浙教版数学八年级下册 2.2一元二次方程的解法 复习教学设计

“一元二次方程的解法复习”教学设计
深度教学理论认为课堂教学的根本任务在于：“引导学生建构意义，任何理解都必须首先以前理解作为基础，前理解是理解的逻辑起点和现实源头”. 下面以“一元二次方程的解法复习”的教学设计为载体，尝试通过教师深入地理解一元二次方程四种解法的数学本质、挖掘解一元二次方程的数学思想，从而提升学生的数学运算能力、逻辑推理能力和数学抽象素养.
教学内容及其解析
地位与作用
方程的教学是初中数学的重要内容，而一元二次方程的教学位于初中方程知识教学的末端，学生已经经历了学习方程及方程根的概念，具备解一元一次方程和二元一次方程组的经验；同时也初步体会了方程作为刻画某些实际问题的模型所体现出来的优越性. 一元一次方程的学习是在实数和代数式的运算后，体现实数和代数式运算及其运算律在解方程时所展示的统一性，让学生感受算术和代数的本质区别，渗透算法思想，强化规则的重要性. 解二元一次方程组更多是让学生体验消元的思想（代入消元和回头消元），把一个多元的问题转化为已经学过的一元问题.
浙教版的一元二次方程解法主要介绍了开平方法、配方法、公式法和因式分解法，从四种解法的一致性看，开平方法由平方根的定义而来，配方法是把一元二次方程化为形如的形式，求根公式就是开方后整理所得. 对于方程和，都可以利用平方差公式进行因式分解：和，由此可见一元二次方程四种解法的数学本质是通过“分解”化二次方程为一次方程. 基于上述理解，一元二次方程解法的学习价值是降次思想的渗透和获得一般方程的公式解[endnoteRef:0]. [0: [1]王红权，李馨，从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计[J]. 数学教育学报，2019，28（3）:94-97]
本课时是一元二次方程解法的复习——用生成的原理和方法灵活选用适当方法解一元二次方程，引导学生经历完整的认知过程：尝试解特定的一元二次方程、研讨基本结论和用基本结论解一元二次方程、感知用四种解法解一元二次方程的原理、解具体一元二次方程后的反思与经验积淀.
思想方法
利用方程模型刻画数量关系并解决实际问题，运用的是方程思想；因式分解法、开平方法、配方法解一元二次方程，其本质是把一元二次方程进行降次，转化为两个一元一次方程来解，其中蕴涵了“降次”思想、化归思想；公式法涉及对b2-4ac开平方，必须对b2-4ac的符号进行分类讨论。此外解一元二次方程时还要用到换元、因式分解、配方等数学的基本方法.
基于以上分析，得出本课时的教学重点：根据方程的特点选用合适的方法解一元二次方程.
教学目标及其解析
课标中关于一元二次方程的解法的要求
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
课时教学目标
（1）经历解一元二次方程的过程，掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法求解方程；
（2）经历用生成的解法解有代表性的一元二次方法的认知过程，渗透降次思想，体验化归的思想方法.
一元二次方程解法逻辑结构
教学问题诊断分析
可能存在的问题（问题、障碍）
（1）“一元二次方程的解法”教学中普遍存在生成解法的认知过程短暂，生成解法及用四种解法解方程之后的反思过程缺失的问题.
（2）浙教版教材对“配方法解一元二次方程”内容安排了2个课时、4个例题（7个小题）、14道课内练习题、23道作业题。由于教材对配方法的强调，导致学生只会用配方法解一元二次方程，费时且容易出错.
（3）“公式法解一元二次方程”内容浙教版教材安排了1个课时、2个例题（4个小题）、10道课内练习题、18道作业题。其中推导求根公式和根的判别式占了相当大的比重，安排用公式法解一元二次方程的只有1个例题（3个小题）、1道课内练习题（3个小题）、1道作业题（4个小题）. 由于教材对公式法的弱化，导致不少学生认为公式法解一元二次方程计算繁琐，相当一部分学生不愿或不会用公式法解一元二次方程.
2.应对策略（过程、方法）
教师在把握数学学科本质的基础上，通过让学生意义建构中体验数学知识底部和本质，探查数学知识之间的关联的一种教学形态，其目标指向学生的数学素养.
（1）以有代表性的一元二次方程为载体，采用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放方法，让学生经历尝试解特定的一元二次方程、研讨基本结论和用基本结论解简单一元二次方程的认知过程，感知用四种解法解一元二次方程的原理.
（2）引导学生经历解方程基础上反思的认知过程，巩固解法，内化解一元二次方程的原理和感悟蕴涵的化归思想，以期提高学生技能、训练学生思维、培养学生素养，体现知识、技能、能力、态度的完美统一.
（3）教师引导学生在学习不同解法的基础上，用高观点统一认识一元二次方程解法蕴含的思想方法——降次. 配方法作为一种操作层面的技巧，目的是化二次方程为两个一次方程，“降次”才是解决问题的根本. 而公式法帮助学生建立了解决一元二次方程的一般模式（求根公式），获得一般方程的公式解为问题的进一步推广提供可能，是数学地思考问题的一种方法.
基于以上分析，得出本课时的教学难点：深度研究各种解法的本质联系，渗透解方程的降次思想和化归思想.
教学支持条件分析
教学过程中可用PPT、微课，以构建有利于学生线上学习的教学情境. （测评）可用常用统计软件统计显示测评结果；（补救）根据测评结果，对没有达标的部分内容的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源.
教学过程设计
（一）情境设计，问题引入
尝试用多种方法解方程：.
解法1：利用公式法求解；解法2：利用因式分解法求解.
归纳：我们知道，通过消元能将二元一次方程组转化为一元一次方程，把一个多元问题转化为一元问题；而通过降次能将一元二次方程转化为一元一次方程，把一个高次问题转化为一次问题.
设计意图：比较一元二次方程的两种解法，说明可以根据方程的特点采用合适的方法解一元二次方程，解决的思想方法是“降次”.
（二）思考辨析，理解原理
问题1. 选择适当的方法解下列方程：
；；；.
让学生经历解决问题的过程，归纳解有代表性的一元二次方程的策略：
对于型的一元二次方程一般可选择开平方法求解；
对于型的一元二次方程一般可选择因式分解法求解；
对于型的一元二次方程一般可选择配方法求解；
能采用多种方法解一元二次方程时，优先考虑因式分解法求解.
问题2：一元二次方程的四种解法的内在联系是什么？
引导学生研讨解一元二次方程的认知过程：开平方法由平方根定义而来；作为开平方法的进一步，配方法是一种操作层面的技巧；利用配方导出求根公式，获得一般方程的公式解（公式法）；而因式分解法的目的是化二次方程为两个一次方程；由此可见，“降次”才是解决问题的根本.
教师提炼：四种解法都体现了“分解降次”的思想，其中公式法构建了解一元二次方程的一般模式.
设计意图：采用教师引导与学生自主建构相结合的适度开放方法，让学生经历研讨基本结论和用基本结论解简单一元二次方程的认知过程，感知用四种解法解一元二次方程的原理.
目标检测1. 选择适当的方法解下列方程：
；；；.
设计意图：能根据方程的特点选择合适的方法：第（1）题选用因式分解法，第（2）题选用因式分解法或公式法，第（3）题选用配方法或公式法，第（4）题选用因式分解法或开平方法.
（三）综合运用，深化理解
问题3. 解方程.
引导学生运用转化的思想，把2x-3看成一个整体，利用换元法设y=2x-3，得到关于y的一元二次方程：，解得y的值后代入y=2x-3，进而求出x的值.
设计意图：经历用生成的解法解有代表性的一元二次方法的认知过程，渗透降次、化归的思想.
目标检测2. 阅读材料：为解方程，我们将看作一个整体， 设= y ，那么原方程可化为，解得 . 当时，，；当时，，；故原方程的解为.
请你仿照上述方法解方程：
；
.
设计意图：从数学知识学习的角度看，经过深度加工的学习内容上具有挑战性的，是触及知识底部和本质的。该目标检测通过阅读材料的设置，门槛低、立意高、重思维，“以法通类，以类相从”，利用降次和化归的思想解一元高次方程.
（四）课堂小结
1. 本节课是从什么视角来研究的？
2. 本节课研究中，用到了哪些数学方法和策略？
3. 解一元二次方程的基本思想是什么？如何选用合适的方法解一元二次方程？
设计意图：学生作为教学活动过程中的实践者、参与者，课堂小结时要让学生主动寻求自我与知识之间意义联系，明确研究内容、理清研究思路、获得研究方法，并不断地通过认知过程和情意过程，追求和创造学习内容、学习过程对自我生长的意义，从而提高学生的数学核心素养.
布置作业（略）.
目标检测设计
解方程.
检测目标：对应教学重点（教学目标1），掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法求解方程.
若，求的值.
检测目标：对应教学目标2，经历用生成的解法解有代表性的一元二次方法的认知过程，渗透降次思想，体验化归的思想方法.
3. 阅读材料：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程求解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；求解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.
（1）用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和可得方程的解是， ， ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解.
检测目标：对应教学难点，深度研究各类方程解法的本质联系，体验把一元高次方程降次为一元一次方程、把根式方程两边平方转化为整式方程的化归思想.