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1.4 二次函数的应用（2） （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1. 小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）www.21-cn-jy.com
A. y=500(x+1)2 B. y=x2+500
C. y=x2+500x D. y=x2+5x
2.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是……………………………………（ ）
A. 4.6m B. 4.5m C. 4m D. 3.5m
3. 已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长可能达到的最小值是 .
4. 函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是 , 最大值是 .
5. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为 元.2-1-c-n-j-y
第二部分
6、如图是两条互相垂直的街道, 且A到B, C的距离都是4千米. 现甲从B地走向A地, 乙从A地走向C地, 若两人同时出发且速度都是4千米/时, 问何时两人之间的距离最近
7、求(－2≤x≤2)的最小值和最大值.
8、南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．（销售利润销售价进货价）
(1) 求与的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围；
(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，试写出与之间的函数关系式；
(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
9、杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元. 而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数.21教育网
(1) 若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元. 求y关于x的解析式；
(2) 求纯收益g关于x的解析式；
(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？
10、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.【来源：21·世纪·教育·网】
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
(2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
参考答案
第一部分
1. 小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）21世纪教育网版权所有
A. y=500(x+1)2 B. y=x2+500
C. y=x2+500x D. y=x2+5x
答案：A
2.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是………………………………………………（ ）
A. 4.6m B. 4.5m C. 4m D. 3.5m
解析：当y=3.05时，3.05=x2+3.5，解得x=1.5(负值已舍)，因此L=3+1.5=4.5.
答案：B
3. 已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长可能达到的最小值是 .
解析：设一条直角边的长为x，则另一条直角边为2－x，
由勾股定理，得斜边=，∴斜边长的最小值为.
答案：
4. 函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是 , 最大值是 .
答案：－1 24
5. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为 元.21·cn·jy·com
解析：设每件降价x元，则每件的利润为(135－100－x)元，每天销售的件数为(100+4x)件，
∴每天的利润y=(135－100－x)(100+4x)=－4x2+40x+3500=－4(x－5)2+3600，
∴x=5元时，每天降价的利润最大为3600元.
答案：5
第二部分
6、如图是两条互相垂直的街道, 且A到B, C的距离都是4千米. 现甲从B地走向A地, 乙从A地走向C地, 若两人同时出发且速度都是4千米/时, 问何时两人之间的距离最近
【解】设两人均出发了t时, 则此时甲到A地的距离是(4－4t)千米, 乙离A地的距离是4t千米, 由勾股定理, 得甲, 乙两人间的距离为：21·世纪*教育网
S=,
∴当t=(在07、求(－2≤x≤2)的最小值和最大值.
【分析】函数的最大值可利用图象及自变量的取值范围去求.
【解】
∵x=1在－2≤x≤2的范围内, ∴y最小值为.
作抛物线y=(x－1)2+2在－2≤x≤2内的图象, 发现x=－2时, 图象的位置最高.
∴x=－2时, y最大值为.
8、南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．（销售利润销售价进货价）
(1) 求与的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围；
(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，试写出与之间的函数关系式；
(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【解】(1) y=8+=8x+8 (0≤x≤4).
(2) z=(29－25－x)(8x+8)=－8x2+24x+32.
(3) ∵a=－8<0, 且x=在范围0≤x≤4内,
∴ z的最大值为.
9、杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元. 而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数.21cnjy.com
(1) 若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元. 求y关于x的解析式；
(2) 求纯收益g关于x的解析式；
(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？
【解】(1) 由题意, 得x=1时, y=2；x=2时, y=2+4=6.
代入y=ax2+bx, 得, 解得. ∴y=x2+x.
(2) g=33x－150－(x2+x)=－x2+32x－150.
(3) g=－(x－16)2+106, 即设施开放16个月后, 游乐场的纯收益最大.
∵00.
∴6个月后才能收回投资.
10、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.2·1·c·n·j·y
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
(2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) y=(x－20)(140－2x)=－2x2+180x－2800.
(2) y=－2x2+180x－2800=－2(x2－90x)－2800=－2(x－45)2+1250.www-2-1-cnjy-com
当x=45时，y最大=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
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新浙教版数学九年级（上）
1.4 二次函数的应用 （2）
1.理解问题;
“二次函数应用” 的思路
本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题得解
返回解释
检验
-2
0
2
4
6
2
-4
x
y
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。
求函数的最值问题，应注意什么
55 5
55 13
1、图中所示的二次函数图像的解析式为：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元，买进商品需付 元因此，所得利润为 元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即
(0≤X≤30)
(0≤X≤30)
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
(0≤x≤20)
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.
⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
解：①由题意知:P=30+x.
②由题意知：死蟹的销售额为200x元，活蟹的销售额为（30+x）（1000-10x)元。
∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=10x2+900x+30000
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-25)2+6250
∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。
x(元) 15 20 30 …
y(件) 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元。则
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。
则
解得：k=－1，b＝40。
1分
5分
6分
7分
10分
12分
（1）设此一次函数解析式为 。
所以一次函数解析为 。
下面我们一起分小组试一试
看下哪个小组最快解出答案，并在黑板上写出来？
0
x
y
h
A B
D
（1）河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为 y= - x2 ， 当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米
练习
1
25
解:建立如图所示的坐标系
（2）一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少 (结果精确到0.1m).
●A(2,-2)
●B(X,-3)
1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
A
B
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
分析：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入 ，
得
所以
因此，函数关系式是
2、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25).
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
数学化
x
y
O
A
●B(1,2.25)
●(0,1.25)
●
C(2.5,0)
●
D(-2.5,0)
相信你可以的！！
相信你可以的！！
由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.
解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).
或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-x2+22/7X+5/4.
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-11/7)2+729/196.
数学化
x
y
O
A
●B
●(0,1.25)
●
C(3.5,0)
●
D(-3.5,0)
●B(1.57,3.72)
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
