(共34张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
1.3 二次函数的性质
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac =0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
△＞0
△=0
△＜0
O
X
Y
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
举例:
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）
x1，0
x2，0
x
O
A
B
x1
x2
y
回顾旧知、探索新知
观察函数y= x+1,y= -x+1 的图象，
函数有最大（小）值吗？y随自变量x
的增大怎样变化？
函数有最大（小）值吗？
y随自变量x的增大怎样变化？
一次函数的性质
y=kx+b(k≠0)
k>0时，y随自变量x的增大 而增大； 左低右高。
k<0时，y随自变量x的增大而减小,左高右低
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
让我们一起观察二次函数 y= x2的图像
由特殊到一般,再由一般到特殊
回顾旧知、探索新知
二次函数:
y=ax2 +bx + c (a 0)
二次函数的图象:一条抛物线
抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定.
当a的绝对值相等时,其形状
完全相同,当a的绝对值越大,
则开口越小,反之成立.
0
y=0.5x2
y= - x2
y= - 0.5x2
a
根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y最大值是____.
当x____0时,y<0
(0,0)
直线x=0
Y轴右
Y轴左
0
0
0
y= -2x2
<
>
y
x
根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= 2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y最小值是____.
当x____0时,y>0
(0,0)
直线x=0
Y轴右
Y轴左
0
0
<
>
0
y= 2x2
y
x
试一试：
y=ax2+bx+c（a>0）
当x= 时，
若 x< ,则y随x的增大而减小
（反向变化）；左高右低。
若 x≥ ,则 y随x的增大而增大
（同向变化）；左低右高。
由二次函数y= x2的图像可知
由二次函数y= -x2的图像可知
试一试：
y=ax2+bx+c（a<0）
若x≥ ,则y随x的增大而减小
（反向变化）；左高右低 。
当 时,
若 x< ,则y随x的增大而增大
（同向变化）；左低右高。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)
① a>0
② a<0
我们一起得到：
当 时,
左低右高, y随x的增大而增大;
左高右低, y随x的增大而减小.
掌握新知
何时取得最大值？
y随的变化怎样变化？
解：∵a= ,b=1,c=
∴对称轴x=
顶点坐标（1，3）
∵a=<0, ∴开口向下，
∴当x= 1时，函数有最大值3；
当x>1时，y值随x的增大而减小；
当x≥1时，y随x的增大而增大。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大.
,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
(1)写出抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴，最值；
(2)求抛物线与 y 轴、x 轴的交点坐标；
(3)作出函数的草图；
(4)观察图象，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小；当 x
为何值时，y 随 x 的增大而增大；
(5)观察图象，当 x 为何值时，y>0；当 x 何值时，y＝0；当
x 为何值时，y<0.
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(－2，－1)，
对称轴是 x＝－2.
∴当 x＝－2 时，y最小值＝－1.
(2)令 x＝0，则 y＝1.∴抛物线与 y 轴交于点(0,1)．
(3)草图如图所示
(4)由图象可知：当 x≤－2 时，y 随 x 增大而减小；
当 x≥－2 时，y 随 x 增大而增大．
反思总结
开口方向
对称轴
顶点坐标
图象的变化趋势
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)
性质的决定因素
已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。
(-15,0)
(1,0)
(0,7.5)
(-7,32)
(-14,7.5)
.
0
x
y
x
o
y
x
y
o
(0,c)
(0,c)
.
.
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
.
.
1.二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x
的值是 .
2.已知抛物线y=3x2-mx-2的对称轴是x=1,
则m= .
3.已知抛物线经过原点和第二、三、四
象限,则y=ax2+bx+c中,a ,b c .
4.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是(-1,-2),
则b= c= .
5.已知点A(2,5),点B(4,5)是抛物线
y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称
轴是直线 .
x=-1
6
＜0
＜0
=0
4
0
X=3
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
D
x
-1
1
0
y
-2
3、练习、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1）、当x=1 时，
2）、当x=-1时，
3）、当x=2时，
4）、当x=-2时，
y=
y=
y=
y=
6）、2a+b 0.
x
y
o
1
-1
2
＞０
＜０
＞０
＜０
＞
5）、b -4ac 0.
＞
a+b+c
a-b+c
4a+2b+c
4a-2b+c
4、（宁波中考）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）
A．abc＜0
B．2a+b＜0
C．a﹣b+c＜0
D．4ac﹣b2＜0登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.3 二次函数的性质 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分（难度有层次性，对于班级上中下同学都能照顾到！）
1. 二次函数的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是……（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线y=3(x－1)+1的顶点坐标是…………………………………………………（ ）
A.（1，1） B.（－1，1） C.（－1，－1） D.（1，－1）
3. 二次函数的最小值是……………………………………………（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
4.已知二次函数的最大值为0，则…………（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分
1. 二次函数y=x2－2x+2的顶点坐标是 ，对称轴是 .
2. 二次函数的最 值是 .
3. 函数y=x2－4x－5与x轴的交点坐标是_______________，与y轴的交点坐标是 .
4. 抛物线y=(x+2)2－1的图象开口向 ，当x 时，y随x的增大而增大.
5、对于二次函数y=－2x2+8x－8，通过配方变形.
(1) 说出的图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值 这个值是多少
(2) 求出此抛物线与x，y轴的交点坐标;
(3) 结合图象回答：当x为何值时，y随着x的增大而减小.
6、下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 －1 3 …
(1) 请在表内的空格中填入适当的数；
(2) 设y=x2+bx+c，画出函数的大致图象，并根据图象回答：当取何值时，y＞0？
(3) 请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象.
第三部分
1、已知二次函数有最大值，且，则二次函数的顶点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、下列图形中阴影部分的面积相等的是………………………………（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
3、小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2－4x+5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是………………（ ）
A. 小明认为只有当x=2时，x2－4x+5的值为1
B. 小亮认为找不到实数x，使x2－4x+5的值为0
C. 小梅发现x2－4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
D. 小花发现当x取大于2的实数时，x2－4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值.
参考答案
第一部分
1. 答案：D
2. 答案：A
3. 答案：A
4.答案：D
5. 答案：D
第二部分
1. 答案：(1，1) 直线x=1
2. 答案：三
3.答案：(－1，0)，(5，0) (0，－5)
4. 答案：上 ≥－2
5、(1) ∵a=－2<0，b=8，c=－8，∴=2，=0.
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点(2，0)，函数最大值为0.
(2) 当y=0时，－2x2+8x－8=0，解得x=0，即抛物线与x轴的交点坐标是(2，0)；
当x=0时，y=－8，即抛物线与y轴的交点坐标是(0，－8).
(3) ∵a<0，∴当x≥2时，y随着x的增大而减小.
6、(1) ∵把(0，3)和(2，－1)分别代入代数式x2+bx+c，得
，解得，即代数式为x2－4x+3.
∴把x=1，3分别代入，得代数式为x2－4x+3的值均为0.
(2) y=x2－4x+3=(x－2)2－1，∴顶点(2，－1)，对称轴为直线x=2.
又抛物线与x轴交点坐标是(1，0)和(3，0)，与y轴的交点
坐标是(0，3).
函数的大致图象如图.
由图象得，当x<1或x>3时y>0.
(3) 把抛物线y=x2的图象向右平移2个单位，再向下平移
1个单位可得y=x2－4x+3的图象.
第三部分
1、解析：∵抛物线有最大值，∴a<0，∴=>0，=<0.
答案：D
2、解析：①中直线与2与轴交点为(2，0)，(0，2)，∴S阴影=×2×2=2；②中x=1时，y=3，∴S阴影=×1×3=；③中抛物线与坐标轴的交点坐标为(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，∴S阴影=×2×1=1；④中S阴影=|xy|=2.
答案：D
3、答案：C
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