(共22张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
1.2 二次函数的图像(3)
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
形状
位置
左加右减
上正下负
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，
2.对称轴是 ；
3.顶点坐标是 。
向上
向下
(h,k)
直线X=h
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 对称轴 顶点坐标
y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6
向上
( 1 , -2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , -6 )
向上
直线x=-3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
( -3, 5 )
如何简洁的画出 的图象呢
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二次函数 也能化成这样的形式吗
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象
函数y=ax +bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
老师提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
例.求次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax +bx+c的图象
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
想一想
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上并减去一次项系数一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
老师提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
归纳
二次函数一般式的配方法：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式。
解:
所以,顶点坐标是(-3,2),对称轴是x= -3．
解：
解：
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）
例3、求抛物线
的对称轴和顶点坐标。
y=-0.5（x-3）2+2
还有其他方法么？
求下列函数图象的对称轴和顶点坐标
做一做
1.二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x
的值是 .
2.已知抛物线y=3x2-mx-2的对称轴是x=1,
则m= .
3.已知抛物线经过原点和第二、三、四
象限,则y=ax2+bx+c中,a ,b c .
4.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是(-1,-2),
则b= c= .
5.已知点A(2,5),点B(4,5)是抛物线
y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称
轴是直线 .
x=-1
6
＜0
＜0
=0
4
0
X=3
6.已知 .
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称
轴,最值;
(2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标;
(3)作出函数的草图;
(4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大;
x为何值时,y随x的增大而减小;
(5)观察图象:当x何值时,y＞0;当x何值时,
y=0;当x何值时,y＜0.
范例
例2、如图，二次函数 的
图象如图所示，则( )
A. a>0，b>0，c>0
B. a>0，b<0，c>0
C. a<0，b>0，c>0
D. a<0，b<0，c>0
x
y
o
巩固
1.如图，若a<0，b>0，c>0，则二次
函数 的图象大致是( )
x
y
o
A
B
C
D
x
y
o
x
y
o
x
o
巩固
2.若函数 的顶点坐标
是(1，-2)，则b= ，c= 。
3.已知二次函数 的图
象如图所示，则一次函数
的图象不经过第 象限。
x
y
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1.2 二次函数的图像(3) （巩固练习）
姓名 班级
1、用配方法将y=﹣2x2+4x+6化成y=a（x+h）2+k的形式，求a+h+k之值为何？（ ）
A、5 B、7 C、﹣1 D、﹣2
2、已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4、抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ）
A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
6、已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（ ）
A、4或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6或﹣20
7、求抛物线的对称轴、顶点坐标.
8、求抛物线y=x2－2x+2的顶点坐标，并说明它是由什么函数向什么方向平移得到？
9、已知抛物线与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)，且顶点C到x轴的距离为3，求抛物线的解析式.
10、已知抛物线经过(0，－3)点，对称轴为直线x=1，图象与x轴两交点的距离是4.
参考答案
2、已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵，
∴它的对称轴为。
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴。故选D。
4、抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ）
A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．
解答：解：∵y=-6x2+5的顶点坐标为（0，5），
而抛物线y=-6x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线y=-6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=-6x2．
故选B．
点评：本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．
第二部分
点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图象．
考点待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象
分析（1）将A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）代入函数解析式，利用待定系数法求该函数的解析式即可；
（2）根据二次函数的解析式作图．
解答解：（1）根据题意，得，
解得，，
∴所求的解析式是y=﹣x2+2x+2；
（2）二次函数的图象如图所示：
点评本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征这一知识点．
7、求抛物线的对称轴、顶点坐标.
【解】方法一：=(x2+6x)+ =[(x+3)2－9]+= (x+3)2+8，
∴抛物线的对称轴是直线x=－3，顶点坐标是(－3，8).
方法二：∵a=，b=－3，c=，
∴，.
∴抛物线的对称轴是直线x=－3，顶点坐标是(－3，8).
8、求抛物线y=x2－2x+2的顶点坐标，并说明它是由什么函数向什么方向平移得到？
【解】∵，，
∴顶点坐标为(2，0)，
y=(x－2)2，由抛物线y=x2向右平移2个单位得到.
9、已知抛物线与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)，且顶点C到x轴的距离为3，求抛物线的解析式.
【分析】由顶点C到x轴的距离为3，知C点的纵坐标为±3；根据抛物线的对称性，其对称轴与x轴的交点为AB的中点，即对称轴为直线x=1，∴可知顶点C的坐标，显然用顶点可求得抛物线的解析式.
【解】∵A(－2，0)，B(4，0)关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为直线x=1.
∵顶点C到x轴的距离为3，∴C点的纵坐标为±3，即顶点C(1，±3).
设抛物线解析式为y=a(x－1)2+3或y=a(x－1)2－3，
把A或B点坐标代入，得a=或，
∴抛物线解析式为y=(x－1)2+3或y=(x－1)2－3.
10、已知抛物线经过(0，－3)点，对称轴为直线x=1，图象与x轴两交点的距离是4.
【分析】本题的关键是图象与x轴两交点的距离是4的处理，由于已知对称轴为直线x=1，因此可利用抛物线的对称性，求得图象与x轴的两个交点坐标为(－1，0)和(3，0)，于是可用待定理系数法求得解析式.
【解】∵抛物线的对称轴为直线x=1，且图象与x轴两交点的距离是4
∴图象与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0).
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则
，解得.
∴抛物线解析式为y=x2－2x－3.
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