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浙教版九年级上册
第一章 二次函数 章末复习
----面积问题
齐声朗读
1.函数图象的概念：
把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作
为点的横坐标和纵坐标 , 在直角坐标系内描出它的对应点 , 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.函数图象的概念包含两个方面的内容：
（1）满足函数解析式的任意一对x、y的值描出的点一定在这个函数的图象上。
（2）在函数图象上的点（x，y）中的x、y一定满足函数的解析式。
干什么用的？
代入列方程
夯实基础，稳扎稳打
解：由题意得
x2=3x+4, x2-3x-4=0, x1=4, x2=-1
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
3.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
x
0
y
A
B
C
4.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为yP，
∴ ×4|yP|＝4，∴|yP|＝2，即yP＝2或－2.
当yP＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当yP＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
.
.
.
.
.
.
6．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
解：∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，
将C(0，4)的坐标代入y＝a(x＋1)(x－2)，
整理得4＝－2a，解得a＝－2，
∴该抛物线所对应的函数表达式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
解：如图，连结OP，设点P的坐标为(m，－2m2＋2m＋4)，
且m＞0，∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴OA＝1，OC＝4，OB＝2，
谢谢
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夯实基础，稳扎稳打
1 如图，一次函数的图象经过，两点，与轴交于点，的面积．
2．已知，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（m，4），B（﹣4，n）．（1）求一次函数解析式，并画出一次函数图象（不要求列表）；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积；
3．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；（2）△ABC的面积．
连续递推，豁然开朗
4. 如图，直线＝与两坐标轴分别交于点、．直线＝与轴交于点，与直线＝交于点．的面积为． （1）求的值； （2）点在轴上，如果的面积为，点的坐标．
5．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，求k的值．
6．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，求S2022的值．
思维拓展，更上一层
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连结PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；
8．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
面积专项训练
1.解：∵ 一次函数的图象经过，两点，
∴ 解得故此一次函数的解析式为：；
令，则，∴ ，∴ ，
∴ ．
2．解：（1）把A（m，4），B（﹣4，n）代入得：m＝1，n＝﹣1，
把A（m，4），B（﹣4，n）分别代入y1＝ax+b（a≠0）得：，
解得：，∴一次函数解析式为y＝x+3，
一次函数图象如图所示：
（2）如图：
在一次函数y＝x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），
∴；
3．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6．
4.解：（1）当＝时，＝＝，则，当＝时，＝＝，则，
设点的坐标为，∵ 的面积为，∴ ，解得＝，
∴ ，把代入＝得＝，∴ ＝；
（2）当＝时，1＝，解得＝1，则，设，
∵ 的面积为，∴ ＝，解得＝3或5，
∴ 点坐标为或．
5．解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴OA OB＝1，
∴OA＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
6．解：设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，
则P1（m，），P2（2m，），P3（3m，），P4（4m，），P5（5m，），
∴P1A1＝，P2A2＝，P3A3＝，P4A4＝，P5A5＝，
∴S1＝＝1，＝，，
，，
由此可得，
7．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入，
∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）过P作PE∥y轴交直线BC于点E，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝x﹣2，
设P（t，t2﹣t﹣2），则E（t，t﹣2），∴PE＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝3（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t，
∵S平行四边形CPBD＝2S△PBC＝﹣2t2+6t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，四边形CPBD面积最大值为．
8.解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1） （x+3）＝﹣x2﹣x+4；
解：（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝ （﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；
（3）解：设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
