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期末专项真题精选训练：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线 B． 三叶玫瑰曲线
C．蝴蝶形曲线 D． 太极曲线
2．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于
C．两锐角都大于 D．两锐角都小于
3．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
4．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，点，分别是，中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，若，则的周长是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．32
8．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，E点在BC边上，P．Q是AD边上的两点（P在Q的左侧）、若PB与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列对的面积大小判断正确的是( )
A． B．
C． D．
10．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，作∠ADC的平分线．以下是甲，乙两种作法：（甲）以点D为圆心，任意长为半径作圆弧，分别交AD，DC于点M，N；分别以点M，N为圆心，MN长为半径作圆弧，两弧相交于点E，作射线DE．（乙）以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，作射线DE．上述作法中，射线DE为∠ADC的平分线的是（ ）
A．甲是，乙不是 B．甲不是，乙是 C．甲，乙都是 D．甲，乙都不是
11．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
12．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
二、填空题
13．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）点P（3，2）关于原点对称的点的坐标为_______．
14．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）若一个多边形的每个外角都相同且为，则这个多边形有___________条边．
15．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）在平行四边形中，，则_________．
16．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）在中，若，对角线，，则长为_________．
17．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，，点P为AB上任意一点，连接PC，以PB，PC为邻边作，连接PQ，则PQ的最小值为______．
18．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）如图，AC为四边形ABCD的对角线，，，，，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该平行四边形的面积是______．
19．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2—9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=14cm，DE=2cm，DN=1cm．已知关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合．
（1）BN=______；
（2）当∠BAC=60°时，点H到伞柄AB距离为______．
20．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线yx﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为________．
21．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为______________平方单位．
22．（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
23．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图1，中两条对角线交于点O，，点P从顶点B出发，沿以每秒的速度匀速运动到点D，图2是点P运动过程中线段的长度y与时间t的函数关系图象，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点M的横坐标为______________，点N的纵坐标为______________．
三、解答题
24．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，M是中点，与相交于点O且互相平分，则线段与有怎样的关系？请说明理由．
25．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，，E是直线CD上的一点，CE＝CD，连接AD，AE，BC，AE，BC交于点F，且点F是BC的中点，连接DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若∠CEF＝∠CFE，求证：DF⊥AE．
26．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图，连交于点，若，，求的长．
27．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，，以AB为一边作，且AD∥BC，连结EC交DA延长线于点F，延长EA交BC于点G．
(1)求证：点A是EG的中点，
(2)若，求BC的长．
28．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点，是边的三等分点，，的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求证：四边形是平行四边形．
29．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD．
(1)求∠BAC的度数．
(2)若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长．
30．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）如图，是对角线的交点，于点，延长至点，使，连结．
(1)求证：．
(2)当为矩形，，时，求，的长．
31．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
32．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： ．（直接写出答案）
试卷第2页，共36页
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期末专项真题精选训练：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线 B． 三叶玫瑰曲线
C．蝴蝶形曲线 D． 太极曲线
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可．
【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意；
B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意；
C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意；
D、太极曲线是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于
C．两锐角都大于 D．两锐角都小于
【答案】C
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设结论的反面成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两锐角都大于．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
3．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式求出正方形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．
【详解】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，
正六边形的每个内角的度数是=120°，
∴∠1=120°-90°=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和等知识点，能分别求出正方形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．
4．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，点，分别是，中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边对等角求出，利用三角形中位线的判定和性质求出，再根据三角形外角的性质求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
5．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
6．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得：
，
解得：，
即这个多边形是六边形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键．
7．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，若，则的周长是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．32
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，得出AB=AE，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，∠EBC＝∠AEB，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠AEB＝∠ABE，AB＝AE＝4，
∵，
∴，
平行四边形ABCD的周长＝2AB＋2AD＝2×4＋2×6＝20．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
9．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，E点在BC边上，P．Q是AD边上的两点（P在Q的左侧）、若PB与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列对的面积大小判断正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面积＝△QBE的面积；由图可得△BRE的面积＞△BSE的面积，可得△PRE的面积＜△QSE的面积．即可判断．
【详解】解：①△PBE、△QBE如图所示：
两个三角形有相同的底BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵平行线之间的距离处处相等，
∴△PBE、△QBE有相等的高，
∴△PBE的面积＝△QBE的面积；
②∵△PBE的面积＝△QBE的面积，
∴△PRE的面积+△BRE的面积＝△QSE的面积+△BSE的面积，
由图可知：△BRE的面积＞△BSE的面积，
∴△PRE的面积＜△QSE的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
10．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，作∠ADC的平分线．以下是甲，乙两种作法：（甲）以点D为圆心，任意长为半径作圆弧，分别交AD，DC于点M，N；分别以点M，N为圆心，MN长为半径作圆弧，两弧相交于点E，作射线DE．（乙）以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，作射线DE．上述作法中，射线DE为∠ADC的平分线的是（ ）
A．甲是，乙不是 B．甲不是，乙是 C．甲，乙都是 D．甲，乙都不是
【答案】C
【分析】根据角平分线的作法及平行四边形的性质，即可判定．
【详解】解：根据角平分线的作法，可判定甲作的射线DE为∠ADC的平分线；
乙所作的图如下：
由作法可知：AD=AE，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
乙作的射线DE为∠ADC的平分线，
故两人的作法都正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法是解决本题的关键．
11．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
如图：连接并延长交于G
∵
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
12．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【答案】B
【分析】连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，由翻折的性质可得出AB=AE，，BD=DE，易证，得出结论BO=EO，，即证明．由题意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得出和等底同高，即可求出的面积，从而可求出EO的长，进而可求出BE的长．再在中，利用勾股定理可求出OD的长，最后在中，利用等积法，即可求出的长，再由点F是DE的中点和所作辅助线，即可求出FG的长，即点F到BC的距离．
【详解】如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，
由翻折可知AB=AE，，BD=DE，
又∵AO=AO，
∴，
∴BO=EO，，
∴．
∵点F是DE的中点，EF=2.5，
∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，
∴和等底同高，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∴在中，，
∵．
∴．
又∵，
∴，
解得：．
∵点F是DE的中点，，，
∴FG为中位线，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质．正确的作出辅助线和利用数形结合的思想是解答本题的关键．
二、填空题
13．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）点P（3，2）关于原点对称的点的坐标为_______．
【答案】(－3，－2)
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】点P(3,2)关于原点对称的点的坐标为(-3, 2)，
故答案为(-3, 2).
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征,解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P'( x, y).
14．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）若一个多边形的每个外角都相同且为，则这个多边形有___________条边．
【答案】
【分析】根据除以得出边数，即可求解．
【详解】解：一个多边形的每个外角都相同且为，
∴这个多边形有条边．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的外角和问题，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．
15．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）在平行四边形中，，则_________．
【答案】/45度
【分析】根据平行四边形的性质，结合设出各个角度列式求解即可．
【详解】解：在平行四边形中，，
，
设，则，即，解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形性质求角度，熟练掌握平行四边形邻角互补是解决问题的关键．
16．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）在中，若，对角线，，则长为_________．
【答案】或
【分析】当是钝角时，过作交的延长线于，解直角三角形得到，根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．当是锐角时，同理可得．
【详解】解：如图，过作交的延长线于，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当是锐角时，同法可得，，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，，点P为AB上任意一点，连接PC，以PB，PC为邻边作，连接PQ，则PQ的最小值为______．
【答案】
【分析】设PQ与AC交于点O，作OD⊥AB于D．首先求出OD，当P与D重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OD．
【详解】解：设PQ与AC交于点O，作OD⊥AB于D．如图所示：
∵四边形PCQB是平行四边形，
∴PQ=2OP,OB＝OC＝BC＝2，
∵OD⊥AB，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，∠BOD＝30°，
∴BD＝OB＝1，，
当P与D重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）如图，AC为四边形ABCD的对角线，，，，，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该平行四边形的面积是______．
【答案】9
【分析】根据题意及含30度角的直角三角形得出AB=4，AC=6，再由平行四边形的性质得出∠DEC=∠ACB=90°，利用平行四边形的面积求解即可．
【详解】解：∵∠ADC=∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2
∴AB=4，
∴，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴DEBF，
∴∠DEC=∠ACB=90°，
∵∠ADC =90°，AD=CD，
∴CE=AE=3=DE，
∴，
故答案为：9．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，平行四边形的性质及含30度角的直角三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2—9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=14cm，DE=2cm，DN=1cm．已知关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合．
（1）BN=______；
（2）当∠BAC=60°时，点H到伞柄AB距离为______．
【答案】25
【分析】由关闭折伞后，点A、E、H三点重合，得到AC=CD+DE，求出CD得到CN，即可得到BN；根据平行线的性质求出∠AFE=∠EGH=120°，得到∠ EAF=∠AEF=∠GEH = 30°，求出AF=12，MN=BN=25，EG=HG=27，过F作FR⊥AE于R，过G作GT⊥AH于T，勾股定理求出AR得到AE的长，同理求出EH，即可得到答案．
【详解】∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，
∴AC=CD+DE，
∴CD=14-2=12，
∴CN=CD-DN=11，
∴BN=14+11=25(cm)，
如图2，A、E、H三点共线并且AH⊥AB，
∵∠BAC=60°，AC=BC=14，
∴∠ACB=60°，
∵ACDE， DGMN，
∴∠AFE=∠EGH=120°，
∵AF= EF，
∴∠ EAF=∠AEF=∠GEH = 30°，
∴AE⊥ AB，
∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，
∴AF=12，MN=BN=25，EG=HG=27，
过F作FR⊥AE于R，过G作GT⊥AH于T，
∴FR=AF=6，
∴AR=，
∴AE=2AR=，
同理可得EH=，
∴AН = AE+ EН =，
∴点H到伞柄AB距离为cm，
故答案为：25，．
【点睛】此题考查了线段的和差计算，勾股定理，平行四边形的性质，正确理解题意掌握各知识点是解题的关键．
20．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线yx﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为________．
【答案】（5，3）
【分析】根据平移的性质可得点A′的坐标为（4，4），∠A'AO＝90°，A'A＝B'B，A'AB'B，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A′的坐标为（4，4），证明四边形AA'B'B是平行四边形，△ACB是等腰直角三角形，根据四边形AA'B'B的面积为4求出AC＝BC＝1，即可得出点B′的坐标．
【详解】解：延长B′B交y轴于点C，
∵△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，点A的坐标为（0，4），
∴∠A'AO＝90°，点A′的纵坐标为4，
∵点A′在直线y＝x 1上，
∴x 1＝4，
解得x＝4，
∴点A′的坐标为（4，4），
∵点B在∠A'AO的角平分线上，
∴∠A'AB＝∠OAB＝45°，
∵将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，
∴A'A＝B'B，A'AB'B，
∴四边形AA'B'B是平行四边形，∠ACB＝180° ∠A'AO＝90°，
∴B'B＝A'A＝4，△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵四边形AA'B'B的面积为4，
∴BB′ AC＝4，
∴AC＝BC＝1，
∴OC＝4 1＝3，B′C＝BC＋B′B＝1＋4＝5，
∴点B′的坐标为（5，3）．
故答案为：（5，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 平移，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为______________平方单位．
【答案】2
【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
在△BEF和△CEG中，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF DG＝××4＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题关键．
22．（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
23．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）如图1，中两条对角线交于点O，，点P从顶点B出发，沿以每秒的速度匀速运动到点D，图2是点P运动过程中线段的长度y与时间t的函数关系图象，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点M的横坐标为______________，点N的纵坐标为______________．
【答案】 10
【分析】由图可知点P在BC上运动时，OP先变小后变大，求出OP的最大值和最小值，过O作于点，则可求得OB=OD= ，OC= ；而从C向D运动时，OP先变小后变大，过点O作于点，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由图可知点P在BC上运动时，OP先变小后变大，
由图象可知：点P从B向C运动时，OP的最大值为，最小值为5，，
∴，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时OP最小，
如下图，过O作于点，，
∴由勾股定理可知：，
∴点M的横坐标为10；
过点O作于点，如下图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，CD=AB，
由图象可知：点P从C向D运动时，，又，
∴设，则，
∴，
∴，
即，
∴，
∴点N的纵坐标为．
故答案为：10，．
【点睛】本题考查了动点与函数图象的理解和应用、平行四边形的性质、勾股定理．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
三、解答题
24．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，M是中点，与相交于点O且互相平分，则线段与有怎样的关系？请说明理由．
【答案】平行且相等，见解析
【分析】由AM与BD互相平分，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABMD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等得到AD与BM平行且相等，由M为BC的中点，得到BM=CM，利用等量代换可得出AD=MC，又AD与MC平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AMCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，即可得证．
【详解】关系：AMBD，AM=BD．
证明：∵AM、BD互相平分于点O，即AO=OM，BO=DO，
∴四边形ABMD为平行四边形，
∴AD=BM，ADBM，
又∵M为BC的中点，
∴BM=CM，
∴AD=MC，ADMC，
∴四边形AMCD为平行四边形，
∴AMBD，AM=BD．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及线段中点定义，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
25．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，，E是直线CD上的一点，CE＝CD，连接AD，AE，BC，AE，BC交于点F，且点F是BC的中点，连接DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若∠CEF＝∠CFE，求证：DF⊥AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由可证得：，得，再证，由平行四边形的判定定理，即可得证；
（2）由可得：，再证，则，然后证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
26．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图，连交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得，，再证明，从而可得结论；
（2）证明是的中位线，从而可得答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为 的边、的中点，
，
在与中，
≌，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
，
即，
，
，
为的中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的定义与性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
27．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，，以AB为一边作，且AD∥BC，连结EC交DA延长线于点F，延长EA交BC于点G．
(1)求证：点A是EG的中点，
(2)若，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形ADBG是平行四边形，得出BD=AG，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可得BD的长，再根据直角三角形的性质可得AC的长，然后由勾股定理即可得出结果．
（1）
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE，
∴BD∥AG，
∵AD∥BC，即DA∥BG，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∴BD=AG，
∴AE=AG，即点A是EG的中点；
（2）
∵四边形ADBG是平行四边形，
∴BD=AG，
∵，
∴BD=AG=3，
∵DA∥BC，DF⊥EC，
∴BC⊥EC，
∴∠ECG=90°，
∵点A是EG的中点，
∴，EG=2AG=2BD=6，
∴AC=3，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BA=DE=6，
在Rt△ABC中，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
28．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点，是边的三等分点，，的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得．，即可求证；
（2）连结BH，交FG于点O，根据四边形FBGH是平行四边形．可得．从而得到，即可求证．
【详解】（1）证明：∵点F，G是边AC的三等分点，
∴F，G分别是AG，CF的中点．
∵点D是AB的中点，
∴，即．
同理：，
∴四边形FBGH是平行四边形．
（2）证明：连结BH，交FG于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形ABCH是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
29．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，∠B＝80°，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，∠ACE＝2∠ECD．
(1)求∠BAC的度数．
(2)若FC＝4，FD＝2，求 ABCD的周长．
【答案】(1)60°
(2)20
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，可求得∠BCD，根据翻折的性质可得∠BCA=∠ACE，再由已知条件可得，∠BCD=5∠ECD=100°，即可求得∠ECD=20°，据此即可求得；
（2）首先根据平行四边形的性质和翻折的性质，可得AE=CD，∠E=∠D，即可证得△EFA≌△DFC（AAS），可得AF=CF=4，AD=BC=6，再根据三角形的内角和定理，可得∠CFD =∠D，可得CD=CF=4，据此即可求得．
（1）
解：∵在 ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠B=180°-80°=100°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵∠ACE=2∠ECD ，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=5∠ECD=100°，
∴∠ECD=20°，
∴∠BCA=2∠ECD=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=180°-80°-40°=60°；
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D=80°，
∵将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠E=∠D，
在△EFA与△DFC中
∴△EFA≌△DFC（AAS），
∴AF=CF=4，
∴AD=BC=4+2=6，
又∵∠ECD=20°，∠D=80°，
∴∠CFD=180°-∠D-∠ECD=180°-80°-20°=80°，
∴∠CFD =∠D，
∴CD=CF=4，
∴ ABCD的周长=AD+BC+CD+AB=6+6+4+4=20．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
30．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）如图，是对角线的交点，于点，延长至点，使，连结．
(1)求证：．
(2)当为矩形，，时，求，的长．
【答案】(1)见解析
(2)DF=4、CE=1
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得，结合得到是的中位线，进而推出即可求解；
（2）由平行四边形的性质求出，结合得到，由勾股定理求出OE即可求解．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴是的中位线．
∴．
∵，
∴，
即；
(2)
解：∵是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
在中，．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线，勾股定理，理解相关知识是解答关键．
31．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)的值为或或或
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（2）首先设与的交点为，根据平行四边形的性质，得出，，再根据折叠的性质，得出，，，根据等量代换，得出，，再根据，可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等角对等边，得出，再根据三角形的内角和为，得出，然后再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据直角三角形的勾股定理，得出，再根据线段的关系，得出，再利用等量代换，得出，进而算出，然后再利用，即可得出结果；
（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵沿翻折至，
∴，
∴．
（2）解：如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
解得：，
∴．
（3）解：如图，当时，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，
同理可得：．
如图，当，点在的上方时，
过点作，交于，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵沿翻折至，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
如图，当，点在的下方时，
同理可得：．
综上可得：的值为或或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况．
32．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： ．（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①4；②4或
【分析】（1）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质求解即可；
（2）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠BDE＝90°，即可得出结论；
（3）①连接AC′，由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），可得AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ADE＝60°+90°＝150°，求出∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，根据对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，得出∠ADE+∠DAC′＝180°，可得DE∥AC′，可得四边形AC′ED是平行四边形，即可得C′E＝AD＝AB＝4；②分两种情况：C′E＝DE时，C′E＝C′D时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC．
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE；
（3）①连接AC′，
由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），
∴AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝60°+90°＝150°，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，
∴∠ADE+∠DAC′＝180°，
∴DE∥AC′，
∴四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝AD＝AB＝4；
②分两种情况：
C′E＝DE时，
∵C′E＝4，四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝DE＝AC′＝4，
由对称的性质得AC＝AC′＝4，
C′E＝C′D时，作C′F⊥DE于F，
∵C′E＝C′D，C′F⊥DE，
∴DF＝EF，∠C′FE＝90°，
∵四边形AC′ED是平行四边形，
∴∠C′EF＝∠DAC′＝30°，
∴，，
∴，
综上，AC长为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，注意分类讨论思想的运用．
试卷第2页，共36页
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