浙教版数学九年级上册单元训练卷（8） 圆的基本性质（二）(考查知识点+答案详解+名师点评）

浙教版数学九年级上册单元训练卷（8）
圆的基本性质（二）
班级 姓名
一、选择题(每题3分，共30分)
1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为（ ）
A．15° B. 30° C. 45° D. 60°
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
3.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（　　）
A、35° B、55° C、65° D、70°
4. 如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（　　）
A、2cm B、3cm C、4cm D、2cm
5. 用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（　　）
A、1.5cm B、3cm C、6cm D、12cm
6. 如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（　　）
A．9 B． C． D．
7.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
8.在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）
A、 B、 C、π D、
9.如图平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．求∠BAJ′的度数为何？（　　）
A、96 B、108 C、118 D、126
10.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题(每题4分，共24分)
1. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=550，则∠ADC的大小为 （度）．2-1-c-n-j-y
2. 如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=　 　．
3. 如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22o，则∠EFG=_____.
4、如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= .21*cnjy*com
5.如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=　 　，CD=　 　．www-2-1-cnjy-com
6.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m.（结果用π表示）
三、解答题(17题6分，18题8分，23题12分，其余每题10分，共66分)
17.如图，∠BAC所对的弧（图中）的度数为120°，⊙O的半径为5，
则弦BC的长为多少？

18.如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°，则∠D为多少度？
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是多少？
20.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．　　21*cnjy*com
21.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部队的面积．【版权所有：21教育】
22.如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点?（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长等于________（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．21教育名师原创作品
23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.21世纪教育网2·1·c·n·j·y
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.
参考答案
一、选择题(每题3分，共30分)
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．www.21-cn-jy.com
点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
4. 如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（　　）
A、2cm B、3cm C、4cm D、2cm
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．
解答：解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴AB=2AM，
∵CD=5cm，
∴OD=OA=CD=×5=cm，
∵OM：OD=3：5，
∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2，
∴AB=2AM=2×2=4cm．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5. 用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（　　）
A、1.5cm B、3cm C、6cm D、12cm
考点：圆锥的计算。
分析：设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=，
解得r=3cm．
故选B．
点评：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
7.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
考点：垂径定理；勾股定理。
专题：探究型。
分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB＝则AD＝＝，OD＝，再利用勾股定理即可得出结论．21cnjy.com
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB＝，
∴AD＝＝，OD＝，
在Rt△AOD中，
OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（）2＋（）2，
解得r＝．
故选A．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8.在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）
A、 B、 C、π D、
考点：弧长的计算；旋转的性质。
分析：因为斜边AB=4，∠B=60°，所以BC=2，点C运动的路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧CC′，那么弧CC′的长=．21世纪教育网版权所有
解答：解：弧CC′的长=．
故选B．
点评：解答本题的关键在于正确理解点C的运动路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧．
9.如图平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．求∠BAJ′的度数为何？（　　）
A、96 B、108 C、118 D、126
考点：正多边形和圆；多边形内角与外角；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：利用正多边形的性质可以得到四边形ABCB′为菱形，计算其内角后，用多边形的内角减去即可得到答案．
解答：解题技巧：（1）正n边形每一个内角度数=，（2）菱形的邻角互补
[解析]∵两个图形为全等的正十边形，
∴ABCB′为菱形，
又∠ABC=∠AB′C==144°
∴∠BAB′=180°﹣144°=36°，
?∠BAJ′=∠B′AJ′﹣∠BAB′
=144°﹣36°
=108°．
故选B．
点评：本题考查了正多边形与圆的计算，解题的关键是利用正多边形的性质判定菱形．
10.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【 】
A．3 B．4 C． D．
【答案】C。
【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB=CD=8，
∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON。
又∵OB=5，∴由勾股定理得：
∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°。
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°。
∴四边形MONP是正方形。∴PM=PN=OM=ON=3。
∴由勾股定理得：。故选C。
二、填空题(每题4分，共24分)
1. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=550，则∠ADC的大小为 ▲ （度）．
【答案】35。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。
【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，∴∠B=90°－∠CAB=35°。∴∠ADC=∠B=35°。
2. 如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=　65　°．
考点：圆周角定理；坐标与图形性质。
分析：根据∠DAB=20°，得出∠DOB的度数，再利用等腰三角形的性质得出∠OCD=∠CDO，进而求出答案．
解答：解：连接DO，∵∠DAB=20°，
∴∠DOB=40°，
∴∠COD=90°﹣40°=50°，
∵CO=DO，
∴∠OCD=∠CDO，
∴∠OCD=（180°﹣50°）÷2=65°．
故答案为：65．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，得出∠OCD=∠CDO是解决问题的关键．
3. 如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22o，则∠EFG=_____.
考点：圆周角定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：连接OE，利用三角形的外角性质得出∠ODC的度数，再求出∠DOC，从而求出∠EOG的度数，再利用圆周角定理求出∠EFG的度数．
解答：解：连接EO，
∵AD=DO，
∴∠BAC=∠DOA=22°，
∴∠EDO=44°，
∵DO=EO，
∴∠OED=∠ODE=44°，
∴∠DOE=180°﹣44°﹣44°=92°，
∴∠EOG=180°﹣92°﹣22°=66°，
∴∠EFG=∠EOG=33°，
故答案为：33°．
点评：此题主要考查了圆周角定理，三角形外交的性质的综合运用，做题的关键是理清角之间的关系．
4、如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲ °.21·世纪*教育网
【答案】60。
【考点】圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质。
【分析】∵∠AOC和∠D分别是弧所对的圆心角和圆周角，
∴根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠AOC=2∠D。
又∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC。
又∵圆内接四边形对角互补，即∠B+∠D=180°，∴∠D=60°。
连接OD，
则OA=OD，OD=OC，∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，
∴∠OAD＋∠OCD=∠ODA＋∠ODC=∠D= 60°。
5.如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=　4　，CD=　9　．
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：数形结合；方程思想．
分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点C为AB的中点，由AB=6可求出AC的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OC，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，通过观察图形可知，OC等于半径减1，CD等于半径加OC，把求出的半径代入即可得到答案．
解答：
解：连接OA，
∵直径DE⊥AB，且AB=6
∴AC=BC=3，
设圆O的半径OA的长为x，则OE=OD=x
∵CE=1，
∴OC=x﹣1，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2=32，化简得：x2﹣x2+2x﹣1=9，
即2x=10，
解得：x=5
所以OE=5，则OC=OE﹣CE=5﹣1=4，CD=OD+OC=9．
故答案为：4；9
点评：此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
6.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m.（结果用π表示）
考点：弧长的计算。
分析：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．
解答：解：由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，则半圆形的弧长l==2π，∴圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．
点评：本题主要考查了弧长公式l=nπr180，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．
三、解答题(17题6分，18题8分，23题12分，其余每题10分，共66分)
17.如图，∠BAC所对的弧（图中）的度数为120°，⊙O的半径为5，
则弦BC的长为多少？
考点：圆周角定理；解直角三角形．
专题：探究型．
分析：连接OB、OB，过O点作OD⊥BC于点D，由可求出∠BOB＝120°，再由垂径定理可知BD＝BC，根据锐角三角函数的定义可求出BD的长，进而可得出BC的长．
解答：解：连接OB、OB，过O点作，OD⊥BC于点D，

∵＝120°，
∴∠BOC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝BC，∠BOD＝∠BOC＝×120°＝60°，
在Rt△OBD中，BD＝OB?sin∠BOD＝5×＝，
∴BC＝2BD＝2×＝5．
故答案为：5．
点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义解答是解答此题的关键．
18.如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°，则∠D为多少度？
考点：圆周角定理。
专题：计算题。
分析：首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角．
解答：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，
故答案为：60°．
点评：本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形．
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是多少？
考点：扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD
解答：解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴S扇形ABD＝
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD＝．
故答案为：．
点评：本题考查了扇形的面积公式：．也考查了勾股定理以及旋转的性质．
20.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．21教育网
考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。
专题：作图题；几何综合题。
分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．21·cn·jy·com
（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．
解答：解：（1）作图如图；
（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，【来源：21·世纪·教育·网】
∴S==+π+π+2=π+2．
点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径．
21.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部队的面积．
考点：扇形面积的计算；垂径定理.
分析：（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
解答：解：（1）在△OCE中，∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，∴OE=OC=1，
∴CE=OC=.∵OA⊥CD，∴CE=DE，∴CD=；
（2）∵S△ABC=AB?OC=×4×=2，∴．
点评：本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．【来源：21cnj*y.co*m】
22.如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点?（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长等于________（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
专题：几何综合题；数形结合．
分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；
解答：解：过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE= AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB?cos∠B=2× = ，∴AB=；故答案为：；（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.21世纪教育网
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.
【答案】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴。
∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。
（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。
又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°。
∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
∴在Rt△ACB中，BC=AB 。
∵OD=AB，∴BC=OD。
【考点】圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角定理和外角性质，含300角直角三角形的性质。【出处：21教育名师】
【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC。
（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得∠AOD的度数；由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，从而根据含300角直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。