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1.2 定义与命题（2） （巩固练习）
姓名 班级
1、一个农妇要过河，随身携带一只小白兔、一篮萝卜和一只饥饿又爱追兔子的狗．她发现系在河边的小船一次只能载她本人和兔子、狗、萝卜其中之一过河，她不能让狗和兔子呆在一起（狗会吓坏可怜的小兔），也不能让小兔和萝卜留在一起（兔子会把萝卜全吃掉），怎么办？请你帮农妇想办法：她怎样来回渡河才能把三样东西安全带到对岸？
2、 A，B，C，D，E五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．21教育网
A说：“如果我得优，那么B也得优”；
B说：“如果我得优，那么C也得优”；
C说：“如果我得优，那么D也得优”；
D说：“如果我得优，那么E也得优”．
成绩揭晓后，发现他们都没有说错，但只有三个人得优.请问：得优的是那三位同学？
3、把下列命题改成“如果……那么……”的形式，并指出命题中的条件和结论．
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）相似三角形对应边成比例．
4、指出下列命题的条件和结论．
（1）如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC=90°；
（2）两直线平行同位角相等；
（3）在同一平面内，两条直线不平行，它们一定相交．
5、命题“对顶角相等”是( )
A．角的定义 B．假命题 C．公理 D．定理
6、指出下列命题的题设和结论：
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；
(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
(3)同一个角的补角相等.
7、判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.
(1)若a2＞b2，则a＞b.
(2)同位角相等，两直线平行.
(3)一个角的余角小于这个角.
8、用语言叙述这个命题：如图AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM．21cnjy.com
9、如图，下面四个条件：（1），（2），（3），（4），请你写出满足两个作为已知条件，第三个为结论的命题，并判断其真假？
参考答案
1、解：先把兔子带到对岸，放下兔子自己返回；再把萝卜（狗）带到对岸，放下萝卜（狗），再带上兔子返回；放下兔子，再带上狗（萝卜）到对岸，放下狗（萝卜），独自返回；最后再带上兔子到对岸.21世纪教育网版权所有
2、解：如果A得优，可推出B、C、D、E均得优，这与“只有三人得优”相矛盾，从而A不可能得优；如果B得优，可推出C、D、E也得优，这与“只有三人得优”相矛盾，从而B也不可能得优；因此，可以断定C、D、E三人得优．21·cn·jy·com
3、解：（1）如果同位角相等，那么两条直线平行．
其中“同位角相等”是条件，“两直线平行”是结论．
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
其中条件是“对顶角”，结论是“相等”．
（3）如果两个三角形相似，那么对应边成比例．
其中“两个三角形相似”是条件，“对应边成比例”是结论．
4、解：（1）条件是“AB⊥CD，垂足为O”，结论是“∠AOC=90°”．
（2）条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
（3）条件是“在同一平面内，两条直线不平行”，结论是“它们一定相交”．
D 6、只要答案符合题意
7、（1）假命题（2）真命题（3）假命题
8、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.17.解；例如已知求证：是真命题.（只要答案合理即可）
9、先把羊带过河，再把狼带过河，然后把羊带回去，把青草带过河，最后再回去把羊带过河.
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新浙教版数学八年级（上）
1.2 定义与命题（2）
观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？
如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。
如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形。
如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形。
命题的结构特征：
上述命题都是“如果……那么……”的形式。
“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论。
一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，每个命题都有条件和结论。
指出下列命题的条件和结论，并判断哪些是正确的命题，哪些不是正确的命题。
如果两个角相等，那么它们是对顶角；
如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
两角和其中一角的对边对应相等的两个
三角形全等；
菱形的四条边都相等；
全等三角形的面积相等。
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
判断下列命题是正确的还是错误的
(1)两个锐角的和是钝角;
(2)点P到A、B两点的距离相等,则点P是
线段AB的中点;
(3)不相等的角不是对顶角;
(4)若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,则∠1 =∠3.
错
错
对
对
正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.
要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
这几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两
个三角形全等；
（4）菱形的四条边都相等；
（5）全等三角形的面积相等。
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
能不能根据已经知道的真命题证实呢
那已经知道的真命题又是如何证实的 .
哦……那可怎么办
读一读
在数学发展史上，数学家们也遇到过类
似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了
大量知识，在此基础上，古希腊数学家
欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，
书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在 编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面。《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。
公理、定理、概念和证明的关系
有关概念、公理
条件1
条件2
定理1
有关概念、公理
定理2
……
定理3
……
例举公理
等式的有关性质和不等式的有关性质也作为公理
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
例1、判断下列命题的真假，并说明理由
（1）三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
（1）是真命题
如图所示，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD，CF⊥AD
∵△ABD和△ACD的面积相等
等底等高
（为什么呢？）
而△ABD的面积为 AD·BE，△ACD的面积为 AD·CF
A
C
B
D
F
E
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
∴ AD·BE= AD·CF
∴BE=CF，所以这个命题是真命题
如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，但是四边形ABCD不是平行四边形，所以这个命题是假命题
此命题为假命题
A
B
C
D
（3） =a（a为实数）
此命题为假命题
取a=-2，则 =
也就是 ，
所以这个命题是假命题
公理：在长期实践中被公认为正确的命题叫做公理。
定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
所有的命题都是公理。
所有的真命题都是定理 。
所有的定理是真命题 。
所有的公理是真命题 。
√
×
×
√
辨一辨:
巩固练习
1. 下列句子中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）如果3x-15>6-2x,那么x<4
（2）各角对应相等的两个多边形是相似多边形;
（3）如果a≠0,b≠0,那么ab≠0
(4)一个角的补角一定大于这个角.
（×）
（√）
（×）
（×）
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语
句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
3、下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的
是（ ）， 是定义的是（ ），
A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等
C、全等三角形的对应边相等，对应角相等
D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
B
D
C
B
D
A、C、E
对顶角相等
∵∠1＋∠3＝180°
∠2＋∠3＝180°
∴∠1＝∠2
1
3
2
a
b
1.下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等
条件：两个三角形的两边及其夹角对应相等
结论：这两个三角形全等
（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
条件：一个三角形中有两个角相等
结论：这个三角形是等腰三角形
（3）直角三角形的两个锐角互余。
条件：两个角是一个直角三角形的锐角
结论：这两个角互余。
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
条件：一个四边形的两条对角线互相平分
结论：这个四边形是平行四边形
2.下列命题中哪些是假命题？为什么？
（1）如果 那么x<4
（2）各边对应成比例的两个多边形一定相似。
是假命题。如：两个菱形的各边对应成比例，但它们不一定相似
所以这个命题是假命题
（3）如果a≠0,b≠0,那么a +ab+b =(a+b)
是假命题。如：a=1,b=1时a +ab+b =3， (a+b) =4，这时
a +ab+b ≠ (a+b) ，所以这个命题是假命题
（4）两个锐之和一定是钝角
是假命题，如一个锐角为30°，另一个锐角为40°，则两角之和等于70°为锐角，所以这个命题是假命题
是假命题。因为 当 时 x>4.25 所以这个命题是假命题
3.A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩：
A说：“如果我得优，那么B也得优。”
B说：“如果我得优，那么C也得优。”
C说：“如果我得优，那么D也得优。”
D说：“如果我得优，那么E也得优。”
大家都没有说错，但只有三个人得优。请问：得
优的是哪三个人？
C、D、E三个人得优。
