(共25张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
1.2 二次函数的图像(2)
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
|a|越大,抛物线的开口越小;
a<0时, 在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x增大而减少;
(3) a>0时, 在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x增大而增大;
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.(0,0)
|a|越小,抛物线的开口越大;
x
y
o
a>0
a<0
a<0
x
y
o
画出二次函数 、 的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解: 先列表
描点
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-2
…
0
-0.5
-2
-0.5
-8
…
-4.5
-8
…
-2
-0.5
0
-4.5
-2
…
-0.5
可以看出,抛物线
的开口向下,
对称轴是经过点(－1,0)且与x轴垂直的直线,我们把它记为x=－1,
顶点是(－1,0);
抛物线 呢
x=－1
抛物线 与抛物线 有什么关系
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
可以发现,抛物线 向左平移1个单位,就得到抛物线 ;
向左平移1个单位
把抛物线 向右平移1个单位,就得到抛物线 .
向右平移1个单位
即:
顶点(0,0)
顶点(2,0)
直线x=－2
直线x=2
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(－2,0)
对称轴:y轴
即直线:x=0
在同一坐标系中作出下列二次函数:
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.
向右平移2个单位
向右平移2个单位
向左平移2个单位
向左平移2个单位
x
y
2
-2
一般地,抛物线y=a(x－m)2有如下性质:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=m;
(3)顶点是(m,0).
抛物线y=a(x－m)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|m|得到.
(m>0,向右平移;m<0向左平移.)
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y＝a(x-m)2 a>0 a<0
最 值
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
二次函数y=a(x-m)2的性质
开口向上
开口向下
直线x=m
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
（m，0)
当x=m时,
最小值为0.
当x=m时,
最大值为0.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
直线x=1
直线x=3
向下
向下
( 1 , 0 )
( 3, 0)
画出函数 的图像.指出它的开口
方向、顶点与对称轴、
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
解: 先列表
画图
再描点画图.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解: 先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点
(2)抛物线
有什么关系
可以看出,抛物线 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
一般地,抛物线y=a(x－m)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －m)2＋k.平移的方向、距离要根据m、k的值来决定.
向左(右)平移|m|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－m)2
y=a(x－m)2+k
y=ax2
y=a(x－m)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|m|个单位
平移方法:
抛物线y=a(x－m)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=m;
(3)顶点是(m,k).
二次函数y=a(x-m)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-m)2+k(a>0)
y=a(x-m)2+k(a<0)
（m，k）
（m，k）
直线x=m
直线x=m
由m和k的符号确定
由m和k的符号确定
向上
向下
当x=m时,最小值为k.
当x=m时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1 , －2)
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗
1.若抛物线y=2(x-m) 的顶点在x轴正
半轴上,则m的值为( )
A.m=5 B.m=-1
C.m=5或m=-1 D.m=-5
A
2、二次函数 图像的对称轴是（ ）
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴 （D）x轴
3、将抛物线 向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、抛物线 是由抛物线 向 平移 个单位得到的，平称后的抛物线对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值，其值是 。
A
D
y=-X2
右
1
直线x=1
(1,0)
1
大
0
在平面直角坐标系中，如果抛物线 不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 .
若二次函数 经过平移变换后顶点坐标为(-2,3) ,则平移后的函数解析式为 .
灵活变通
牛刀小试
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A.
B.
C.
D.
C
2.抛物线 的顶点坐标是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 抛物线 的对称轴 .
直线x=n-m
C(3,0)
B(1，3)
7.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
拓展提高
1、将抛物线 向左平移后，所得
新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物
线经过点(1，3)，求a的值。
2、将抛物线 左右平移，使得
它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
若△ABO的面积为8，求平移后的抛物
线的解析式。
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为
（1，-4）。且过点B（3，0）。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.2 二次函数的图像(2) （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
图象的顶点为(－2，－2 )，且经过原点的二次函数的关系式是……………………（ ）
A. y=(x+2 )2 －2 B. y=(x－2 )2 －2 C. y = 2(x+2 )2 －2 D. y= 2(x－2 )2 －2
2.抛物线y=2(x－2)2－6的顶点为，已知y=－kx+3的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为……………………（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
3.将抛物线y＝2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是…………………………………（ ）
A.y=2(x+2)2－3 B.y=2(x-2)2－3 C.y=2(x+2)2+3 D. y=2(x+3)2+2
4.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都………………………（ ）
A. 在y=x直线上 B. 在直线y=－x上
C. 在x轴上 D. 在y轴上
5.把抛物线y=－2x2向上平移个单位，得到的抛物线是 .
第二部分
6. 二次函数y=－3(x－2)2+9图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为 .
7.将抛物线y=2x2向左平移2个单位，得到的抛物线是 .
8.在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 .
9.抛物线的对称轴是 .
10.抛物线y=x2+4与y轴的交点坐标是___________________．
11. 将抛物线先向下平移2个单位，再向左平移2个单位.
(1) 求此时抛物线的解析式；
(2) 应将此抛物线向右平移多少个单位，才能使所得的抛物线经过原点？
12. 若抛物线y=ax2+b经过点(1，2)与点(，0).
(1) 求a，b的值；
(2) 若把此抛物线向右平移3个单位，求此时抛物线的顶点.
参考答案
第一部分
4.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都………………………（ ）
A. 在y=x直线上 B. 在直线y=－x上
C. 在x轴上 D. 在y轴上
解析：∵抛物线顶点坐标为(－m，m)，∴顶点在直线y=－x上.
答案：B
5.把抛物线y=－2x2向上平移个单位，得到的抛物线是 .
答案： y=－2x2+1
第二部分
6. 二次函数y=－3(x－2)2+9图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为 .
答案：开口向下、对称轴为、顶点坐标（2，9）
把(0，0)代入，得0=(0+2－m)2－2，解得m=0（舍）或4，
即抛物线向右平移4个单位，才能使所得的抛物线经过原点.
12. 若抛物线y=ax2+b经过点(1，2)与点(，0).
(1) 求a，b的值；
(2) 若把此抛物线向右平移3个单位，求此时抛物线的顶点.
答案：(1) 将点(1，2)与点(，0)代入y=ax2+b，得
，∴
(2) 抛物线的解析式为y=－x2+3，向右平移3个单位后得y=－(x－3)2+3
此时顶点坐标为(3，3).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网
