 莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
专题： 证明题．
分析： （1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到ED=BD=，然后根据扇形的面积公式求解．
解答： （1）证明：∵点D是线段BC的中点，∴BD=CD，∵AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BE=CE；（2）解：∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=30°，∴∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，∴ED=BD tan30°=BD=，∴阴影部分（扇形）的面积==π．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式．
24．（2014 无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考点： 圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
分析： （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答： 解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
25．（2014 天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．
点评： 本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
26．（2014 安徽名校一模）如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连接CB，BD是⊙O的直径，∠D=40°，求：∠AO1B，∠ACB和∠CAD的度数．
考点： 圆周角定理；圆内接四边形的性质．
分析： 本题用到的知识点为：圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
解答： 解：连接OA．∵∠D=40°，∠AO1B=180°﹣∠D=140°；∴∠ACB=∠AO1B=70°；∵OA=OD；∴∠OAD=∠D=40°，∠CAD=∠DAO+∠CAO=130°．
点评： 注意把所求角分割成和半径与切线的夹角有关的角．
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