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1.1 二次函数 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分：
1．二次函数的一般形式为______．
2．二次函数y=x（x－1）的二次项系数是______，常数项是_______．
3．已知二次函数y=ax2+1，当x=－2时，y=2，则此二次函数的关系式为______．
4．已知一个二次函数y=2x2+bx+c，当x=1时，y=1；当x=2时，y=8，则这个二次函数的解析式为_______．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S与边长a的函数关系式是_______，当a=8时，S=_____．
6．在函数y=－3x2+2x+1，y=－x+5，y=－3，y=x（2+x）+1中，以x为自变量的二次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．正方形的边长为3，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=x2+9 B．y=（x+3）2 C．y=x2+6x D．y=9－3x2
8．已知关于x的一个二次函数，当x=0时的值是－1，当x=－1时的值是－2，当x=1时的值是4，求这个二次函数的解析式．
第二部分
9．当m=_______时，y=（m－3）x+mx+1是二次函数．
10．若矩形的周长是8，则这个矩形的面积y与一边长x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．
11．半径为9cm的圆面上，挖去半径为xcm的圆面，剩下一个面积为ycm2的圆环，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=－x2+81 B．y=（x－9）2 C．y=－x2+9 D．y=－x2+81
12．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，梯形的周长为60，设腰AB=x，梯形面积为y．
（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x=15时，求y的值．
13．如图，已知矩形的长为3，宽为2，现在矩形上截去一个边长为x的正方形，求：
（1）余下部分的面积y关于x的函数表达式；
（2）当x=1时，y的值；
（3）当x为何值时，余下部分的面积是截去部分面积的2倍？
14．已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），问当a，b，c满足什么条件时，
（1）它是二次函数？
（2）它是一次函数？
（3）它是正比例函数？
谈谈你的看法，和同学一起交流．
第三部分
15．请设计一个二次函数，使得函数的二次项系数为1，且当x=1时，y=2．
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新浙教版数学九年级（上）
1.1 二次函数
基础回顾 什么叫函数
在某变化过程中存在两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们称y为x的函数。 其中x叫自变量， y也叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
二次函数
变量之间的关系
函数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
温馨提示：同桌交流，互相帮助！
试一试：
探究问题1
要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？
1 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．
能用含x的代数式来表示y吗？
2 试填下面的表
3 x的值可以任意取？有限定范围吗？
4 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。
B
C
D
AB的长ｘ（ｍ） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
ＢＣ的长（ｍ） １２
面积ｙ（ｍ２） ４８
A
x
x
20-2x
y=x(20-2x) (0﹤x﹤10)
Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10)
18
18
32
14
42
16
10
50
8
48
6
42
4
32
18
0﹤x﹤10
2
探究问题2
某商店将每商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
1 设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？
2 怎样写出该关系式？
试一试：
温馨提示：同桌交流，互相帮助！
单件利润（元） 每天销量（件） 每天利润（y元)
降价x元前
降价x元后
１００
(１０-８)×１００
10-8
1０-x-8
(10-x-8)(100+100x)
100+100x
y=(10-x-8)(100+100x)
即y=-100x2+100x+200 ( 0≤x≤2)
每天利润= 单件利润×每天销量
讨论
得到的两个函数关系式有什么特点
温馨提示：同桌交流，互相帮助！
答(1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. 即都是自变量的二次整式！
观察
（１） Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10)
（２）y=-100x2+100x+200 ( 0≤x≤2)
提问
对比一次函数归纳二次函数的定义？
概念引入
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数
思考：1. 由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．
驶向胜利的彼岸
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
驶向胜利的彼岸
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0
概念引入
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫二次函数
其中x是自变量，
a为二次项系数，ax2叫做二次项，
b为一次项系数，bx叫做一次项，
c为常数项。
下列函数中,哪些是二次函数
先化简后判断
不是，是一次函数
不是，右边是分式不是整式
是二次函数
=v2-1
是二次函数
=3n2-3n
是二次函数
=2t+1
不是，是一次函数
判断一个函数是否是二次函数，需要满足几个特征？
填表：写出下列二次函数的二次项系数、一次 项系数和常数项。
函数解析式 二次项
系数 一次项系数 常数项
y=2x2-x-1
m=-3n(n+2)
S=3(t+1)(t-2)
2
-1
-1
-3
-6
0
=3t2-3t-6
3
-3
-6
先化简成一般式
在实践中感悟
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1) +1
(3) s=3-2t
(5)y=(x+3) -x
(6)v=10πr
（是）
（否）
（是）
（否）
（否）
（是）
(7) y=x +x +25
(8)y=2 +2x
（否）
（否）
(2)
驶向胜利的彼岸
知识运用举例
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
解得 m=3
m取何值时，函数y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
如果函数y=(k-3) +kx+1是二次
函数,则k的值一定是______
0
如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
0或3
练一练
知识升华
已知函数
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
解得k=1,∴k=1时,y是x的一次函数。
已知y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2-7
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 时是正比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 时是反比例函数。
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
变式：已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=0时，y=-5；当x=1时，y=-8；当x=-1时，y=0，求函数解析式。
解：依题意，得
解得
∴二次函数解析式是y=x2-4x-5
1、若函数 是二次函数，求m的值。
2、已知函数y=ax2+bx+3，当x=2时，函数值是3； 当x=-2时，函数值是2.求函数解析式。
由 ，得
例1：函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3）m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
由 ，得
由 ，得
由 ，得
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。
① ② ③ ④ ⑤
∵
2m+n=2
m-n=1
∴ m=1
n=0
∵
∴
2m+n=1
m-n=2
m=1
n=-1
∵
∴
2m+n=2
m-n=2
m=4/3
n=-2/3
∵
∴
2m+n=2
m-n=0
m=2/3
n=-4/3
∵
∴
2m+n=0
m-n=2
m=2/3
n=2/3
难得倒你吗？
