(共22张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
1.4 二次函数的应用 （1）
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？
2、如何求二次函数的最值？
配方法
公式法
求下列二次函数的最大值或最小值：
y=－x2＋4x
y =-(x2-4x)= =-(x2-4x+22-22)=－(x－2)2＋4
所以：当x=2时，y 达到最大值为4.
解：因为 －1＜0，则图像开口向下，y有最大值
当x= 时，
y达到最大值为
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
N
40m
30m
A
B
C
D
┐
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40m
30m
xm
bm
(1).如果设矩形的一边AD=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40m
30m
bm
xm
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40m
30m
xm
bm
H
G
┛
┛
1.理解问题;
“二次函数应用” 的思路
本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
1、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm的墙问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设窗框的一边长为x米，
x
又令该窗框的透光面积为y米，那么：
y= x
即：y=－0.5x2＋4x
则另一边的长为 米，
合作探究
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
合作探究
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
一起来研究何时窗户通过的光线最多？
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长。
x
2－x
解：设其中的一条直角边长为x，则另一条直角边长为（2－x），, 又设斜边长为y，
所以：当x＝1时，(属于0斜边长有最小值y= ,
此时两条直角边的长均为1
其中0(0拿出纸和笔试一试
下面我们一起分小组试一试
看下哪个小组最快解出答案，并在黑板上写出来？
1、有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）．
（1）当x=0时，S=_____________；
当x = 10时，S =______________；
（2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式；
（3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式；
（4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．
图14—1
(D)
E
F
C
B
A
x
F
E
G
A
B
C
D
图14—2
A
B
C
备选图一
A
B
C
备选图二
2.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2
（2）设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围；
t为何值时S最小？求出S的最小值。
Q
P
C
B
A
D
1.如图1，规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得AF=30cm，CE＝45 cm。现准备从五边形地砖ABCEF上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN。
（1）设BN=x，BM=y，请用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围；
（2）请用含x的代数式表示S，并在给定的直角坐标系内画出该函数的示意图；
（3）利用函数图象回2答：当x取何值时，S有最大值？最大值是多少？
图1
A
B
C
D
P
E
F
M
N
收获：
学了今天的内容，你最深的感受是什么？
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
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1.4 二次函数的应用（1） （巩固练习）
姓名 班级
1.4二次函数的应用(1)
第一部分
1. 对于二次函数y=－5x2+8x－1，下列说法中正确的是…………………………………（ ）
A. 有最小值2.2 B. 有最大值2.2 C. 有最小值－2.2 D. 有最大值－2.2
2. 小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是……（ ）
A. 4cm2 B. 8cm2 C. 16cm2 D. 32cm2
3. 在半径为4cm的圆面上，从中挖去一个半径为x的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y，则y关于x的函数关系为………………………………………………………………（ ）
A. y=x2－4 B. y=(2－x)2 C. y=－(x2+4) D. y=－x2+16
4. 已知二次函数y=(x－1)2+(x－3)2 ，当x＝ 时，函数达到最小值.
5. 已知二次函数y=－x2+mx+2的最大值为，则m= ．
第二部分
6、如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？21教育网
7、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点
M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移
动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动.
若M, N分别从A， B点同时出发，设移动时间为t (06)，△DMN的面积为S.
(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.
第三部分
8、如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择 窗子的长、宽各为______________米.21·cn·jy·com
9、某桥梁的两条钢缆具有相同抛物线的形状，两条抛物线关于y轴对称，其中一条抛物线的关系式是.
(1) 求另一条钢缆的函数关系式；
(2) 求出两条钢缆的最低点之间的距离.
10、如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且满足AE∶BF∶CG∶DH=1∶2∶3∶4. 问当AE长为多少时，四边形EFGH的面积最小 并求出这个最小值.21世纪教育网版权所有
参考答案
第一部分
1. 对于二次函数y=－5x2+8x－1，下列说法中正确的是…………………………………（ ）
A. 有最小值2.2 B. 有最大值2.2 C. 有最小值－2.2 D. 有最大值－2.2
答案：D
2. 小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是……（ ）
A. 4cm2 B. 8cm2 C. 16cm2 D. 32cm2
答案：4
3. 在半径为4cm的圆面上，从中挖去一个半径为x的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y，则y关于x的函数关系为………………………………………………………………（ ）
A. y=x2－4 B. y=(2－x)2 C. y=－(x2+4) D. y=－x2+16
答案：D
4. 已知二次函数y=(x－1)2+(x－3)2 ，当x＝ 时，函数达到最小值.
答案：2
5. 已知二次函数y=－x2+mx+2的最大值为，则m= ．
答案：±1
第二部分
6、如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？21cnjy.com
【解】设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S米2，则另一边长为(20－2x)米，由题意得
S=x(20－2x)=－2x2+20x=－2(x－5)2+50(0∵a<0，∴当x=5(在07、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点
M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移
动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动.
若M, N分别从A， B点同时出发，设移动时间为t (06)，△DMN的面积为S.
(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.
【解】(1) 由题意，得AM=tcm，BN=2tcm，则BM=(6－t)cm，CN=(12－2t)cm.
∵S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN
∴S=12×6－×12t－(6－t)·2t－×6(12－2t)=t2－6t+36=(t－3)2+27
∵t=3在范围0(2) 当△DMN为直角三角形时，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND为90°.
当∠NMD=90°时，DN2=DM2+MN2，
∴(12－2t)2+62=122+t2+(6－t)2+(2t)2，解得t=0或－18，不在范围0当∠MND=90°时，DM2=DN2+MN2，
∴122+t2=(12－2t)2+62+(6－t)2+(2t)2，解得t=或6，(6不在范围0∴S=(－6)2+27=cm.
第三部分
8、如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择 窗子的长、宽各为______________米.www.21-cn-jy.com
解析：设窗子长为x，则宽为，S矩形=x·=x2+2x
=(x－3)2+3，即x=3时矩形窗子面积最大.
答案：3，2
9、某桥梁的两条钢缆具有相同抛物线的形状，两条抛物线关于y轴对称，其中一条抛物线的关系式是.
(1) 求另一条钢缆的函数关系式；
(2) 求出两条钢缆的最低点之间的距离.
分析：(1) 先求的顶点坐标，再求出其关于y轴的对称点坐标，
又a值不变，从而可求得另一条钢缆的函数解析式；(2) 即为两条抛物线横坐标之差的绝对值.
解：(1) 在中，=－20，=1，即顶点坐标(－20，1)
这个顶点关于y轴对称点的坐标为(20，1)，又a=
∴另一条钢缆的解析式为y=(x－20)2+1=；
(2) 最低点之间的距离=|20－(－20)|=40.
10、如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且满足AE∶BF∶CG∶DH=1∶2∶3∶4. 问当AE长为多少时，四边形EFGH的面积最小 并求出这个最小值.2·1·c·n·j·y
解：设AE=x，则BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x.【来源：21·世纪·教育·网】
∴S四边形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH
=102－x(10－4x)－ ·2x(10－x)－ ·3x(10－2x)－ ·4x(10－3x)
=10x2－50x+100
∵=2.5，=37.5
∴当AE长为2.5时，四边形EFGH的面积的最小值为37.5.
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