浙教版数学八年级上册单元训练卷（1） 三角形的初步知识（一）(考查知识点+答案详解+名师点评）

浙教版数学八年级上册单元训练卷（1）
三角形的初步知识（一）
班级 姓名
一、选择题(每题3分，共30分)
1.若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（　　）
A、2cm B、3cm C、7cm D、16cm
2.△ABC的内角和为（　　）
A、180° B、360° C、540° D、720°
3.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　）
A、3，8，4 B、4，9，6 C、15，20，8 D、9，15，8
5. 若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（　　）
A、36 B、72 C、108 D、144
6. 如图，G为△ABC的重心，其中∠C=90°，D在AB上，GD⊥AB．若AB=29，AC=20，BC=21，则GD的长度为何？（　　）
A、7 B、14 C、 D、
7.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（　　）
A、1，3，5 B、1，2，3 C、2，3，4 D、3，4，5
8.如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
9.如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
（1）作∠A的角平分线交BC于D点．
（2）作AD的中垂线交AC于E点．
（3）连接DE．
根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（　　）
A、DE⊥AC B、DE∥AB C、CD=DE D、CD=BD
10.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
二、填空题(每题4分，共24分)
1. 如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E ，若， 则 ．
2. 若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于　 　．
3.如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A=
54°．
4、如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有　 　对全等三角形．
5.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件： ，使得AC=DF．
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝　 　度．
三、解答题(17题6分，18题8分，23题12分，其余每题10分，共66分)
17.四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d=1：2：3：4（1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
18.求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知：
求证：
证明：
19.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．21世纪教育网版权所有
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：2·1·c·n·j·y
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
20.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．21·cn·jy·com
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：　 　．
21.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．【版权所有：21教育】
22.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．21教育网
23.如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌ECB；（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．
参考答案
一、选择题(每题3分，共30分)
1.
考点：三角形三边关系。
专题：应用题。
分析：已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．【出处：21教育名师】
解答：解：设第三边长为xcm．
由三角形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，
解得3＜x＜15．
故选C．
点评：本题考查了三角形三边关系定理的应用．关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．
2.
考点：三角形内角和定理．
分析：根据三角形的内角和定理直接得出答案．
解答：解：三角形的内角和定理直接得出：△ABC的内角和为180°．故选A．
点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，此题比较简单注意正确记忆三角形内角和定理．
3.
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积。
分析：由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
解答：解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选C．
点评：本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形内部，一条高在内部．21·世纪*教育网
4. 考点：三角形三边关系。专题：计算题。
分析：根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
解答：解：A，∵3+4＜8∴不能构成三角形；B，∵4+6＞9∴能构成三角形；C，
∵8+15＞20∴能构成三角形；D，∵8+9＞15∴能构成三角形．故选A．
点评：此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5. 考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角。
专题：计算题。
分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．
解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，
∵2（∠A+∠C）=3∠B，
∴∠B=72°，
∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，
故选C．
点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．
6. 考点：三角形的重心。
专题：计算题。
分析：连接AG、BG，根据重心的性质可知，S△ABG=S△ABC，再根据三角形面积的表示方法，列方程求解．
解答：解：连接AG、BG，
∵G为重心，∴S△ABG=S△ABC，即×AB×GD=××BC×AC，
×29×GD=××21×20，29×GD=7×20，解得GD=．
故选C．
点评：本题考查了三角形重心的性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点，根据中线平分面积，重心将中线分为1：2两部分求解．【来源：21·世纪·教育·网】
7.考点：三角形三边关系。
分析：首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．
解答：解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
∵x为整数，
∴x=2，3，4，
故选：C．
点评：此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
8.考点：三角形的面积．
分析：本题需先分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE即可求出结果．
解答：解：∵S△ABC=12，BC=2BE，点D是AC的中点，∴S△ABE= 13×12=4，S△ABD= 12×12=6，∴S△ABD-S△ABE，=S△ADF-S△BEF，=6-4，=2．故选B．
点评：本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．
9.考点：作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质。
专题：作图题；综合题。
分析：根据作法作图，及角平分线与中垂线的性质作答．
解答：解：依据题意画出右图
可得知∠1=∠2，AE=DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，即DE∥AB．
故选B．
点评：考查了复杂作图及角平分线与中垂线的性质，由等量代换得出内错角相等是解题的关键．
10.考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：解：∵AD=AD，A.当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；B.当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；C.当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；D.当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．故选D．
点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．
二、填空题(每题4分，共24分)
1. 考点：平行线的性质。
分析：由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°﹣∠1=180°﹣64°=116°，
∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE=∠BAC=58°，
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°．
故答案为：122°．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
2. 考点：直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：直角三角形．两个锐角互为余角，故一个锐角是20°，则它的另一个锐角的大小是90°﹣20°=70°．
解答：解：∵一个直角三角形的一个锐角是20°，
∴它的另一个锐角的大小为90°﹣20°=70°．
故答案为：70°．
点评：此题考查的是直角三角形的性质，两锐角互余．
3.考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：几何图形问题；数形结合．
分析：由∠ACB=90°，∠ECD=36°，求得∠ACE的度数，又由CE∥AB，即可求得∠A的度数．21*cnjy*com
解答：解：∵∠ECD=36°，∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°，∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE=54°．故答案为：54°．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4、考点：全等三角形的判定。
分析：根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
解答：解：①△AEB≌△ADC；
∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，
∴△AEC≌△ADC；
∴AB=AC，
∴BD=CE；
②△BED≌△CDE；
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，
∴△BED≌△CDE．
③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE．
故答案为3．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目
5.【考点】全等三角形的判定与性质。
【专题】开放型。
【分析】要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF，从而添加AB=DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加：AC=DF
∵AB∥DE，BF=CE，
∴∠B=∠E，BC=EF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC=DF．
故答案为：AC=DF．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的综合运用能力．
6.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠BCD根据三角形的外角性质即可求出答案．21cnjy.com
解答：解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°－∠A）＝70°，
∴∠BCD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°，
故答案为：110．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．
三、解答题(17题6分，18题8分，23题12分，其余每题10分，共66分)
17.四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d=1：2：3：4（1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
考点：列表法与树状图法；三角形三边关系；作图—复杂作图．
专题：计算题；作图题．
分析：（1）选b，c，d三边利用“边边边”作三角形即可；（2）列举出所有情况，看以它们为边能作出三角形的情况数占总情况数的多少即可．
解答：解：（1）
，只能选b，c，d三边画三角形；（2）
共有24种情况，能组成三角形的有6种情况，所求概率为．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到能作出三角形的情况数是解决本题的关键．www.21-cn-jy.com
18.求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知：
求证：
证明：
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出△POE≌△POF即可．
答案：21．（本题满分8分）
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F 21教育名师原创作品
求证：PE=PF
证明：∵OC是∠AOB的平分线
∴∠POE=∠POF
∵PE⊥OA，PF⊥OB
∴∠PEO=∠PFO
又∵OP=OP
∴△POE≌△POF
∴PE=PF
点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边．
19.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．　　21*cnjy*com
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质。
分析：（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．
解答：解：（1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为△ABC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+DE=AC+CD．
（2）猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD．
∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB．
又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
20.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．2-1-c-n-j-y
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：　∠BOC=90°﹣∠A　．
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理。
专题：常规题型。
分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣∠A．
点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
21.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质。
专题：计算题。
分析：根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
解答：解：∵DE垂直平分AB，
∴∠DAE=∠B，
∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE=（90°﹣∠B）=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．
点评：此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单，适合学生的训练．
22.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定
分析：根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．
解答：证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
又∵AB=DE，∠A=∠D，
∴△ACB≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF．
点评：本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．
23.如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌ECB；（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．www-2-1-cnjy-com
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌ECB．（2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB，
在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB；（2）∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠DCB=90°-∠EDC=25°．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．