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期末专项真题精选训练：一元二次方程
一、单选题
1．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1
C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0
5．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）一元二次方程的两实数根之和等于（ ）
A． B．2 C． D．5
8．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A． B．x2－x＋2＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x－2＝0
10．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2022秋·浙江宁波·八年级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）一种病毒每轮传播的人数为x，若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知1和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
二、填空题
14．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为．这个一元二次方程可以是______．（写出一个即可）
15．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）写出一个根为和的一元二次方程：______ ．
16．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）若是方程的一个根，则代数式的值是_________．
17．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知关于x的方程的解是，则方程的解是______．
18．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）关于的x一元二次方程的一个根是-1，则m的值是________，方程的另一个根是________．
19．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是_____．
20．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______．
21．（2022春·八年级统考期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，那么这个长方形的面积是_____．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是_______________.
23．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为______．
三、解答题
24．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
25．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，
(1)求实数k的取值范围、
(2)已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．
26．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）在用配方法解一元二次方程时，李明同学的解题过程如下：
解：方程可化成，
移项，得．
配方，得，
即．
由此可得∴， ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
27．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)求每件衬衫应降价多少元，能使商场每天盈利1200元；
(2)小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
28．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
29．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
30．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．
(1)若，求m的值；
(2)令T＝＋，求T的取值范围．
31．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知：关于x的方程x2+（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值．
32．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．
【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有: ．
问题解决：
(1)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
(2)若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值；
(3)设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．
①的值等于______________；
②设，求y关于x的函数关系式．
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期末专项真题精选训练：一元二次方程
一、单选题
1．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、它是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、它最高次项是三次，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、它化简后为，属于一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与常数项即可．
【详解】解：方程整理得：，其中二次项系数为1，常数项为．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，将一元二次方程化为一般式，再进行判断是解题的关键．
3．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程整理为一般式即可．
【详解】解：，
，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为是解题的关键．
4．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1
C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0
【答案】B
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【详解】解：∵x2-1=0，
∴x2=1，
∴x=±1，
即x1=-1，x2=1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
6．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】直接运用一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵
∴△＝（-1）2-4×（-2）×1＝1+8=9＞0
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与一元二次方程根的关系是解答本题的关键．
7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）一元二次方程的两实数根之和等于（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】B
【分析】由根与系数的关系可直接求得的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的两实数根，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
8．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由于x≥[x]，所以可把方程x2-2[x]-3=0写成2[x]=x2-3，可得不等式2x≥x2-3，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择．
【详解】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3．
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x=；
（5）x=3显然是原方程的解．
综合以上，所以原方程的解为-1，，3．
故选：C．
【点睛】本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}． 解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．注意分情况进行讨论．
9．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A． B．x2－x＋2＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x－2＝0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：A、由题意得：，
∴，
∴方程没有实数根，不符合题意；
B、由题意得：，
∴，
∴方程没有实数根，不符合题意；
C、由题意得：，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D、由题意得：，
∴，
∴方程有两个不相等实数根，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”．
11．（2022秋·浙江宁波·八年级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，一次函数的图象过一三四象限，
当时，一次函数的图象过一二四象限，
故选：B．
12．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）一种病毒每轮传播的人数为x，若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【分析】根据两轮传播共感染了144人直接列出一元二次方程即可．
【详解】解：由题意，得1+x+x(1+x)=144，
即（1+x）2=144，
解得：x1=11，x2=-13（舍去），
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知1和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
【答案】A
【分析】设 则为： 则或 从而可得答案．
【详解】解：设 则为：
∵1和2是关于x的一元二次方程的两根，
或
或
解得：
即的根为
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握“整体未知数法解方程”是解本题的关键．
二、填空题
14．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为．这个一元二次方程可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接利用一元二次方程的定义进而得出答案．
【详解】解：根据题意得：这个一元二次方程可以是．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握相关定义是解题关键．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）写出一个根为和的一元二次方程：______ ．
【答案】答案不唯一
【分析】一个根为和的一元二次方程有无数个，只要含有因式和的一元二次方程都有一个根为和．
【详解】解：一个根为和的一元二次方程：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根为和的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
16．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）若是方程的一个根，则代数式的值是_________．
【答案】-9
【分析】由题意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解．
【详解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，
∴2a2-a-5=0，
∴2a2-a=5，
∴4a2-2a=10，
∴2a-4a2+1=-10+1=-9，
故答案为：-9．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，恰当的变形是解题的关键．
17．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知关于x的方程的解是，则方程的解是______．
【答案】，．
【分析】把方程看作关于（x+1）的一元二次方程，然后根据题意得到x+1=1或x+1=-6，再解两个一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵关于x的方程的解是，，
∴方程化为或，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把（x+1）看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．
18．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）关于的x一元二次方程的一个根是-1，则m的值是________，方程的另一个根是________．
【答案】 2.5.
【分析】根据一元二次方程根的定义，把x=-1代入一元二次方程，即可解得m的值；把m的值代回原方程，即可求得另一个根.
【详解】把x=-1代入，得到，解得，m=2.5；把m=2.5代入原方程，可知，，解得，x=-1或x=，即方程的另一个根是.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及一元二次方程的解法，本题也可以用“韦达定理”进行求解.
19．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是_____．
【答案】1
【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根”可知根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，据此可以求得a的值．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0的二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝a，且一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝0，
解得a＝1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
20．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______．
【答案】4
【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则，
∴，且，
解得，
m取最大整数为1，此时原方程为，
即，
，
代数式的值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，求得的值是解题的关键．
21．（2022春·八年级统考期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，那么这个长方形的面积是_____．
【答案】6
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可，然后问题可求解．
【详解】解：
，
解得：，
∴这个长方形的面积为2×3=6；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是_______________.
【答案】或
【分析】分1-m2=0，1-m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：当1-m2=0时，m=±1，
当m=1时，可得2x-1=0，x=，符合题意；
当m=-1时，可得-2x-1=0，x=-，不符合题意；
当1-m2≠0时，（1-m2）x2+2mx-1=0，
即 [（1+m）x-1][（1-m）x+1]=0，
∴x1=，x2=-，
∵关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜-＜1，解得m＞2，
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m＞2．
故答案为m=1或m＞2．
【点睛】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1-m2=0，1-m2≠0两种情况讨论求解.
23．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为______．
【答案】
【分析】根据原价是50，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为，列出一元二次方程即可．
【详解】∵平均每次降价的百分率是，原价是50
∴经过一次降价为，经过两次降价为，
∵经过两次降价为39，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长（降低）率问题，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．
三、解答题
24．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可得；
（2）整理后，直接开平方法解方程；
（3）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
∴，
则，
即．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，熟练根据方程特点选择合适的方法是解题关键．
25．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，
(1)求实数k的取值范围、
(2)已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可；
（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：设方程的另一个根为a，
∴，
解得：，
∴方程的另一个根为-1．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
26．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）在用配方法解一元二次方程时，李明同学的解题过程如下：
解：方程可化成，
移项，得．
配方，得，
即．
由此可得∴， ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
【答案】见解析
【分析】晓强认为李明的解题过程错误， 我不同意他的想法， 说明理由即可．
【详解】解：不同意晓强的想法，
当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 - 配方法， 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
27．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)求每件衬衫应降价多少元，能使商场每天盈利1200元；
(2)小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
【答案】(1)降价20元
(2)不同意，见解析
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）假设能获得，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元，
则每件衬衫盈利元，每天可以售出件．
由题意，得，
即，
解得，．
∵为了扩大销量，增加盈利，减少库存，所以x的值应为20，
∴商场若想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价20元．
（2）不能．理由如下：
假设能获得，由题意得．
整理，得．
，
∴方程无实数根，故不能．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程求解是解题关键．
28．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）△=＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数关系可得：，即可求解.
（1）
证明：∵，
无论m取何实数，的值都大于零．
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）
解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
又∵，
∴．
∴，代入原方程得：
，
化简得：．
解得：，．
【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况．
29．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
【答案】(1)10米
(2)不正确，理由见解析
【分析】（1）设米，则米，根据矩形的面积为200平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入可求出的长，由，可求出的长，结合篱笆要全部用完，可求出的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形的面积，将其与比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设米，则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：为10米时，矩形的面积为200平方米．
（2）由（1）可知：．
（米），
（米），
矩形的面积（平方米），，
小明的想法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．
(1)若，求m的值；
(2)令T＝＋，求T的取值范围．
【答案】(1)1
(2)0【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；
（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．
【详解】（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，
∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，
解得m≤1，
∵m是不小于-1的实数，
∴-1≤m≤1，
∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1 x2=m2-3m+3．
∵x12+x22=2，
∴（x1+x2）2-2x1x2=2，
∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，
整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），
∴m的值为1；
（2）T＝＋，
=
=
=
=
=
=2-2m．
∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，
解得m=1或m=0．
∴当m=1或m=0时，T没有意义．
∴且
∴0<2-2m≤4且．
即0【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子．
31．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知：关于x的方程x2+（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值．
【答案】（1）详见解析；（2）0，
【分析】（1）△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+7＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数关系可得：（2m-1）2+（m-2）（2m-1）+m-3=0.
【详解】（1）证明：△=（m-2）2-4×（m-3），
=m2-6m+16，
=（m-3）2+7＞0，
∴无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2=-（m-2），
2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，
∴x1=m+1+m-2=2m-1，
把x1代入方程有：
（2m-1）2+（m-2）（2m-1）+m-3=0，
整理得：
6m2-m=0，
6m（m-）=0，
∴m 1=0，m 2=．
【点睛】一元二次方程有两个同号的实数根，即此方程的实数根有两个，并且这两个根符号相同，则判别式△>0．运用根与系数关系.
32．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．
【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有: ．
问题解决：
(1)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
(2)若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值；
(3)设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．
①的值等于______________；
②设，求y关于x的函数关系式．
【答案】(1)4，6，9可以构成“友好数”，理由见解析
(2) 或
(3)① 0， ②
【分析】（1）根据 “友好数”的定义即可得出4，6，9可以构成“友好数”；
（2）由y1，y2，y3构成“友好数”，分三种情况讨论求解即可；
（3）①由三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根得，进而求得a+b+c=0；
②由①得，从而有，进而求得求y关于x的函数关系式．
【详解】（1）解：∵62＝4×9，
∴4，6，9可以构成“友好数”；
（2）解：∵y1，y2，y3构成“友好数”，
∴有三种可能：
①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解．
②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得．
③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得．
∴满足条件的 或 ；
（3）①∵三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∵是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，
∴a+b+c=0，
故答案为0；
②由①得 a+b+c＝0， 两边同除以a，得
，
∴，
∴，
即函数关系式为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系以及新定义，正确理解新定义是解题的关键．
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